物理奧賽

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高中物理奧賽常用數學公式

一、等差、等比數列

1．定義：??

1nnn

aada

?

???是等差數列

??1,(0,0)n

nn

n

a

qaqa

a

?????是等比數列

,,(,)

2

ab

ababab

?

?等差中項等比中項同號

2.公式

(1)通項

1

(1)()

nm

aandanmd??????1

1

nnm

nm

aaqaq????

(2)前n項和1

1

(1)(1)

()

222

n

nn

aa

nnnn

snnadnad

?

??

??????

1

(1)

2

n

s

d

an

n

???也是等差數列

1

1

1

(1)

1

11

1

n

n

n

aaq

aq

q

qq

s

naq

?

?

?

??

?

??

?

?

?

?

?

二.數列求和

(1)2222

(1)(21)

123...

6

nnn

n

??

?????

(2)

22

3332

(1)

12(12)

4

nn

nn

?

????????

三、三角公式

1、和差角公式

2/13

??

??

??22

sinsincoscossin

coscoscossinsin

tantan

tan()

1tantan

tantantan()(1tantan)

sincossinabab

??????

??????

??

??

??

??????

????

???

??

?

??

???

????

2、倍角公式萬能公式

2

2tan

sin22sincos

1tan

?

???

?

??

?

2

2222

2

1tan

cos2cossin2cos112sin

1tan

?

?????

?

?

???????

?

2

333

2tan

tan2

1tan

sin33sin4sincos4cos3cos

?

?

?

??????

?

?

????

3、半角公式，升降冪公式

22

22

1cos1cos1cos1cossin

sincostan

222221cossin1cos

1cos21cos2

sincos

22

1cos2cos1cos2sin

22

????????

???

??

??

??

??

????

????????

??

??

??

????

4、積化和差，和差化積公式

sinsin2sincossinsin2sincos

2222

coscos2coscoscoscos2sincos

2222

11

sincos[sin()sin()]coscos[cos()cos()]

22

1

sinsin[cos()cos()]

2

????????

????

????????

????

????????????

??????

????

????

????

?????

????????

?????

（2）正弦定理2

sinsinsin

abc

R

ABC

???(R是ABC?外接圓半徑)

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（3）余弦定理2222coscababC???

222

cos

2

abc

C

ab

??

?

（4）

11

sin()()()

224ABCa

abc

SahabCprppapbpc

R?

????????

其中

2

abc

p

??

?為半周長

四、重要不等式

1．

222

(,0)

11

22

abab

abab

ab

??

????

?

2．

222

3

3

(,,0)

111

33

abcabc

abcabc

abc

????

????

??

3．

2

22

(,)

22

abab

abababR

??

??

???

??

??

3

(,,0)

3

abc

abcabc

??

??

??

??

??

五、球

1、222Rrd??

2、球面距離lR???

22

2

2222

cos

2

2cos

RRAB

R

ABrrr

?

?

??

?

???

（?是徑度差）

3、24SR??

球內接長方體222224lRabc????

側棱兩兩垂直的三棱錐補形

?

長方體

?

球內接長方體

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4、體積3

4

3

VR??

3

SV

R

RSV

??

?

??球球

球球

多面體內切球半徑：

3V

r

S

?

全

六、二項式定理

（1）011()nnnnn

nnn

abCaCabCb??????

（2）22(1)11n

n

xnxnxcx??????

七、導數

1．??

????

00

0

00xx

fxxfx

y

fxlimlim

xx????

???

?

?

??

??

????

0

0fxxfxxx???在處可導，注意：在處不可導

二、運算法則：

????????

??????

2

12

34

xu

UVUVUVUVUV

UUVUV

yyux

V

V

??

????

?????

?

??

?

??

??

?

??

??

??

三、導數公式

（1）0C

?

?（2）??1nnxnx??

?

（3）??xxee

?

?（4）??xxaalna

?

?

（5）

1

(lnx)

x

?

?（6）

11

(log)log

lnaa

xe

xxa

?

??

（7）(sin)cosxx

?

?（8）(cos)sinxx

?

??

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8、設三角形ABC的外心為O，垂心為H，從O向BC邊引垂線，設垂足

不L，則AH=2OL中考不需要，競賽中很顯然的結論

9、三角形的外心，垂心，重心在同一條直線上。高中競賽中非常重要的

定理，稱為歐拉線

10、(九點圓或歐拉圓或費爾巴赫圓)三角形中，三邊中心、從各頂點向其

對邊所引垂線的垂足，以及垂心與各頂點連線的中點，這九個點在同一個

圓上，高中競賽中的常用定理

11、歐拉定理：三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心依次位于同一直

線(歐拉線)上高中競賽中會用，不常用

12、庫立奇*大上定理：(圓內接四邊形的九點圓)圓周上有四點，過其中

任三點作三角形，這四個三角形的九點圓圓心都在同一圓周上，我們把過

這四個九點圓圓心的圓叫做圓內接四邊形的九點圓。高中競賽的題目，不

用掌握

13、(內心)三角形的三條內角平分線交于一點，內切圓的半徑公式：

r=(s-a)(s-b)(s-c)ss為三角形周長的一半重要

14、(旁心)三角形的一個內角平分線和另外兩個頂點處的外角平分線交于

一點重要

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15、中線定理：(巴布斯定理)設三角形ABC的邊BC的中點為P，則有

