基本不等式教案

1/12

《基本不等式

2

ab

ab

?

?（第

1

課時）》教學設計

“基本不等式”是必修5的重點內容，它是在系統學習了不等關系和不等式性質，掌

握了不等式性質的基礎上對不等式的進一步研究，同時也是為了以后學習選修教材中關于不

等式及其證明方法等內容作鋪墊，起著承上啟下的作用．利用基本不等式求最值在實際問題

中應用廣泛．同時本節知識又滲透了數形結合、化歸等重要數學思想，有利于培養學生良

好的思維品質．

1．學會推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不

等號“≥”取等號的條件是：當且僅當這兩個數相等；

2．通過實例探究抽象基本不等式；

3．通過本節的學習，體會數學來源于生活，提高學習數學的興趣．

【教學重點】

應用數形結合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式

2

ab

ab

?

?的證明過程；

【教學難點】

基本不等式

2

ab

ab

?

?等號成立條件

1．課題導入

基本不等式

2

ab

ab

?

?的幾何背景：

如圖是在北京召開的第24界國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽

的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客．你能在這個圖

案中找出一些相等關系或不等關系嗎？

教師引導學生從面積的關系去找相等關系或不等關系．

【設計意圖】由北京召開的第24界國際數學家大會的會標引出新課，使數學貼近實際，

來源于生活．

◆教學過程

◆教學重難點

◆

◆教學目標

◆教材分析

2/12

2．講授新課

1．探究圖形中的不等關系

將圖中的“風車”抽象成如圖，在正方形ABCD中右個全等的直角三角形．設直角三

角形的兩條直角邊長為a，b那么正方形的邊長為22ab?．這樣，4個直角三角形的面積

的和是2ab，正方形的面積為22ab?．由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，我

們就得到了一個不等式：222abab??．

當直角三角形變為等腰直角三角形，即a=b時，正方形EFGH縮為一個點，這時有

222abab??．

2．得到結論：一般的，如果)""(2R,,22號時取當且僅當那么?????baabbaba

3．思考證明：你能給出它的證明嗎？

證明：因為222)(2baabba????

當22,()0,,()0,abababab??????時當時

所以，0)(2??ba，即.2)(22abba??

4．（1）從幾何圖形的面積關系認識基本不等式

2

ab

ab

?

?

特別的，如果a>0，b>0，我們用分別代替a、b，可得

2abab??

，

通常我們把上式寫作：(a>0,b>0)

2

ab

ab

?

?

（2）從不等式的性質推導基本不等式

2

ab

ab

?

?

用分析法證明：

要證

2

ab

ab

?

?（1）

只要證a+b?（2）

要證（2），只要證a+b-?0（3）

要證（3），只要證（-）2（4）

顯然，（4）是成立的．當且僅當a=b時，（4）中的等號成立．

（3）理解基本不等式

2

ab

ab

?

?的幾何意義

探究：

3/12

在右圖中，AB是圓的直徑，點C是AB上的一點，AC=a，BC=b．過點C

作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD．你能利用這個圖形得出基本不等式

2

ab

ab

?

?的幾何解釋嗎？

易證Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB

即ＣD＝

ab

．

這個圓的半徑為

2

ba?

，顯然，它大于或等于CD，即ab

ba

?

?

2

，其中當且僅當點

C與圓心重合，即a＝b時，等號成立．

因此：基本不等式

2

ab

ab

?

?幾何意義是“半徑不小于半弦”

評述：1．如果把

2

ba?

看作是正數a、b的等差中項，

ab

看作是正數a、b的等比中

項，那么該定理可以敘述為：兩個正數的等差中項不小于它們的等比中項．

2.在數學中，我們稱

2

ba?

為a、b的算術平均數，稱

ab

為a、b的幾何平均數．本

節定理還可敘述為：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數．

【設計意圖】老師引導，學生自主探究得到結論并證明，鍛煉了學生的自主研究能力和

研究問題的邏輯分析能力．

[補充例題]

例1已知x、y都是正數，求證：

（1）

y

x

x

y

?≥2；

（2）（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3．

分析：在運用定理：ab

ba

?

