勾股弦

勾股定理逆定理八種證明方法(總

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證法1

作四個全等的直角三角形，把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使D、E、F在

一條直線上（設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c.）。過點C作

AC的延長線交DF于點P.

∵D、E、F在一條直線上，且RtΔGEF≌RtΔEBD，

∴∠EGF=∠BED，

∵∠EGF+∠GEF=90°，

∴∠BED+∠GEF=90°，

∴∠BEG=180°―90°=90°

又∵AB=BE=EG=GA=c，

∴ABEG是一個邊長為c的正方形。

∴∠ABC+∠CBE=90°

∵RtΔABC≌RtΔEBD，

∴∠ABC=∠EBD.

∴∠EBD+∠CBE=90°即∠CBD=90°

又∵∠BDE=90°，∠BCP=90°，BC=BD=a.

∴BDPC是一個邊長為a的正方形。

同理，HPFG是一個邊長為b的正方形.設多邊形GHCBE的面積為S，則

證法2

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作兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a），做一

個邊長為c的正方形。斜邊長為c.再把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、

C三點在一條直線上.過點Q作QP∥BC，交AC于點P.過點B作

BM⊥PQ，垂足為M；再過點F作FN⊥PQ，垂足為N.

∵∠BCA=90°，QP∥BC，

∴∠MPC=90°，

∵BM⊥PQ，

∴∠BMP=90°，

∴BCPM是一個矩形，即∠MBC=90°。

∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90°，∠ABC+∠MBA=∠MBC=90°，

∴∠，

又∵∠BMP=90°，∠BCA=90°，BQ=BA=c，

∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.同理可證RtΔQNF≌RtΔAEF.即

證法3

作兩個全等的直角三角形，同證法2，再作一個邊長為c的正方形。把它們拼

成如圖所示的多邊形.分別以CF，AE為邊長做正方形FCJI和AEIG，

∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，

∴FI=a，

∴G,I,J在同一直線上，

∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB=∠CFD=90°，

∴RtΔCJB≌RtΔCFD，同理，RtΔABG≌RtΔADE，

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∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE

∴∠ABG=∠BCJ，

∵∠BCJ+∠CBJ=90°，

∴∠ABG+∠CBJ=90°，

∵∠ABC=90°，

∴G,B,I,J在同一直線上，

。

證法4

作三個邊長分別為a、b、c的三角形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B

三點在一條直線上，連結BF、CD.過C作CL⊥DE，交AB于點M，交DE

于點L.

∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠GAD，

∴ΔFAB≌ΔGAD，

∵ΔFAB的面積等于，ΔGAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半，

∴矩形ADLM的面積=.同理可證，矩形MLEB的面積=.

∵正方形ADEB的面積=矩形ADLM的面積+矩形MLEB的面積

∴即

證法5

5

《幾何原本》中的證明在歐幾里得的《幾何原本》一書中提出勾股定理由以

下證明后可成立。設△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點劃一直線

至對邊，使其垂直于對邊上的正方形。此線把對邊上的正方形一分為二，其面

積分別與其余兩個正方形相等。在正式的證明中，我們需要四個輔助定理如

下：如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全

等。（SAS定理）三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。任意

一個正方形的面積等于其二邊長的乘積。任意一個四方形的面積等于其二邊長

的乘積（據輔助定理3）。證明的概念為：把上方的兩個正方形轉換成兩個同

等面積的平行四邊形，再旋轉并轉換成下方的兩個同等面積的長方形。其證

明如下：設△ABC為一直角三角形，其直角為CAB。其邊為BC、AB、和

CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。畫出過點A之BD、CE的平行

線。此線將分別與BC和DE直角相交于K、L。分別連接CF、AD，形成兩個三

角形BCF、BDA。∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G都是線性對應

的，同理可證B、A和H。∠CBD和∠FBA皆為直角，所以∠ABD等于∠FBC。

因為AB和BD分別等于FB和BC，所以△ABD必須相等于△FBC。因為A與K

和L是線性對應的，所以四方形BDLK必須二倍面積于△ABD。因為C、A和G

有共同線性，所以正方形BAGF必須二倍面積于△FBC。因此四邊形BDLK必須

有相同的面積BAGF=AB²；。同理可證，四邊形CKLE必須有相同的面積

ACIH=AC2；。把這兩個結果相加，AB2;+AC2;;=BD×BK+KL×KC。由于

BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC由于CBDE是個正方形，因

此AB2;+AC2;=BC2；。此證明是于歐幾里得《幾何原本》一書第節所提出的

證法6（歐幾里得（Euclid）射影定理證法）

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如圖1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜邊AC上的高通過證明三角形相