AB2+AC2=2(AP2+BP2)初中競賽需要，重要

16、斯圖爾特定理：P將三角形ABC的邊BC內分成m:n，則有

n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2高中競賽需要，重要

17、波羅摩及多定理：圓內接四邊形ABCD的對角線互相垂直時，連接

AB中點M和對角線交點E的直線垂直于CD顯然的結論，不需要掌握

18、阿波羅尼斯定理：到兩定點A、B的距離之比為定比m:n(值不為1)

的點P，位于將線段AB分成m:n的內分點C和外分點D為直徑兩端點

的定圓周上高中競賽需要，重要

19、托勒密定理：設四邊形ABCD內接于圓，則有

AB×CD+AD×BC=AC×BD初中競賽需要，重要

20、以任意三角形ABC的邊BC、CA、AB為底邊，分別向外作底角都

是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，則△DEF是正三角形，學習復

數后是顯然的結論，不需要掌握

21、愛爾可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，則由線段

AD、BE、CF的重心構成的三角形也是正三角形。不需要掌握

22、愛爾可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，則由三

角形△ADG、△BEH、△CFI的重心構成的三角形是正三角形。不需要掌

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握

23、梅涅勞斯定理：設△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線和一條不

經過它們任一頂點的直線的交點分別為P、Q、R則有

BPPC×CQQA×ARRB=1初中競賽需要，重要

24、梅涅勞斯定理的逆定理：(略)初中競賽需要，重要

25、梅涅勞斯定理的應用定理1：設△ABC的∠A的外角平分線交邊CA

于Q、∠C的平分線交邊AB于R，、∠B的平分線交邊CA于Q，則P、

Q、R三點共線。不用掌握

26、梅涅勞斯定理的應用定理2：過任意△ABC的三個頂點A、B、C作

它的外接圓的切線，分別和BC、CA、AB的延長線交于點P、Q、R，則

P、Q、R三點共線不用掌握

27、塞瓦定理：設△ABC的三個頂點A、B、C的不在三角形的邊或它們

的延長線上的一點S連接面成的三條直線，分別與邊BC、CA、AB或它

們的延長線交于點P、Q、R，則BPPC×CQQA×ARRB()=1.初中競賽

需要，重要

28、塞瓦定理的應用定理：設平行于△ABC的邊BC的直線與兩邊AB、

AC的交點分別是D、E，又設BE和CD交于S，則AS一定過邊BC的中

心M不用掌握

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29、塞瓦定理的逆定理：(略)初中競賽需要，重要

30、塞瓦定理的逆定理的應用定理1：三角形的三條中線交于一點這個定

理用塞瓦定理來證明將毫無幾何美感，應該用中位線證明才漂亮

31、塞瓦定理的逆定理的應用定理2：設△ABC的內切圓和邊BC、CA、

AB分別相切于點R、S、T，則AR、BS、CT交于一點。不用掌握

32、西摩松定理：從△ABC的外接圓上任意一點P向三邊BC、CA、AB

或其延長線作垂線，設其垂足分別是D、E、R，則D、E、R共線，(這條

直線叫西摩松線)初中競賽的常用定理

33、西摩松定理的逆定理：(略)初中競賽的常用定理

34、史坦納定理：設△ABC的垂心為H，其外接圓的任意點P，這時關于

△ABC的點P的西摩松線通過線段PH的中心。不用掌握

35、史坦納定理的應用定理：△ABC的外接圓上的一點P的關于邊BC、

CA、AB的對稱點和△ABC的垂心H同在一條(與西摩松線平行的)直線

上。這條直線被叫做點P關于△ABC的鏡象線。不用掌握

36、波朗杰、騰下定理：設△ABC的外接圓上的三點為P、Q、R，則

P、Q、R關于△ABC交于一點的充要條件是：弧AP+弧BQ+弧

CR=0(mod2∏).不用掌握

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37、波朗杰、騰下定理推論1：設P、Q、R為△ABC的外接圓上的三

點，若P、Q、R關于△ABC的西摩松線交于一點，則A、B、C三點關于

△PQR的的西摩松線交于與前相同的一點不用掌握

38、波朗杰、騰下定理推論2：在推論1中，三條西摩松線的交點是A、

B、C、P、Q、R六點任取三點所作的三角形的垂心和其余三點所作的三

角形的垂心的連線段的中點。不用掌握

39、波朗杰、騰下定理推論3：考查△ABC的外接圓上的一點P的關于

△ABC的西摩松線，如設QR為垂直于這條西摩松線該外接圓珠筆的弦，

則三點P、Q、R的關于△ABC的西摩松線交于一點不用掌握

40、波朗杰、騰下定理推論4：從△ABC的頂點向邊BC、CA、AB引垂

線，設垂足分別是D、E、F，且設邊BC、CA、AB的中點分別是L、M、

N，則D、E、F、L、M、N六點在同一個圓上，這時L、M、N點關于關

于△ABC的西摩松線交于一點。不用掌

41、關于西摩松線的定理1：△ABC的外接圓的兩個端點P、Q關于該三

角形的西摩松線互相垂直，其交點在九點圓上。不用掌握

42、關于西摩松線的定理2(安寧定理)：在一個圓周上有4點，以其中任三

點作三角形，再作其余一點的關于該三角形的西摩松線，這些西摩松線交

于一點。不用掌握

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43、卡諾定理：通過△ABC的外接圓的一點P，引與△ABC的三邊BC、

