求極限公式

11

高等數(shù)學(xué)求極限的14種方法

一、極限的定義

1.極限的保號性很重要：設(shè)Axf

xx

?

?

)(lim

0

，

（1）若A0?，則有0??，使得當(dāng)????||0

0

xx時(shí)，0)(?xf；

（2）若有,0??使得當(dāng)????||0

0

xx時(shí)，0A,0)(??則xf。

2.極限分為函數(shù)極限、數(shù)列極限，其中函數(shù)極限又分為

??x

時(shí)函數(shù)的極限和

0

xx?的極限。

要特別注意判定極限是否存在在：

（1）數(shù)列??的充要條件收斂于a

n

x是它的所有子數(shù)列均收斂于a。常用的是其推論，即“一個數(shù)列收斂于a的充

要條件是其奇子列和偶子列都收斂于a”

（2）A

x

xf

x

Axf

x

?

???

?

???

??

??

limlimlim)()(

(3)A

xxxx

Axf

xx

?

?

?

?

??

???

limlimlim

00

0

)(

(4)單調(diào)有界準(zhǔn)則

（5）兩邊夾擠準(zhǔn)（夾逼定理/夾逼原理）

(6)柯西收斂準(zhǔn)則（不需要掌握）。極限

)(lim

0

xf

xx?

存在的充分必要條件。是：

???

?

???????|)()(|)(,0,0

21021

xfxfxUxxo時(shí)，恒有、使得當(dāng)

二．解決極限的方法如下：

1.等價(jià)無窮小代換。只能在乘除

．．

時(shí)候使用。例題略。

2.洛必達(dá)（L’hospital）法則（大題目有時(shí)候會有暗示要你使用這個方法）

它的使用有嚴(yán)格的使用前提。首先必須是X趨近，而不是N趨近，所以面對數(shù)列極限時(shí)候先要轉(zhuǎn)化成求x趨

近情況下的極限，數(shù)列極限的n當(dāng)然是趨近于正無窮的，不可能是負(fù)無窮。其次,必須是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要存在，假

如告訴f（x）、g（x）,沒告訴是否可導(dǎo)，不可直接用洛必達(dá)法則。另外，必須是“0比0”或“無窮大比無窮大”,

并且注意導(dǎo)數(shù)分母不能為0。洛必達(dá)法則分為3種情況：

（1）“

0

0

”“

?

?

”時(shí)候直接用

(2)“??0”“???”，應(yīng)為無窮大和無窮小成倒數(shù)的關(guān)系，所以無窮大都寫成了無窮小的倒數(shù)形式了。通

22

項(xiàng)之后，就能變成(i)中的形式了。即

)(

1

)(

)()(

)(

1

)(

)()(

xf

xg

xgxf

xg

xf

xgxf??或

；

)()(

1

)(

1

)(

1

)()(

xgxf

xfxg

xgxf

?

??

(3)“00”“?1”“0?”對于冪指函數(shù),方法主要是取指數(shù)還取對數(shù)的方法，即exfxg

xgxf)(ln)(

)()(?，

這樣就能把冪上的函數(shù)移下來了，變成“??0”型未定式。

3.泰勒公式(含有xe的時(shí)候，含有正余弦的加減的時(shí)候）

1

2

)!1(!!2

1?

?

??????n

xn

xx

n

e

n

xx

xe

?

?；

321

1253

)!32(

cos

)1(

)!12(

)1(

!5!3

sin??

?

?

??

?

??????mm

m

mx

m

x

m

xxx

xx

?

?

cos=221

242

)!22(

cos

)1(

)!2(

)1(

!4!2

1??

?

???????mm

m

mx

m

x

m

xxx?

?

ln（1+x）=x-

1

1

1

32

)1)(1(

)1()1(

32?

?

?

??

??????

n

n

n

n

n

xn

x

n

xxx

?

?

(1+x)u=1112)1(

!2

)1(

1????????

?

??nnun

u

nn

u

xxCxCx

uu

ux??

以上公式對題目簡化有很好幫助

4.兩多項(xiàng)式相除:設(shè)

均不為零

mn

ba,

，

P（x）=

01

1

1

axaxaxan

n

n

n

?????

?

?

,

01

1

1

)(bxbxbxbxQm

m

m

m

??????

?

?

(1)

?

?

?

?

?

?

?

?

?

??

?

?

?

??

)(,

)(,0

)(,

)(

)(lim

mn

mn

nm

b

a

xQ

xP

x

n

n

（2）若0)(

0

?xQ，則

)(

)(

)(

)(

0

0lim

0

xQ

xP

xQ

xP

xx

?

?

5.無窮小與有界函數(shù)的處理辦法。例題略。

面對復(fù)雜函數(shù)時(shí)候，尤其是正余弦的復(fù)雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時(shí)候，一定要注意這個方法。面對非常復(fù)雜的

函數(shù)可能只需要知道它的范圍結(jié)果就出來了。

6.夾逼定理：主要是應(yīng)用于數(shù)列極限，常應(yīng)用放縮和擴(kuò)大不等式的技巧。以下面幾個題目為例：

（1）設(shè)

0???cba

，n

nnn

n

cbax???，求

n

n

xlim

??

解：由于

aaaaaxan

nn

n

n

????

????

