布拉美古塔定理

1．中線定理（巴布斯定理）設△ABC的邊BC的中點為P，則有)(22222BPAPACAB???；

中線長：

2

22222acb

m

a

??

?

2．角平分線定理：三角形一個角的平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例．

如△ABC中，AD平分∠BAC，則

AC

AB

DC

BD

?

；（外角平分線定理）

3．正弦定理：

R

C

c

B

b

A

a

2

sinsinsin

???

，（其中R為三角形外接圓半徑）

4．余弦定理：Cabbaccos2222???

5．布拉美古塔（Brahmagupta）定理：在圓內接四邊形ABCD中，AC⊥BD，自對角線的交點P向一

邊作垂線，其延長線必平分對邊

6．托勒密（Ptolemy）定理：圓內接四邊形對角線之積等于兩組對邊乘積之和，

即AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命題成立)．（廣義托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD

7．蝴蝶定理：AB是⊙O的弦，M是其中點，弦CD、EF經過點M，CF、DE交AB于P、Q，

則有：MP=QM．

8．歐拉（Euler）公式：設三角形的外接圓半徑為R，內切圓半徑為r，外心與內心的距離為d，則

d2=R2－2Rr．

9．銳角三角形的外接圓半徑與內切圓半徑的和等于外心到各邊距離的和．

10．重心：三角形的三條中線交于一點，并且各中線被這個點分成2：1的兩部分；

)

3

,

3

(CBACBA

yyyxxx

G

????

重心性質：①設G為△ABC的重心，連結AG并延長交BC于D，則D為BC的中點，則

1:2:?GDAG

；

②設G為△ABC的重心，則

ABCACGBCGABG

SSSS

????

???

3

1

③設G為△ABC的重心，過G作DE∥BC交AB于D，交AC于E，過G作PF∥AC交AB于P，交

BC于F，過G作HK∥AB交AC于K，交BC于H，則

2;

3

2

??????

AB

KH

CA

FP

BC

DE

AB

KH

CA

FP

BC

DE

④到三角形三頂點距離的平方和最小的點是重心，即222GCGBGA??最小；

⑤三角形內到三邊距離之積最大的點是重心；反之亦然（即滿足上述條件之一，則G為△ABC的

重心）．

11．垂心性質：（1）三角形任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍

（2）垂心H關于△ABC的三邊的對稱點，均在△ABC的外接圓上；

（3）△ABC的垂心為H，則△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圓是等圓；

（4）設O，H分別為△ABC的外心和垂心，HCABCOABHCBOHACBAO?????????,,

12．內心：三角形的三條角分線的交點—內接圓圓心，即內心到三角形各邊距離相等

內心性質：（1）設I為△ABC的內心，則I到△ABC三邊的距離相等，反之亦然

（2）設I為△ABC的內心，則

CAIBBAICABIC???????????????

2

1

90,

2

1

90,

2

1

90

13．外心：三角形的三條中垂線的交點——外接圓圓心，即外心到三角形各頂點距離相等；

外心性質：（1）外心到三角形各頂點距離相等

（2）設O為△ABC的外心，則

ABOC???2

或

ABOC?????2360

（3）

?

?

S

abc

R

4

；（4）銳角三角形的外心到三邊的距離之和等于其內切圓與外接圓半徑之和

14．三角形面積公式

CBAR

R

abc

CabahS

aABC

sinsinsin2

4

sin

2

1

2

1

2????

?

))()((cpbpapppr?????

，

其中

a

h表示

BC

邊上的高，

R

為外接圓半徑，r為內切圓半徑，

)(

2

1

cbap???

19·斜率公式

①21

21

yy

k

xx

?

?

?

（

111

(,)Pxy、

222

(,)Pxy）.

②k=tanα(α為直線傾斜角）

20·兩條直線的平行和垂直

(1)若

111

:lykxb??，

222

:lykxb??

①

121212

||,llkkbb???;

②

1212

1llkk????

.

21·點到直線的距離

00

22

||AxByC

d

AB

??

?

?

(點

00

(,)Pxy,直線l：

0AxByC???

).