?

2

時，注意條件a、b均為正數，結合不等式的性質（把

握好每條性質成立的條件），進行變形．

解：∵x，y都是正數∴

y

x

＞0，

x

y

＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0

（1）

x

y

y

x

x

y

y

x

???2＝2即

x

y

y

x

?≥2．

（2）x＋y≥2xy＞0x2＋y2≥222yx＞0x3＋y3≥233yx

4/12

＞0

∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2xy·222yx·233yx＝８x3y3

即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3．

【設計意圖】例題講解，學以致用．

3．隨堂練習

1．已知a、b、c都是正數，求證

（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc

分析：對于此類題目，選擇定理：ab

ba

?

?

2

（a＞0，b＞0）靈活變形，可求得結

果．

解：∵a，b，c都是正數

∴a＋b≥2

ab

＞0

b＋c≥2bc＞0

c＋a≥2ac＞0

∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2

ab

·2

bc

·2

ac

＝８abc

即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc．

【設計意圖】講練結合，熟悉新知．

4．課時小結

本節課，我們學習了重要不等式a2＋b2≥2ab；兩正數a、b的算術平均數（

2

ba?

），

幾何平均數（

ab

）及它們的關系（

2

ba?

≥

ab

）．它們成立的條件不同，前者只要求a、

b都是實數，而后者要求a、b都是正數．它們既是不等式變形的基本工具，又是求函數最

值的重要工具（下一節我們將學習它們的應用）．我們還可以用它們下面的等價變形來解決

問題：ab≤

2

22ba?

，ab≤（

2

ba?

）2

【設計意圖】課時小結，內化知識．

本次課通過實例探究抽象基本不等式；由北京召開的第24界國際數學家大會的會標情

境引入，貼近生活，貼近數學，能讓學生體會數學來源于生活，提高學習數學的興趣．

◆教學反思

5/12

《基本不等式

2

ab

ab

?

?（第2課時）》教學

設計

“基本不等式”是必修5的重點內容，它是在系統學習了不等關系和不等式性質，掌

握了不等式性質的基礎上對不等式的進一步研究，同時也是為了以后學習選修教材中關于不

等式及其證明方法等內容作鋪墊，起著承上啟下的作用．利用基本不等式求最值在實際問題

中應用廣泛．同時本節知識又滲透了數形結合、化歸等重要數學思想，有利于培養學生良

好的思維品質．

1．進一步掌握基本不等式

2

ab

ab

?

?；會應用此不等式求某些函數的最值；能夠解

決一些簡單的實際問題

2．通過兩個例題的研究，進一步掌握基本不等式

2

ab

ab

?

?，并會用此定理求某些

函數的最大、最小值．

3．引發學生學習和使用數學知識的興趣，發展創新精神，培養實事求是、理論與實際

相結合的科學態度和科學道德．

教學重點

基本不等式

2

ab

ab

?

?的應用

教學難點

利用基本不等式

2

ab

ab

?

?求最大值、最小值．

1．課題導入

◆教學過程

◆教學重難點

◆

◆教學目標

◆教材分析

6/12

1．重要不等式：

如果)""(2R,,22號時取當且僅當那么?????baabbaba

2．基本不等式：如果a，b是正數，那么).""(

2

號時取當且僅當???

?

baab

ba

我們稱ba

ba

,

2

為

?

的算術平均數，稱baab,為的幾何平均數

ab

ba

abba?

?

??

2

222和成立的條件是不同的：前者只要求a，b都是實數，

而后者要求a，b都是正數．

【設計意圖】復習引入．

2．講授新課

例1（1）用籬笆圍成一個面積為100m2的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，

所用籬笆最短．最短的籬笆是多少？

（2）段長為36m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少

時，菜園的面積最大，最大面積是多少?

解：（1）設矩形菜園的長為xm，寬為ym，則xy=100，籬笆的長為2（x+y）m．由

2

xy

xy

?

?，

可得

2100xy??

