數(shù)列求和

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數(shù)列的五種求和公式

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數(shù)列求和的幾種常見方法

數(shù)列問題中蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，是高考用來考查考生對數(shù)學(xué)思想

方法理解程度的良好素材，是歷年高考的一大熱點(diǎn)，在高考命題中，多以與不

等式的證明或求解相結(jié)合的形式出現(xiàn)，一般數(shù)列的求和，主要是將其轉(zhuǎn)化為等

差數(shù)列或等比數(shù)列的求和問題，因此，我們有必要對數(shù)列求和的各種方法進(jìn)行

系統(tǒng)探討.

1、公式求和法

通過分析判斷并證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列后，可直接利用等

差、等比數(shù)列的求和公式求和，或者利用前個(gè)正整數(shù)和的計(jì)算公式等直接求和.

運(yùn)用公式求解的注意事項(xiàng)：首先要注意公式的應(yīng)用范圍，確定公式適用于這個(gè)

數(shù)列之后，再計(jì)算.特別地，注意數(shù)列是等比數(shù)列時(shí)需要討論和的情況.

⑴等差數(shù)列求和公式：

⑵等比數(shù)列求和公式：

另外，還有必要熟練掌握一些常見的數(shù)列的前項(xiàng)和公式.正整數(shù)和公式

有：；；

例1、已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且若,求數(shù)列的前項(xiàng)和

分析：根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)和前項(xiàng)和的關(guān)系入手求出再根據(jù)（)求出數(shù)列的通項(xiàng)公

式后，確定數(shù)列的特點(diǎn)，根據(jù)公式解決.

解：∵當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，適合上式

，，即

∴數(shù)列是首項(xiàng)為4、公比為2的等比數(shù)列.

∴；

【能力提升】公式法主要適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)

列的數(shù)列的求和，一些綜合性的數(shù)列求和的解答題最后往往就歸結(jié)為一個(gè)等差

數(shù)列或等比數(shù)列的求和問題.

變式訓(xùn)練1：已知，求的前項(xiàng)和.

變式訓(xùn)練2：設(shè),求的最大值.

2、倒序相加法

如果一個(gè)數(shù)列，與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常

數(shù)，可采用把正著寫與倒著寫的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一

求和方法稱為倒序相加法.我們在學(xué)知識(shí)時(shí)，不但要知其果，更要索其因，知識(shí)

的得出過程是知識(shí)的源頭，也是研究同一類知識(shí)的工具，例如：等差數(shù)列前項(xiàng)

和公式的推導(dǎo)，用的就是“倒序相加法”.則

例2、已知函數(shù)求

分析：由所求的和式的特點(diǎn)，易想到探究：和為1的兩個(gè)自變量函數(shù)值的

和是否為常數(shù).從而確定可否用倒序相加法求和.

【解析】∵

∴設(shè)①②

∴①+②得,所以

【能力提升】倒序相加法來源于課本，是等差數(shù)列前項(xiàng)和公司推導(dǎo)時(shí)所運(yùn)

用的方法，它是一種重要的求和方法.當(dāng)求一個(gè)數(shù)列的有限項(xiàng)和時(shí)，若是“與首

末兩端等距離”的兩項(xiàng)和都相等，即可用此法.

例3、已知，則

解：∵由

∴原式

變式訓(xùn)練1：求的值

變式訓(xùn)練2：如已知函數(shù)對任意都有，

+…，（），求

變式訓(xùn)練3：已知，那么

3、裂項(xiàng)相消法

裂項(xiàng)相消法是將數(shù)列的各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，使得前后項(xiàng)相抵消，留下有

限項(xiàng)，從而求出數(shù)列的前項(xiàng)和.一般地，我們把數(shù)列的通項(xiàng)分成兩項(xiàng)之差，在

求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和.適用于類似（其中是各項(xiàng)不

為的等差數(shù)列，為常數(shù)）的數(shù)列，以及部分無理數(shù)列和含階乘的數(shù)列等.用裂項(xiàng)

法求和，需要掌握一些常見的裂項(xiàng)方法：；；；

例4、是公差為的等差數(shù)列，求

解：∵

∴

例5、數(shù)列滿足，求

分析：根據(jù)給出的遞推式求出數(shù)列，再根據(jù)的特點(diǎn)拆項(xiàng)解決.

解：∵由已知條件，得，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故

∴

∴

∴

變式訓(xùn)練1：在數(shù)列中，，又，求數(shù)列的前項(xiàng)的和.

變式訓(xùn)練:2：求和：

變式訓(xùn)練3：求和：.

4、錯(cuò)位相減法

錯(cuò)位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法，應(yīng)用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘

的形式.即若在（差比數(shù)列）中，成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，在和式的兩邊同乘

以公比，再與原式錯(cuò)位相減整理后即可以求出前項(xiàng)和.

例6、①

②

①—②

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

【能力提升】錯(cuò)位相減法適用于數(shù)列，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列.若等

比數(shù)列中公比未知，則需要對公比分兩種情況進(jìn)行分類討論.

例7、已知數(shù)列是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列，設(shè)，數(shù)列滿足求數(shù)列的前項(xiàng)

和

分析：根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可以知道數(shù)列為等差數(shù)列，這樣數(shù)列就是一個(gè)

等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)的乘積構(gòu)成的數(shù)列，因而可考慮用錯(cuò)位相減法

來解決.

解：∵由題意知，，又，故.

∴

∴

∴

∵兩式相減,得

.

變式訓(xùn)練1、求

變式訓(xùn)練2、若數(shù)列的通項(xiàng)，求此數(shù)列的前項(xiàng)和.

變式訓(xùn)練3、求數(shù)列前項(xiàng)的和.

5、（分組）拆項(xiàng)求和法（裂項(xiàng)重組法）

所謂裂項(xiàng)重組法就是針對一些特殊的數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比

數(shù)列的數(shù)列，我們可以通過拆分、合并、分組，將所求和轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)

列求和

例8、已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為求數(shù)列的前項(xiàng)和.

分析：該數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等比數(shù)列與一個(gè)等差數(shù)列組成的，所以可將

其轉(zhuǎn)化為一個(gè)等比數(shù)列與一個(gè)等差數(shù)列進(jìn)行分組求和.

【解析】

==

=

【能力提升】在求和時(shí)，一定要認(rèn)真觀察數(shù)列的通項(xiàng)公式，如果它能拆分

成幾項(xiàng)的和，而這些項(xiàng)分別構(gòu)成等差數(shù)列或等比數(shù)列，那么我們就可以用此方

法求和.

例9、數(shù)列的前項(xiàng)和是，若數(shù)列的各項(xiàng)按如下規(guī)則排列：若存在自然數(shù)，

使，則.

分析：數(shù)列的構(gòu)成規(guī)律是分母為2的一項(xiàng)，分母為3的兩項(xiàng)，分母為4的

三項(xiàng)，···，故這個(gè)數(shù)列的和可以并項(xiàng)求解.

解：

而這樣,而

故，故填

【能力提升】當(dāng)一個(gè)數(shù)列連續(xù)的幾項(xiàng)之間具有明顯的規(guī)律性，特別是一些

正負(fù)相間或者是周期性的數(shù)列等，可以考慮用并項(xiàng)求和的方法.

變式訓(xùn)練1：求和：

變式訓(xùn)練2：求數(shù)列的前項(xiàng)和

變式訓(xùn)練3：求數(shù)列的前項(xiàng)和.