數(shù)學(xué)勾股定理

勾股定理

勾股定理（基礎(chǔ)）

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1。掌握勾股定理的內(nèi)容及證明方法，能夠熟練地運(yùn)用勾股定理由已知直角三角形中的

兩條邊長(zhǎng)求出第三條邊長(zhǎng)。

2.掌握勾股定理,能夠運(yùn)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題,會(huì)運(yùn)用方程思想解決問(wèn)題．

3.熟練應(yīng)用勾股定理解決直角三角形中的問(wèn)題，進(jìn)一步運(yùn)用方程思想解決問(wèn)題．

要點(diǎn)梳理

要點(diǎn)一、勾股定理

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為

，斜邊長(zhǎng)為，

那么。

要點(diǎn)詮釋:

（1）勾股定理揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系。

（2）利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長(zhǎng)為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長(zhǎng)可以建

立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，達(dá)到了解決問(wèn)題的目的。

（3）理解勾股定理的一些變式:，,.

要點(diǎn)二、勾股定理的證明

方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1)所示的正方形.

圖(1）中，所以.

方法二:將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形。

圖（2）中，所以。

方法三：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形。

，所以.

要點(diǎn)三、勾股定理的作用

1.已知直角三角形的任意兩條邊長(zhǎng),求第三邊；

2.用于解決帶有平方關(guān)系的證明問(wèn)題；

3.利用勾股定理，作出長(zhǎng)為的線段.

典型例題

類型一、勾股定理的直接應(yīng)用

1、在△ABC中,∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為、、．

（1）若＝5，＝12，求；

（2）若＝26，＝24，求．

【變式】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為、、．

（1）已知＝2，＝3，求；

(2）已知，＝32，求、．

類型二、勾股定理的證明

2、如圖所示，在Rt△ABC中,∠C＝90°,AM是中線，MN⊥AB，垂足為N，試說(shuō)明

．

類型三、利用勾股定理作長(zhǎng)度為√n的線段

3、作長(zhǎng)為、、的線段.

類型四、利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題

4、一圓形飯盒，底面半徑為8，高為12，若往里面放雙筷子（精細(xì)不計(jì)）,那

么筷子最長(zhǎng)不超過(guò)多少,可正好蓋上盒蓋？

【變式】如圖所示,一旗桿在離地面5處斷裂,旗桿頂部落在離底部12處，則旗桿折斷

前有多高?

5、如圖，矩形紙片ABCD中，已知AD＝8，折疊紙片使AB邊與對(duì)角線AC重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)

F處，折痕為AE，且EF＝3，則AB的長(zhǎng)為（)

A．3B．4C．5D．6

鞏固練習(xí)

一。選擇題

1.在△ABC中，AB＝12，AC＝9,BC＝15，則△ABC的面積等于（）

A。108B。90C。180D。54

2．若直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為2，4,，則的值可能有()

A。1個(gè)B。2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

3。小明想知道學(xué)校旗桿的高度，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多1米,當(dāng)他把繩子

的下端拉開(kāi)5米后,發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，則旗桿的高是()

A．12米B．10米C．8米D．6米

4．Rt△ABC中，斜邊BC＝2,則的值為（）

A。8B。4C.6D.無(wú)法計(jì)算

5．如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC邊上的高線，DC＝2，則BD等于(）

A.4B。6C。8D.

6．如圖,Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15，則正方形ADEC和正方形BCFG的面

積和為()

A.150B。200

C。225D.無(wú)法計(jì)算

二.填空題

7.在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(－2，3)到原點(diǎn)的距離是_______．

8．甲、乙兩人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，已知甲往東走了4，乙往南走了3，此時(shí)

甲、乙兩人相距___．

9．如圖，有一塊長(zhǎng)方形花圃，有少數(shù)人為了避開(kāi)拐角走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一

條“路”，他們僅僅少走了_____路,卻踩傷了花草．

10．如圖，有兩棵樹(shù)，一棵高8,另一棵高2,兩樹(shù)相距8,一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的

樹(shù)梢飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢，至少要飛______．

11．如圖,直線經(jīng)過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)B，點(diǎn)A、C到直線的距離分別是1、2，則

正方形的邊長(zhǎng)是______．

12。如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝2，點(diǎn)E在BC上，且AE＝EC.若將紙片沿AE

折疊，點(diǎn)B恰好與AC上的點(diǎn)重合,則AC＝______.

三。解答題

13.如圖四邊形ABCD的周長(zhǎng)為42，AB＝AD＝12，∠A＝60°，∠D＝150°，求BC的長(zhǎng)．

14。已知在三角形ABC中，∠C＝90°,AD平分∠BAC交BC于D，CD＝3，BD＝5，求AC

的長(zhǎng)．

15。如圖，將矩形ABCD沿EF折疊,使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的

長(zhǎng)．