一元二次方程的求根公式

求根公式法解一元二次方程的五個(gè)注意點(diǎn)

江蘇劉頓

大家知道，一般地，對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)，當(dāng)b2－4ac≥0時(shí)，方程有

兩個(gè)實(shí)數(shù)根：x

1,2

＝

24

2

bbac

a

???

；當(dāng)b2－4ac＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.盡管如此，我們

在具體求解時(shí)還應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題：

一、注意化方程為一般形式

例1解方程：6x2+3x＝(1+2x)(2+x).

分析將原方程整理成一元二次方程的一般形式后確定a、b、c的值，代入求根公式求

解.

解原方程可化為：4x2－x－2＝0.因?yàn)閍＝4，b＝－1，c＝－2，所以b2－4ac＝(－1)2

－4×4×(－2)＝33＞0.

所以x＝

24

2

bbac

a

???

＝

(1)33

24

???

?

＝

133

8

?

，

即x

1

＝

133

8

?

，x

2

＝

133

8

?

.

說(shuō)明對(duì)于結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜的一元二次方程，一定要依據(jù)有關(guān)知識(shí)將其化為一般形式，然

后才能想到運(yùn)用求根公式.

二、注意方程有實(shí)數(shù)根的前提條件是b2－4ac≥0

例2解方程：3x2＝5x－4.

分析先移項(xiàng)，化原方程為一般形式，確定a、b、c的值，再估算一下b2－4ac的值.

解移項(xiàng)，得3x2－5x+4＝0.

因?yàn)閍＝3，b＝－5，c＝4，所以b2－4ac＝－23＜0，因此一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)解.

說(shuō)明由本題的求解過(guò)程，我們可以看出在解一元二次方程時(shí)，化一元二次方程為一般

形式，確定a、b、c的值后，估算一下b2－4ac的值非常重要，不然就有可能出現(xiàn)下列的錯(cuò)

誤：x

1,2

＝

24

2

bbac

a

???

＝

523

6

??

.

三、注意a、b、c的確定應(yīng)包括各自的符號(hào)

例3解方程：2x2－5x+1＝0.

分析已知方程已經(jīng)是一般形式，只要對(duì)號(hào)入座地寫(xiě)出a、b、c，再求b2－4ac的值，

最后即求解.

解因?yàn)閍＝2、b＝－5、c＝1，所以b2－4a＝(－5)2－4×2×1＝17＞0.

所以x＝

24

2

bbac

a

???

＝

(5)17

22

???

?

＝

517

4

?

，

即x

1

＝

517

4

?

，x

2

＝

517

4

?

.

說(shuō)明確定出a、b、c的值，應(yīng)注意兩個(gè)問(wèn)題：一是要化原方程為一般形式，二是要注

意連同a、b、c本身的符號(hào)，特別是“－”號(hào)更不能漏掉.

四、注意一元二次方程如果有根，應(yīng)有兩個(gè)

例4解方程：x(x－23)+3＝0.

分析將原方程化為一般形式后代入求根公式.

解原方程可化為x2－23x+3＝0.因?yàn)閍＝1、b＝－23、c＝3，所以b2－4a＝(－

23)2－4×1×3＝0.

所以x＝

24

2

bbac

a

???

＝

??230

21

???

?

＝3.

所以x

1

＝x

2

＝3.

說(shuō)明當(dāng)b2－4a＝0時(shí)表明原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以在具體作答時(shí)不能出現(xiàn)x

＝3的錯(cuò)誤.

五、求解出的根應(yīng)注意適當(dāng)化簡(jiǎn)

例5解方程：2x2－2x－1＝0.

分析因?yàn)閍＝2，b＝－2，c＝－1，所以b2－4ac＝(－2)2－4×2×(－1)＝12.

所以x＝

24

2

bbac

a

???

＝

212

22

?

?

＝

223

4

?

.

所以x

1

＝

2

31?

，x

2

＝

2

31?

.

說(shuō)明本題利用求根公式求得的結(jié)果時(shí)應(yīng)約去分子與分母中的公約數(shù)，以便使結(jié)果簡(jiǎn)

便，值得注意的是，在化簡(jiǎn)時(shí)一定要注意不能出現(xiàn)差錯(cuò).

下面幾道題目供同學(xué)們自己練習(xí)：

用求根公式解下列方程：

1，x2－3x＋2＝0.

2，x2+2x＝3.

3，9x2+10x－4＝0.

4，10y2－12y+1＝0.

5，3x(x－1)＋2x＝2.

6，x2+2x－4＝0.

7，(x－3)2＝43x.

8，3x(x－2)＝2(x－2).

用求根公式解下列關(guān)于x的方程：

9，x2+2ax+a2－b2＝0.

10，x2+2(p－q)x－4pq＝0.

11，(a2－b2)x2－4abx＝a2－b2(a2－b2≠0).

12，(x+a)(x－b)+(x－a)(x+b)＝2a(ax－b).

參考答案：1，x

1

＝1，x

2

＝2；2，x

1

＝－3，x

2

＝1；3，x＝

561

9

??

；4，x＝

626

10

?

；

5，x

1

＝1，x

2

＝

2

3

；6，x＝

225

2

??

；7，x

1

＝x

2

＝－3；8，x

1

＝2，x

2

＝

2

3

，9，x

1

＝－

a－b，x

2

＝－a+b；10，x

1

＝－2p，x

2

＝2q；11，x

1

＝－

ab

ab

?

?

，x

2

＝

ab

ab

?

?

；12，x

1

＝0，x

2

＝a2.