對數函數教案

對數函數及其性質

【教學目標】

①理解對數函數的概念，熟悉對數函數的圖象與性質規律.

②掌握對數函數的性質.

③通過對數函數圖象和性質的學習，滲透數形結合，分類討論等思想，培養

學生的觀察，分析，歸納等邏輯思維能力．

【教學重難點】

重點：理解對數函數的定義，掌握對數函數的圖象和性質.

難點：底數a對對數函數圖象和性質的影響.

【教學過程】

（一）預習檢查、總結疑惑

檢查落實了學生的預習情況并了解了學生的疑惑，使教學具有了針對性.

（二）情景導入、展示目標

1、讓學生看材料：

材料1（幻燈）：馬王堆女尸千年不腐之謎：一九七二年，馬王堆考古發現震驚世

界，專家發掘西漢辛追遺尸時，形體完整，全身潤澤，皮膚仍有彈性，關節還可

以活動，骨質比現在六十歲的正常人還好，是世界上發現的首例歷史悠久的濕尸。

大家知道，世界發現的不腐之尸都是在干燥的環境風干而

成，譬如沙漠環境，這類干尸雖然肌膚未腐，是因為干燥不

利細菌繁殖，但關節和一般人死后一樣，是僵硬的，而馬王

堆辛追夫人卻是在濕潤的環境中保存二千多年，而且關節可

以活動。人們最關注有兩個問題，第一：怎么鑒定尸體的年

份？第二：是什么環境使尸體未腐？其中第一個問題與數學

有關。圖4—1

（如圖4—1在長沙馬王堆“沉睡”近2200年的古長沙國丞相夫人辛追，日前

奇跡般地“復活”了）

那么，考古學家是怎么計算出古長沙國丞相夫人辛追“沉睡”近2200年？

前面已經知道考古學家是通過提取尸體的殘留物碳14的殘留量p，利用

5730

1

2

logtP?估算尸體出土的年代，不難發現：對每一個碳14的含量的

取值，通過這個對應關系，

生物死亡年數t都有唯一的值與之對應，從而t是P的函數；

材料2（幻燈）：如圖4—2，某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成

4個……，如果要求這種細胞經過多少次分裂，大約可以得到細胞1萬個，10

萬個……，不難發現：分裂次數y就是要得到的細胞個數x的函數,即

xy

2

log?

；

圖4—2

2、引導學生觀察這些函數的特征：含有對數符號，底數是常數，真數是變量，

從而得出對數函數的定義：函數0(log??axy

a

，且

)1?a

叫做對數函數，其中

x

是自變量，函數的定義域是（0，+∞）．

注意：○

1

對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別．如：

2

2

logyx?，

5

log

5

x

y?

都不是對數函數．

○

2

對數函數對底數的限制：

0(?a

，且

)1?a

．

3、根據對數函數定義填空；

例1（1）函數2log

a

yx?的定義域是___________(其中a>0,a≠1)

(2)函數log(4)

a

yx??的定義域是___________(其中a>0,a≠1)

（三）合作探究、精講點撥

〈1〉、畫圖、形成感知

1．確定探究問題

教師：當我們知道對數函數的定義之后，緊接著需要探討什么問題？

學生1：對數函數的圖象和性質

教師：你能類比前面研究指數函數的思路，提出研究對數函數圖象和性質的方

法嗎？

學生2：先畫圖象，再根據圖象得出性質

教師：畫對數函數的圖象是否像指數函數那樣也需要分類？

學生3：按1a?和1a0??分類討論

教師：觀察圖象主要看哪幾個特征？

學生4：從圖象的形狀、位置、升降、定點等角度去識圖

教師：在明確了探究方向后，下面，按以下步驟共同探究對數函數的圖象：

步驟一：用描點法在同一坐標系中畫出下列對數函數的圖象

xy

2

log?

xy

2

1

log?

步驟二：觀察對數函數

xy

2

log?

與

xy

2

1

log?