CA、AB分別成同向的等角的直線PD、PE、PF，與三邊的交點分別是

D、E、F，則D、E、F三點共線。

44、奧倍爾定理：通過△ABC的三個頂點引互相平行的三條直線，設它

們與△ABC的外接圓的交點分別是L、M、N，在△ABC的外接圓取一點

P，則PL、PM、PN與△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線的交點分

別是D、E、F，則D、E、F三點共線不用掌握

45、清宮定理：設P、Q為△ABC的外接圓的異于A、B、C的兩點，P

點的關于三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，這時，QU、

QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別是D、E、F，則D、

E、F三點共線不用掌

46、他拿定理：設P、Q為關于△ABC的外接圓的一對反點，點P的關

于三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，這時，如果QU、QV、

QW與邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別為ED、E、F，則D、E、

F三點共線。(反點：P、Q分別為圓O的半徑OC和其延長線的兩點，如

果OC2=OQ×OP則稱P、Q兩點關于圓O互為反點)不用掌握

47、朗古來定理：在同一圓同上有A1B1C1D14點，以其中任三點作三角

形，在圓周取一點P，作P點的關于這4個三角形的西摩松線，再從P向

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這4條西摩松線引垂線，則四個垂足在同一條直線上。不用掌握

48、九點圓定理：三角形三邊的中點,三高的垂足和三個歐拉點[連結三角

形各頂點與垂心所得三線段的中點]九點共圓[通常稱這個圓為九點圓

[nine-pointcircle],或歐拉圓,費爾巴哈圓.上面已經有

、一個圓周上有n個點，從其中任意n-1個點的重心，向該圓周的在其余

一點處的切線所引的垂線都交于一點。不用掌握

50、康托爾定理1：一個圓周上有n個點，從其中任意n-2個點的重心向

余下兩點的連線所引的垂線共點。不用掌握

51、康托爾定理2：一個圓周上有A、B、C、D四點及M、N兩點，則M

和N點關于四個三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一個的

兩條西摩松的交點在同一直線上。這條直線叫做M、N兩點關于四邊形

ABCD的康托爾線。不用掌握

52、康托爾定理3：一個圓周上有A、B、C、D四點及M、N、L三點，

則M、N兩點的關于四邊形ABCD的康托爾線、L、N兩點的關于四邊形

ABCD的康托爾線、M、L兩點的關于四邊形ABCD的康托爾線交于一

點。這個點叫做M、N、L三點關于四邊形ABCD的康托爾點。不用掌握

53、康托爾定理4：一個圓周上有A、B、C、D、E五點及M、N、L三

點，則M、N、L三點關于四邊形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每

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一個康托爾點在一條直線上。這條直線叫做M、N、L三點關于五邊形

A、B、C、D、E的康托爾線。不用掌握

54、費爾巴赫定理：三角形的九點圓與內切圓和旁切圓相切。不用掌握

55、莫利定理：將三角形的三個內角三等分，靠近某邊的兩條三分角線

相得到一個交點，則這樣的三個交點可以構成一個正三角形。這個三角形

常被稱作莫利正三角形。這是我認為的平面幾何中最漂亮最神奇的幾個定

理之一，但不用掌握

56、牛頓定理1：四邊形兩條對邊的延長線的交點所連線段的中點和兩條

對角線的中點，三條共線。這條直線叫做這個四邊形的牛頓線。高中競賽

中常

57、牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對角線的中點，及該圓的圓心，三

點共線。不用掌握

58、笛沙格定理1：平面上有兩個三角形△ABC、△DEF，設它們的對應

頂點(A和D、B和E、C和F)的連線交于一點，這時如果對應邊或其延長

線相交，則這三個交點共線。高中競賽中偶爾會用

59、笛沙格定理2：相異平面上有兩個三角形△ABC、△DEF，設它們的

對應頂點(A和D、B和E、C和F)的連線交于一點，這時如果對應邊或其

延長線相交，則這三個交點共線。

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60、布利安松定理：連結外切于圓的六邊形ABCDEF相對的頂點A和

D、B和E、C和F，則這三線共點。高中競賽中偶爾會用

61、巴斯加定理：圓內接六邊形ABCDEF相對的邊AB和DE、BC和

EF、CD和FA的(或延長線的)交點共線。高中競賽中重要，一般稱做帕

斯卡定理，而且是圓錐曲線內接六邊形