，2()40xy??．等號當且僅當x=y時成立，此時x=y=10．

因此，這個矩形的長、寬都為10m時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是40m．

（2）解法一：設矩形菜園的寬為xm，則長為（36－2x）m，其中0＜x＜

2

1

，其面積

S＝x（36－2x）＝

2

1

·2x（36－2x）≤

2

12

2

236236

()

28

xx??

?

當且僅當2x＝36－2x，即x＝9時菜園面積最大，即菜園長9m，寬為9m時菜園面積最

大為81m2

解法二：設矩形菜園的長為xm．，寬為ym，則2（x+y）=36，x+y=18，矩形菜園

的面積為xym2．由

7/12

18

9

22

xy

xy

?

???，可得81xy?

當且僅當x=y，即x=y=9時，等號成立．

因此，這個矩形的長、寬都為9m時，菜園的面積最大，最大面積是81m2

歸納：1．兩個正數的和為定值時，它們的積有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，

M為定值，則ab≤

4

2M

，等號當且僅當a＝b時成立．

2．兩個正數的積為定值時，它們的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P為定值，

則a＋b≥2P，等號當且僅當a＝b時成立．

例2某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m，如果池底每

1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問怎樣設計水池能使總造價最低，最低

總造價是多少元？

分析：此題首先需要由實際問題向數學問題轉化，即建立函數關系式，然后求函數的最

值，其中用到了均值不等式定理．

解：設水池底面一邊的長度為xm，水池的總造價為l元，根據題意，得

)

1600

(720240000

x

xl???

297600

1600

2720240000

?????

????

x

x

當.2976000,40,

1600

有最小值時即lx

x

x??

因此，當水池的底面是邊長為40m的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是

297600元

評述：此題既是不等式性質在實際中的應用，應注意數學語言的應用即函數解析式的建

立，又是不等式性質在求最值中的應用，應注意不等式性質的適用條件．

歸納：用均值不等式解決此類問題時，應按如下步驟進行：

8/12

（1）先理解題意，設變量，設變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數；

（2）建立相應的函數關系式，把實際問題抽象為函數的最大值或最小值問題；

（3）在定義域內，求出函數的最大值或最小值；

（4）正確寫出答案．

【設計意圖】講解例題，熟悉方法．

3．隨堂練習

1．已知x≠0，當x取什么值時，x2＋

2

81

x

的值最小?最小值是多少?

2．課本練習．

【設計意圖】講練結合，鞏固新知．

4．課時小結

本節課我們用兩個正數的算術平均數與幾何平均數的關系順利解決了函數的一些最值

問題．在用均值不等式求函數的最值，是值得重視的一種方法，但在具體求解時，應注意考

查下列三個條件：（1）函數的解析式中，各項均為正數；（2）函數的解析式中，含變數的各

項的和或積必須有一個為定值；（3）函數的解析式中，含變數的各項均相等，取得最值即用

均值不等式求某些函數的最值時，應具備三個條件：一正二定三取等．

【設計意圖】課時小結，內化知識．

本次課通過兩個例題的研究，進一步掌握基本不等式

2

ab

ab

?

?，并會用此定理求某

些函數的最大、最小值．引發學生學習和使用數學知識的興趣，發展創新精神，培養實事求

是、理論與實際相結合的科學態度和科學道德．

《基本不等式

2

ab

ab

?

?（第3課時）》

教學設計

“基本不等式”是必修5的重點內容，它是在系統學習了不等關系和不等式性質，掌

握了不等式性質的基礎上對不等式的進一步研究，同時也是為了以后學習選修教材中關于不

◆教材分析

◆教學反思

9/12

等式及其證明方法等內容作鋪墊，起著承上啟下的作用．利用基本不等式求最值在實際問題

中應用廣泛．同時本節知識又滲透了數形結合、化歸等重要數學思想，有利于培養學生良

好的思維品質．

1．進一步掌握基本不等式

2

ab

ab

?

?；會用此不等式證明不等式，會應用此不等式

求某些函數的最值，能夠解決一些簡單的實際問題；

2．通過例題的研究，進一步掌握基本不等式

2

ab

ab

?

