第一章函數(shù)與極限
（A）
一、填空題
1、設(shè)
xxxflglg2)(???
，其定義域為。
2、設(shè))1ln()(??xxf，其定義域為。
3、設(shè))3arcsin()(??xxf，其定義域為。
4、設(shè))(xf的定義域是[0，1]，則)(sinxf的定義域為。
5、設(shè))(xfy?的定義域是[0，2]，則)(2xfy?的定義域為。
6、4
3
2
lim
2
3
?
?
??
?x
kxx
x
，則k=。
7、函數(shù)
x
x
y
sin
?有間斷點，其中為其可去間斷點。
8、若當(dāng)0?x時，
x
x
xf
2sin
)(?，且0)(?xxf在處連續(xù)，則?)0(f。
9、?
?
??
?
?
???
)
21
(lim
222nn
n
n
n
n
n
n
?。
10、函數(shù))(xf在
0
x處連續(xù)是)(xf在
0
x連續(xù)的條件。
11、?
?
???
??
35
23
52
)23)(1(
lim
xx
xxx
x
。
12、
3)
2
1(lim?
??
??e
n
kn
n
，則k=。
13、函數(shù)
23
1
2
2
??
?
?
xx
x
y的間斷點是。
14、當(dāng)???x時，
x
1
是比
13???xx
的無窮小。
15、當(dāng)0?x時，無窮小
x??11
與x相比較是無窮小。
16、函數(shù)xey
1
?
在x=0處是第類間斷點。
17、設(shè)
1
13
?
?
?
x
x
y，則x=1為y的間斷點。
18、已知3
3
?
?
?
?
?
?
?
?
f，則當(dāng)a為時，函數(shù)xxaxf3sin
3
1
sin)(??在
3
?
?x處連續(xù)。
19、設(shè)
?
?
?
?
?
??
?
?
0)1(
0
2
sin
)(
1
xax
x
x
x
xf
x
若)(lim
0
xf
x?
存在，則a=。
20、曲線2
sin
2
?
?
?
x
xx
y水平漸近線方程是。
21、
1
1
4)(
2
2
?
???
x
xxf的連續(xù)區(qū)間為。
22、設(shè)
?
?
?
?
??
?
0,cos
0,
)(
xx
xax
xf在0?x連續(xù)，則常數(shù)
a=。
二、計算題
1、求下列函數(shù)定義域
（1）
21
1
x
y
?
?；（2）xysin?；
（3）xey
1
?
；
2、函數(shù))(xf和)(xg是否相同？為什么？
（1）
xxgxxfln2)(,ln)(2??；
（2）2)(,)(xxgxxf??；
（3）
xxxgxf22tanc)(,1)(???；
3、判定函數(shù)的奇偶性
（1）
)1(22xxy??；（2）323xxy??；
（3）)1)(1(???xxxy；
4、求由所給函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)
（1）22,sin,xvvuuy???；
（2）21,xuuy???；
5、計算下列極限
（1）)
2
1
4
1
2
1
1(lim
n
n
????
??
?；（2）
2
)1(321
lim
n
n
n
?????
??
?
；
（3）
3
5
lim
2
2?
?
?x
x
x
；（4）
1
12
lim
2
2
1?
??
?x
xx
x
；
（5）)
1
2)(
1
1(lim
2x
xx
??
??
；（6）
2
23
2)2(
2
lim
?
?
?x
xx
x
；
（7）
x
x
x
1
sinlim2
0?
；（8）
xx
x
x???
?
?13
1
lim
2
1
；
（9）
)1(lim2xxx
x
??
???
；
6、計算下列極限
（1）
x
wx
x
sin
lim
0?
；（2）
x
x
x5sin
2sin
lim
0?
；
（3）xx
x
cotlim
0?
；（4）x
xx
x
)
1
(lim
???
；
（5）1)
1
1
(lim?
???
?
x
xx
x
；（6）x
x
x
1
0
)1(lim?
?
；
7、比較無窮小的階
（1）32220xxxxx???與，時；
（2）)1(
2
1
112xxx???與，時；
8、利用等價無窮小性質(zhì)求極限
（1）
3
0sin
sintan
lim
x
xx
x
?
?
；（2）),(
)(sin
)sin(
lim
0
是正整數(shù)mn
x
x
m
n
x?
；
9、討論函數(shù)的連續(xù)性
。在
?
?
?
?
??
??
?1
1,3
1,1
)(x
xx
xx
xf
10、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限
（1）)2cos2ln(lim
6
x
x
?
?
；（2）
)(lim22xxxx
x
???
???
；
（3）
x
x
x
sin
lnlim
0?
；（4）x
xx
2)
1
1(lim?
??
；
（5）)
1
1
(lim,)1(lim)(
1?
??
??
??t
f
n
x
xf
t
n
n
求設(shè)；
（6）)
1
1
ln(lim
?
?
??x
x
x
x
；
11、設(shè)函數(shù)
?
?
?
??
?
?
0,
0,
)(
xxa
xe
xf
x
應(yīng)當(dāng)怎樣選擇a，使得)()(????，成為在xf內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。
12、證明方程135??xx至少有一個根介于1和2之間。
（B）
1、設(shè))(xf的定義域是[0，1]，求下列函數(shù)定義域
（1）)(xefy?（2）)(lnxfy?
2、設(shè)
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
0,
0,0
)(
0,
,0
)(
2xx
x
xg
xx
ox
xf
求)]([,)]([,)]([,)]([xfgxgfxggxff
3、利用極限準(zhǔn)則證明：
（1）
1
1
1lim??
