力的分解

1/15

力的分解

Ⅰ力的分解的幾種典型情況

將一個力按一定條件分解時合力可能能按要求進行分解，即有解，也可能不能按要求進行分解，即無

解。分析是否有解的方法是看代表合力的有向線段與代表分力的有向線段能否按要求構(gòu)成平行四邊形，如

果能構(gòu)成平行四邊形，說明有解；如果它們不能構(gòu)成平行四邊形，說明無解。典型的情況有以下幾種：

(1)已知合力和兩個分力的方向時，有唯一解，如下圖所示。

(2)已知合力和一個分力的大小和方向時，有唯一解，如下圖所示。

(3)已知合力以及一個分力的大小和另一個分力的方向時，有下面幾種可能：如圖所示，

①當(dāng)Fsinθ＜F2＜F時，有兩解。

②當(dāng)F2＝Fsinθ時，有唯一解。

③當(dāng)F2＜Fsinθ時，無解。

④當(dāng)F2＞F時，有唯一解。

小試牛刀：

例：如圖所示，物體靜止在光滑水平面上，力F作用于物體上的O點，現(xiàn)要使物體受到由O指向O′

方向的合力(F與OO′都在同一平面內(nèi)，與OO′間夾角為θ)。那么，必須同時再加一個力，這個力的最小值()

2/15

A．FcosθB．Fsinθ

C．FtanθD．Fcotθ

【答案】B

【解析】已知合力F合的方向由O指向O′，但大小不確定，又已知一個分力F的大小和方向，確定另

一個分力(設(shè)為Fx)的最小值。根據(jù)三角形定則可畫出一個任意情況，如圖甲所示。從圖中可看出，F(xiàn)x的大

小就是過F的箭頭向直線OO′上所引直線的長度，在不考慮合力大小的情況下，欲使Fx最小，應(yīng)使Fx與

直線OO′垂直，如圖乙所示，此時Fx＝Fsinθ。

Ⅱ按實際效果進行分解

1.把一個力分解為兩個力，從理論上講有無數(shù)組解。因為同一條對角線可以構(gòu)成的平行四邊形有無窮多

個(如圖所示)，這樣分解是沒有實際意義的，實際分解時，按力的作用效果可分解為兩個確定的分力。

2.按實際效果分解力的一般思路

3.按實際效果分解的幾個實例：

實例分析

地面上物體受斜向上的拉力F，拉力F一方面使物體沿水平地面前

進，另一方面向上提物體，因此拉力F可分解為水平向前的力F

1

和豎

3/15

直向上的力F

2

。F

1

＝Fcosα，F(xiàn)

2

＝Fsinα

質(zhì)量為m的物體靜止在斜面上，其重力產(chǎn)生兩個效果：一是使物體

具有沿斜面下滑趨勢的分力F

1

；二是使物體壓緊斜面的分力F

2

。F

1

＝

mgsinα，F(xiàn)

2

＝mgcosα

質(zhì)量為m的光滑小球被豎直擋板擋住而靜止于斜面上時，其重力產(chǎn)

生兩個效果：一是使球壓緊板的分力F

1

；二是使球壓緊斜面的分力F

2

。

F

1

＝mgtanα，F(xiàn)

2

＝

mg

cosα

質(zhì)量為m的光滑小球被懸線掛靠在豎直墻壁上，其重力產(chǎn)生兩個效

果：一是使球壓緊豎直墻壁的分力F

1

；二是使球拉緊懸線的分力F

2

。

F

1

＝mgtanα，F(xiàn)

2

＝

mg

cosα

質(zhì)量為m的物體被OA、OB繩懸掛于O點，重力產(chǎn)生兩個效果：

對OA的拉力F

1

和對OB的拉力F

2

。

F

1

＝mgtanα，F(xiàn)

2

＝

mg

cosα

質(zhì)量為m的物體被支架懸掛而靜止，其重力產(chǎn)生兩個效果：一是拉

伸AB的分力F

1

；二是壓縮BC的分力F

2

。F

1

＝mgtanα，F(xiàn)