?，并會用此定理求某些函數

的最大、最小值．

3．引發學生學習和使用數學知識的興趣，發展創新精神，培養實事求是、理論與實際

相結合的科學態度和科學道德．

教學重點

掌握基本不等式

2

ab

ab

?

?，會用此不等式證明不等式，會用此不等式求某些函數的

最值

教學難點

利用此不等式求函數的最大、最小值．

1．課題導入

1．基本不等式：如果a，b是正數，那么).""(

2

號時取當且僅當???

?

baab

ba

2．用基本不等式

2

ab

ab

?

?求最大（小）值的步驟．

【設計意圖】復習引入．

2．講授新課

1）利用基本不等式證明不等式

例1已知m>0，求證

24

624m

m

??．

[思維切入]因為m>0，所以可把

24

m

和6m分別看作基本不等式中的a和b，直接利用

基本不等式．

◆教學過程

◆教學重難點

◆

◆教學目標

10/12

[證明]因為m>0，，由基本不等式得

2424

626224621224mm

mm

?????????

當且僅當

24

m

=6m，即m=2時，取等號．

規律技巧總結注意：m>0這一前提條件和

24

6m

m

?=144為定值的前提條件．

【設計意圖】例題講解，利用基本不等式證明不等式，熟練使用基本不等式．

3．隨堂練習1

[思維拓展1]已知a，b，c，d都是正數，求證()()4abcdacbdabcd???．

[思維拓展2]求證22222()()()abcdacbd????．

例2求證：

4

7

3

a

a

??

?

．

[思維切入]由于不等式左邊含有字母a，右邊無字母，直接使用基本不等式，無法約

掉字母a，而左邊

44

(3)3

33

aa

aa

?????

??

．這樣變形后，在用基本不等式即可得證．

[證明]

444

3(3)32(3)32437

333

aa

aaa

???????????

???

當且僅當

4

3a?

=a-3即a=5時，等號成立．

規律技巧總結通過加減項的方法配湊成基本不等式的形式．

2）利用不等式求最值

例3（1）若x>0，求

9

()4fxx

x

??的最小值；

（2）若x<0，求

9

()4fxx

x

??的最大值．

[思維切入]本題（1）x>0和

9

4x

x

?=36兩個前提條件；（2）中x<0，可以用-x>0來轉化．

11/12

解（1）因為x>0由基本不等式得

99

()42423612fxxx

xx

??????

，當且僅當

9

4x

x

?即x=

3

2

時，

9

()4fxx

x

??取最小值12．

（2）因為x<0，所以-x>0，由基本不等式得：

999

()(4)(4)()2(4)()23612fxxxx

xxx

??????????????

，

所以()12fx?．

當且僅當

9

4x

x

???即x=-

3

2

時，

9

()4fxx

x

??取得最大-12．

規律技巧總結利用基本不等式求最值時，個項必須為正數，若為負數，則添負號變正．

隨堂練習2

[思維拓展1]求

9

()4

5

fxx

x

??

?

（x>5）的最小值．

[思維拓展2]若x>0，y>0，且

28

1

xy

??，求xy的最小值．

【設計意圖】講練結合，鞏固新知．

4．課時小結

用基本不等式

2

ab

ab

?

?證明不等式和求函數的最大、最小值．

【設計意圖】總結基本不等式在某些方面的運用，鍛煉學生自我總結的能力．

5．評價設計

１．證明：22222abab????

12/12

２．若1??x，則

x

為何值時

1

1

?

?

x

x有最小值，最小值為幾？

【設計意圖】將課堂知識延伸至課外，在鞏固知識的同時，鍛煉了學生的自主學習能力．

本次課是一次常規的習題課，復習知識、舉例運用、學生練習、課外練習，從而達到鞏

固知識的效果．其實這次課還是可以采用老師引導，學生分組討論研究，得到結果，得到解

題方法，從而讓學生體驗自主研究題目，得到結論的樂趣．

◆教學反思