)3(,,3limlim以及

，由夾逼定理可知ax

n

n

?

??

lim

33

（2）求

?

?

?

?

?

?

??

?

?

??

222)2(

1

)1(

11lim

nnn

n

?

解：由

n

nnnnnn

1111

)2(

1

)1(

11

0

222222

???????

?

????

，以及0

1

0limlim??

????

n

nn

可知，原式=0

(3)求

?

?

?

?

?

?

?

?

?

??

?

?

???nnnnn

222

1

2

1

1

1lim?

解：由

nn

n

nnnnnnnn

n

n

nnn

?

?

?

?

?

?

?

?

?

??

?

?

?

????

222222

1111

2

1

1

1

1

111

???

,

以及

1

1

1

1

1limlimlim

2

?

?

?

?

?

??????

n

nn

n

nnn

得，原式=1

7.數(shù)列極限中等比等差數(shù)列公式應(yīng)用（等比數(shù)列的公比q絕對值要小于1）。例如：

求??12321lim?

??

????n

n

nxxx?

)1|(|?x。提示：先利用錯位相減得方法對括號內(nèi)的式子求和。

8.數(shù)列極限中各項(xiàng)的拆分相加（可以使用待定系數(shù)法來拆分化簡數(shù)列）。例如：

?

?

?

?

?

?

?

?

?

??

?

?

?

??

)1(

1

32

1

21

1lim

nn

n

?

=

1

)1(

1

1

)1(

11

3

1

2

1

2

1

1limlim?

?

?

?

?

?

?

?

??

?

?

?

?

?

?

?

??????

????

nnn

nn

?

9.利用

1?nx

xx與極限相同求極限。例如：

（1）已知

n

na

aa

1

2,2

11

???

?

，且已知

n

n

alim

??

存在，求該極限值。

解:設(shè)

n

n

alim

??

=A，（顯然A

0?

）則

A

A

1

2??

，即0122???AA，解得結(jié)果并舍去負(fù)值得A=1+

2

（2）利用

．．

單調(diào)有界的性質(zhì)

．．．．．．．

。

．

利用這

．．．

種方法時(shí)一定要先證明單調(diào)性和有界性。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．

例如

設(shè)

n

n

nn

xxxxxlim,2,,22,2

121

??

?

?????求?

解：（i）顯然2

21

??xx（ii）假設(shè)

,2

1

??

?kk

xx

則2222

1

?????

?kk

xx，即2

1

??

?kk

xx。所以，

??

n

x是單調(diào)遞增數(shù)列，且有上界，收斂。設(shè)

A

n

?

??

lim，（顯然)0?A則AA??2，即022???AA。

解方程并舍去負(fù)值得A=2.即

2lim?

??

n

n

x

10.兩個重要極限的應(yīng)用。

（1）

1

sinlim

0

?

?

x

x

x

常用語含三角函數(shù)的“

0

0

”型未定式

(2)??exx

x

??

?

1

0

1lim，在“?1”型未定式中常用

11.還有個非常方便的方法就是當(dāng)趨近于無窮大時(shí)候不同函數(shù)趨近于無窮的速度是不一樣的，nn快于n！,n！快

于指數(shù)型函數(shù)nb(b為常數(shù))，指數(shù)函數(shù)快于冪函數(shù),冪函數(shù)快于對數(shù)函數(shù)。當(dāng)x趨近無窮的時(shí)候，它們比值的

44

極限就可一眼看出。

12.換元法。這是一種技巧，對一道題目而言，不一定就只需要換元，但是換元會夾雜其中。例如：求極限

x

x

x

2sin

2

arccos

lim

0

?

?

?

。解：設(shè)ttxtxxtsin)

2

cos(,00,

2

arccos????????

??

且時(shí)，則。

原式=

2

1

sin22

2

arccos

2

2

arccos

2sin

2limlimlim

000

??

?

?

?

?

?

???

t

t

x

x

x

x

x

x

txx

??

13．利用定積分求數(shù)列極限。例如：求極限

?

?

?

?

?

?

?

??

?

?

?

??

nnnn

n

1

2

1

1

1lim?。由于

n

i

n

in

?

?

?

1

1

1

，所以

2ln

11

1

1

1

1

11

2

1

1

12

1

limlim??

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

??

?

?

?

?

????

xn

n

n

n

nnnn

nn

??

14.利用導(dǎo)數(shù)的定義求“

0

0”型未定式極限。一般都是x

?

0時(shí)候，分子上是“

)()(afxaf??

”的形式，看見了這

種形式要注意記得利用導(dǎo)數(shù)的定義。（當(dāng)題目中告訴你

m'?）（af

告訴函數(shù)在具體某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值時(shí)，基本上

就是暗示一定要用導(dǎo)數(shù)定義）

例:設(shè)

)(,0)('afaf?

存在，求??

n

n

af

n

af

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

??

1

lim

解：原式=

??n

af

af

n

af

af

n

af

af

n

n

n

af

af

n

af

af

af

n

af)(

)()

1

(

)()

1

(

)(

)(

)()

1

(

1

)(

1

1limlim

??

?

??

?????

?

?

?

?

?

?

?

?

?

??

??

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

=

)(

)('

)(

1

1

)()

1

(

limaf

af

af

n

af

n

af

n

ee?

??

??