??nn
（2）1]
1
[lim
0
?
??x
x
x
；
（3）數(shù)列?,222,22,2???的極限存在；
4、試比較當(dāng)0?x時，無窮小232??xx與
x
的階。
5、求極限
（1）
)1(lim2xxx
x
??
???
；（2）1)
12
32
(lim?
???
?
x
xx
x
；
（3）
3
0
sintan
lim
x
xx
x
?
?
；
（4）
)0,0,0()
3
(lim
1
0
???
??
?
cba
cba
x
xxx
x
；
6、設(shè)
?
?
?
?
?
??
?
?
0,
0,
1
sin
)(
2xxa
x
x
x
xf要使),()(????在xf內(nèi)連續(xù)，
應(yīng)當(dāng)怎樣選擇數(shù)a？
7、設(shè)
?
?
?
?
?
????
?
??
01,)1ln(
0,
)(1
1
xx
xe
xfx
求)(xf的間斷點，并說明間斷點類型。
（C）
1、已知xxfexfx???1)]([,)(2?，且0)(?x?，求)(x?并寫出它的定義域。
2、求下列極限：
（1）、]lncos)1ln([coslimxx
x
??
???
；（2）、
x
xxx
x
cossin1
lim
0
??
?
；
（3）、求
xx
x
x
2
sin
35
53
lim
2
?
?
?
??
；（4）、已知9)(lim?
?
?
??
x
xax
ax
，求常數(shù)
a
。
（5）、設(shè))(xf在閉區(qū)間],[ba上連續(xù)，且bbfaaf??)(,)(，
證明：在開區(qū)間),(ba內(nèi)至少存在一點?，使???)(f。
第一章函數(shù)與極限
習(xí)題答案
（A）
一、填空題
（1）]2,1(（2）),1(???（3）[2，4]
（4）??zkkxkx????,)12(2??（5）
]2,2[?
（6）-3（7）0;,???xzkkx?（8）2（9）1
（10）充分（11）
2
1
（12）
2
3
?（13）x=1,x=2（14）高階
（15）同階（16）二（17）可去（18）2（19）-ln2
（20）y=-2（21）]2,1(]1,2[??（22）1
二、計算題
1、（1）),1()1,1()1,(????????
（2）),0[??（3）),0()0,(?????
2、（1）不同，定義域不同（2）不同，定義域、函數(shù)關(guān)系不同
（3）不同，定義域、函數(shù)關(guān)系不同
3、（1）偶函數(shù)（2）非奇非偶函數(shù)（3）奇函數(shù)
4、（1）??22)(sinxy?（2）]1[2xy??（3）][sin2xey?
5、（1）[2]（2）]
2
1
[（3）-9（4）0（5）2（6）?
（7）0（8）22?（9）
2
1
6、（1）w（2）
5
2
（3）1（4）
1?e（5）
2e（6）
1?e
7、（1）的低階無窮小是3222xxxx??（2）是同階無窮小
8、（1）
2
1
（2）
?
?
?
?
?
??
?
?
nm
nm
nm
,
,1
,0
9、不連續(xù)
10、（1）0（2）1（3）0（4）
2e（5）0（6）-2
11、a=1
（B）
1、（1）提示：由10??xe解得：]0,(???x
（2）提示：由1ln0??x解得：],1[ex?
2、提示：分成ox?和0?x兩段求。)()]([xfxff?，0)]([?xgg，
0)]([?xgf,)()]([xgxfg?
4、（1）提示：
nn
1
1
1
11????
（2）提示：
x
x
x
x
x
x
1
]
1
[)1
1
(????
（3）提示：用數(shù)學(xué)歸納法證明：222???
n
a
5、提示：
xxx
xxxx1312232?
?
?
?
??
令tx??12（同階）
6、（1）提示：乘以xx??12
；
2
1
（2）提示：除以x2；
e
（3）提示：用等階無窮小代換；
2
1
（4）提示：x
xxxcba1
)
3
(
??
x
cba
cba
xxx
xxx
xxxcba
3
111
111
3
1
3
111
?????
?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
?（3abc）
7、提示：)0()(lim)(lim
00
fxfxf
xx
??
????
（0?a）
8、1?x是第二類間斷點，0?x是第一類間斷點
（C）
1、解：因為????xexfx???1)(2??，故)1ln()(xx???，再由0)1ln(??x，
得：11??x，即0?x。所以：)1ln()(xx???，0?x。
2、解：原式=
)cossin1(
cossin1
lim
2
0xxxx
xxx
x??
??
?
=
x
xxx
x
2
0
sinsin
2
1
lim
?
?
?
=)sin(
sin
lim
2
1
0
xx
x
x
x
??
?
=0
3、解：因為當(dāng)
??x
時，
xx
2
~
2
sin，
則
xx
x
x
2
sin
35
53
lim
2
?
?
?
??
=
xx
x
x
2
35
53
lim
2
?
?
?
??
=
xx
x
x35
106
lim
2
2
?
?
??
=
5
6
4、解：因為：9=
x
xax
ax
)(lim
?
?
??
=
x
x
x
a
x
a
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??1
1
lim=
a
a
e
e
?
=
ae2
所以92?ae，3ln?a
5、證明：令xxfxF??)()(，)(xF在??ba,上連續(xù)，且
0)()(???aafaF，0)()(???bbfbF。由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點定理，在開
區(qū)間),(ba內(nèi)至少存在一點),(ba??，使0)(??F，即???)(f。
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