的圖象特征，看看它們有那些異

同點。

步驟三：如圖4—5選取底數

a

=1/4、1/5、1/6、1/10、4、5、6、10，并演示‘幾

何畫板’，得到相應對數函數的圖象。利用‘幾何畫板’的強大作圖功

能，讓學生非常清楚地看到底數

a

是如何影響函數0(log??axy

a

，且

)1?a

圖象的變化。

步驟四：歸納出能體現對數函數的代表性圖象

圖4—5

2．學生探究成果

（1）如圖4—3較為熟練地用描點法畫

出下列對數函數

xy

2

log?

、

xy

2

1

log?

的圖象

（2）有了這種畫圖感知的過程以及學

習指數函數的經驗，讓學生明確

y=log

a

x（a>1）、y=log

a

x(0

形。（圖4—6）

y=log

a

x（a>1）y=log

a

x(0

（3）學生相互補充，自主發現了圖象的下列特征：①圖象都在y軸右側，

向y軸正負方向無限延伸；②都過（1、0）點；③當a>1時，圖象沿x軸正向逐

步上升；當0

3．拓展探究：

（1）對數函數

xy

2

log?

與

xy

2

1

log?

的圖象有怎樣的對稱關系？

（2）對數函數y=log

a

x（a>1），當a值增大，圖象的上升“程度”怎

樣？說明：這是學生探究中容易忽略的地方，通過補充學生對對數函數圖象感性

認識就比較全面。

〈2〉、理性認識、發現性質

1．確定探究問題

教師：當我們對對數函數的圖象有了直觀認識后，就可以進一步研究對數函

圖4—3

圖4—6

數的性質，提高我們對對數函數的理性認識。同學們，通常研究函數

的性質有哪些途徑？

學生：主要研究函數的定義域、值域、單調性、對稱性、過定點等性質。

教師：現在，請同學們依照研究函數性質的途徑，再次聯手合作，根據圖象特

征探究出對數函數的定義域、值域、單調性、對稱性、過定點等性質

2．學生探究成果

在學生自主探究、合作交流的的基礎上填寫如下表格：

函

數

y=log

a

x（a>1）y=log

a

x(0

圖像

定義域

(0,)??(0,)??

值

域

RR

單調性

在

(0,)??

上是增函數在

(0,)??

上是減函數

過定點（1，0）即x=1，y=0（1，0）即x=1，y=0

取值范圍

0

x>1時，y>0

00

x>1時，y<0

（四）反思感悟、學以致用

問題一：（幻燈）（教材p72例8）比較下列各組數中兩個值的大小：

(1)log

2

3.4,log

2

8.5（2）log

0.3

1.8,log

0.3

2.7

（3）log

a

5.1,log

a

5.9(a＞0,且a≠1)

獨立思考：1.構造怎樣的對數函數模型？2.運用怎樣的函數性質？

小組交流：（1）

xy

2

log?

是增函數（2）

0.3

logyx?是減函數

（3）log

a

yx?，分1a?和1a0??分類討論

變式訓練：1.比較下列各題中兩個值的大小:

⑴log

10

6log

10

8⑵log

0.5

6log

0.5

4

⑶log

0.1

0.5log

0.1

0.6⑷log

1.5

0.6log

1.5

0.4

2．已知下列不等式，比較正數m，n的大小：

(1)log

3

m

3

n(2)log

0.3

m>log

0.3

n

(3)log

a

m

a

n(0

a

m>log

a

n(a>1)

問題二：（幻燈）（教材p72例9）溶液酸堿度的測量。

溶液酸堿度是通過pH刻畫的。pH的計算公式為pH=—lg[]，其中

[]表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升。（1）根據對數函數性質及上述

pH的計算公式，說明溶液酸堿度與溶液中氫離子的濃度之間的變化關系；（2）已

知純靜水中氫離子的濃度為[]=-摩爾/升，計算純靜水的pH

獨立思考：解決這個問題是選擇怎樣的對數函數模型？運用什么函數性質？

小組交流：pH=-lg[]=lg[]=lg1/[],隨著[]的增大，pH減

小，即溶液中氫離子濃度越大，溶液的酸堿度就越大

（五）歸納總結、提煉升華

（六）當堂檢測：（祥見課內探究案）

【板書設計】

一、對數函數及其性質

1.定義

2.性質

二、例題

例1

變式1

例2

?H

?H

?H710?