似則有射影定理如下：

⑴（BD）2;=AD·DC，

⑵（AB）2;=AD·AC，

⑶（BC）2;=CD·AC。由公式⑵+⑶得：（AB）2;+（BC）2;=AD·AC+CD·AC=

（AD+CD）·AC=（AC）2；，圖1即（AB）2;+（BC）2;=（AC）2，這就

是勾股定理的結論。圖1

證法6

在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個相等的直角三

角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2；中間

懂得小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a）2。于是便可得如下的式子：4×

（ab/2）+（b-a）2;=c2；化簡后便可得：a2;+b2;=c2;亦即：

c=(a2;+b2;)1/2勾股定理的別名勾股定理，是幾何學中一顆光彩奪目的明

珠，被稱為“幾何學的基石”，而且在高等數學和其他學科中也有著極為廣泛的

應用。正因為這樣，世界上幾個文明古國都已發現并且進行了廣泛深入的研

究，因此有許多名稱。中國是發現和研究勾股定理最古老的國家之一。中國

古代數學家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為

股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。在公元前1000多年，據記

載，商高（約公元前1120年）答周公曰“故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅

五。既方之，外半其一矩，環而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂

積矩。”因此，勾股定理在中國又稱“商高定理”。在公元前7至6世紀一中國學

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者陳子，曾經給出過任意直角三角形的三邊關系即“以日下為勾，日高為股，

勾、股各乘并開方除之得邪至日。在法國和比利時，勾股定理又叫“驢橋定

理”。還有的國家稱勾股定理為“平方定理”。在陳子后一二百年，希臘的著名

數學家畢達哥拉斯發現了這個定理，因此世界上許多國家都稱勾股定理為“畢達

哥拉斯”定理。為了慶祝這一定理的發現，畢達哥拉斯學派殺了一百頭牛酬謝供

奉神靈，因此這個定理又有人叫做“百牛定理”．前任美國第二十屆總統伽菲

爾德證明了勾股定理（1876年4月1日）。

1周髀算經，文物出版社，1980年3月，據宋代嘉定六年本影印，1-5頁。

2.陳良佐：周髀算經勾股定理的證明與出入相補原理的關系。刊於《漢學研

究》，1989年第7卷第1期，255-281頁。

3.李國偉：論「周髀算經」“商高曰數之法出于圓方”章。刊於《第二屆科學史

研討會匯刊》，臺灣，1991年7月，227-234頁。

4.李繼閔：商高定理辨證。刊於《自然科學史研究》，1993年第12卷第1

期，29-41頁。

5.曲安京：商高、趙爽與劉徽關於勾股定理的證明。刊於《數學傳播》20卷，

臺灣，1996年9月第3期，20-27頁

證法7

達芬奇的證法

三張紙片其實是同一張紙，把它撕開重新拼湊之后，中間那個“洞”的面積前后

仍然是一樣的，但是面積的表達式卻不再相同，讓這兩個形式不同的表達式相

等，就能得出一個新的關系式——勾股定理，所有勾股定理的證明方法都有這

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么個共同點。觀察紙片一，因為要證的是勾股定理，那么容易知道EB⊥CF，又

因為紙片的兩邊是對稱的，所以能夠知道四邊形ABOF和CDEO都是正方形。

然后需要知道的是角A'和角D'都是直角，原因嘛，可以看紙片一，連結AD，

因為對稱的緣故，所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°，那么很明顯，圖三

中角A'和角D'都是直角。

證明：第一張中多邊形ABCDEF的面積S1=S正方形ABOF+S正方形

CDEO+2S△BCO=OF2+OE2+OF·OE第三張中多邊形A'B'C'D'E'F'的面積S2=S

正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'2+C'D'·D'E'因為S1=S2

所以OF2+OE2+OF·OE=E'F'2+C'D'·D'E'

又因為C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF

所以OF2+OE2=E'F'2

因為E'F'=EF

所以OF2+OE2=EF2勾股定理得證。

證法8

從這張圖可以得到一個矩形和三個三角形，推導公式如下：

b(a+b)=1/2c2;+ab+1/2(b+a)(b-a)矩形面積=（中間三角形）+（下

方）2個直角三角形+（上方）1個直角三角形。（簡化）2ab+2b2;=c2;

+b2;-a2;+2ab2b2;-b2;+a2;=c2;a2;+b2;=c2;

注：根據加菲爾德圖進一步得到的圖形。