?H?H?H?H

變式2

【作業布置】

導學案課后練習與提高

2．2．2對數函數及其性質學案

課前預習學案

一、預習目標

記住對數函數的定義;初步把握對數函數的圖象與性質.

二、預習內容

1、對數函數的定義_______________________________________.

2、對數函數log

a

yx?(a＞0,且a≠1)的圖像和性質

研究函數和的圖象；

請同學們完成x，y對應值表，并用描點法分別畫出函數

2

logyx?

和

1

2

logyx?的圖象:

x…1…

…0…

1

2

logyx?

…

[來

源:Zxxk.

Com]

0…

xy

2

1

log?

O

y

x

xy

2

log?

xy

2

log?

觀察發現:認真觀察函數

2

logyx?的圖象填寫下表：

（表一）

圖象特征代數表述

圖象位于y軸的________.定義域為：[來

圖象向上、向下呈_________趨勢.值域為：

圖象自左向右呈___________趨勢.單調性：函數在(0,+∞)上是：

觀察發現:認真觀察函數

1

2

logyx?的圖象填寫下表：

（表二）

圖象特征代數表述

圖象位于y軸的________.定義域為：

圖象向上、向下呈_________趨勢.值域為：

圖象自左向右呈___________趨勢.單調性：函數在(0,+∞)上是：

對數函數log

a

yx?(a＞0,且a≠1)的圖像和性質：（表三）

01

圖

象

定義

域

值

域

性質

(1,0)

O

y

x

x

x=1

)10(log???ayx

a

y

O

x=1

(1,0)

)1(log??ayx

a

三、提出疑惑

課內探究學案

一、學習目標

1理解對數函數的概念，熟悉對數函數的圖象與性質規律.

2掌握對數函數的性質.

學習重難點

對數函數的圖象與性質

二、學習過程

探究點一

例1：求下列函數的定義域:

（1）;(2)

.

練習：求下列函數的定義域:

（1）;（2）.

解析:直接利用對數函數的定義域求解，而不能先化簡．

解：

探究點二

例2：比較下列各組數中兩個值的大小:

(1)(2)

（3）log5.1,log5.9

aa

(a＞0,且a≠1).

思考一：比較下列各組數中兩個值的大小：

)4(logxy

a

??

2logxy

a

?

7.2log,8.1log

3.03.0

)1(log

5

xy??

x

y

2

log

1

?

5.8log,4.3log

22

（1）

3

lg42o

8

lg52o（2）

1.80

lg3o

2.70

lg3o

思考二：比較下列各組數中兩個值的大小：

（1）

6

lg7o

7

lg6o（2）

3

lg5o

0.5

lg0.6o

練習：比較下列各題中兩個值的大小：

（1）

0.5

lg6o

0.5

lg4o

（2）

1.5

lg1.6o

1.5

lg1.4o

（3）若

3

lgom<

3

lgon，則mn

（4）若

0.3

lgom>

0.3

lgon，則mn

三、反思總結

四、當堂檢測

1、求下列函數的定義域

（1）

2log

a

yx?

（2）

log(4)

a

yx??

2、比較下列各組數中兩個值的大小

（1）22

log3.4,log8.5

（2）0.30.3

log1.8,log2.7

課后練習與提高

１.函數f(x)=lg(

xx??12

)是（奇、偶）函數。

２．已知函數f(x)=log0.5(-x2+4x+5),則f(3)與f（4）的大小關系

為。

３．已知函數在[0，1]上是減函數，求實數a的取值范圍．

)ax2(logy

a

??