2

＝

mg

cosα

小試牛刀：

例：畫出圖甲圖中重力的效果方向，乙、丙兩圖中繩子OC拉力的效果方向。

【答案】見解析圖

【解析】甲中兩效果為垂直兩斜面向下形變，乙圖中OA中沿AO拉長方向，OB中沿BO拉長方向，

丙圖中OA中沿AO拉長方向，BO中沿OB壓縮方向，如圖。

4/15

力的分解

1．定義：已知一個力求它的分力的過程。

2．與力的合成的關(guān)系：力的分解是力的合成的逆運算，同樣遵守平行四邊形定則。

3．分解法則：把一個已知力F作為平行四邊形的對角線，與力F共點的平行四邊形的兩個鄰邊，就表

示力F的兩個分力F

1

和F

2

。如圖所示。

4．分解依據(jù)：依據(jù)平行四邊形定則，如果沒有限制，同一個力可以分解為無數(shù)對大小、方向不同的分

力。實際問題中，應(yīng)把力向?qū)嶋H作用效果方向來分解。

Ⅲ力的正交分解

1.概念：將力沿著兩個選定的相互垂直的坐標(biāo)軸進行分解，再在這兩個坐標(biāo)軸上求合力的方法，叫力的

正交分解法。

2．優(yōu)點：正交分解法是在平行四邊形定則的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，其目的是將矢量運算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算。

其優(yōu)點有以下兩點：

(1)可借助數(shù)學(xué)中的直角坐標(biāo)系對力進行描述。

(2)分解時只需熟知三角函數(shù)關(guān)系，幾何關(guān)系簡單，容易求解。

3．適用情況：常用于三個或三個以上的力的合成。

4．坐標(biāo)軸的選取：建立坐標(biāo)軸時，一般選共點力作用線的交點作為坐標(biāo)軸的原點，并盡可能使較多的

力落在坐標(biāo)軸上，這樣可以減少需要分解的力的數(shù)目，簡化運算過程。

5．利用正交分解法求合力的一般步驟

(1)建立直角坐標(biāo)系；

(2)將各力沿x、y兩坐標(biāo)軸依次分解為相互垂直的兩個分力。

(3)分別求出x、y兩坐標(biāo)軸上各分力的合力F

x

、F

y

；

5/15

(4)求出F

x

、F

y

的合力F，其大小為：F＝F2

x

＋F2

y

，方向與x軸的夾角為φ，tanφ＝

F

y

F

x

。

【特別提醒】

正交分解法不一定按力的實際效果來分解，而是根據(jù)需要為了簡化問題在兩個相互垂直的方向上分解，

它是處理力的合成和分解的復(fù)雜問題的一種簡便方法。

小試牛刀：

例：如圖所示，把光滑斜面上物體的重力mg分解為F

1

、F

2

兩個力，下列說法不正確的是()

A．F

1

是斜面作用在物體上使物體下滑的力，F(xiàn)

2

是物體對斜面的壓力

B．物體只受到mg、F

N

兩個力作用

C．物體受到的合力為mgsinθ，方向沿斜面向下

D．力F

N

、F

1

、F

2

三個力的作用效果和mg與F

N

兩個力的作用效果相同

【答案】A

【解析】F1、F2兩個力是mg的兩個分力，其作用效果與重力mg等效，F(xiàn)1的作用是使物體沿斜面下

滑，F(xiàn)2的作用是使物體壓緊斜面。物體只受重力mg和斜面對物體的支持力FN的作用。綜上所述，選項B、

C、D正確。

A

組基礎(chǔ)篇

1

．已知一個力的大小是

30N

，將此力分解為兩個分力，這兩個力的大小可能為（）

A

．

10N

、

10NB

．

20N

、

40NC

．

200N

、

200ND

．

700N

、

720N

【答案】

BCD

【解析】

A

．

10N

和

10N

的合力范圍是

0N≤F≤20N

，所以不可能是大小為

30N

分解得兩個力，故

A

錯誤；

B

．

20N

、

40N

的合力范圍是

20N≤F≤60N

，所以可能是大小為

30N

分解得兩個力，故

B

正確；

C

．

200N

、

200N

的合力范圍是

0N≤F≤400N

，所以可能是大小為

30N

分解得兩個力，故

C

正確；

D

．

700N

、

720N

的合力范圍是

20N≤F≤1420N

，所以可能是大小為

30N

分解得兩個力，故

D

正確。

故選

BCD

。

6/15

2

．將一個豎直向上的

240N

的力分解為兩個分力，一個分力方向水平向右且大小等于

320N

。下列說法

正確的是（取

sin37°=0.6

，

cos37°=0.8

）（）

A

．另一個分力的大小為

400N

B

．另一個分力的大小為

877N

C

．另一個分力的方向為斜向左上方且與水平方向成

37°

D

．另一個分力的方向為斜向右下方且與水平方向成

53°

【答案】

AC

【解析】

畫出合力F與分力

1

F

的矢量圖，如圖所示

合力與分力之間遵循平行四邊形定則，由圖可知另一個分力為

2222

21

320240N400NFFF?????

該分力與水平方向的夾角為?，則

2

sin0.6

F

F

???

解得

37???

故

AC

正確，

BD

錯誤。

故選

AC

。

3

、如圖所示，兩個完全相同的小球在擋板作用下靜止在傾角為

θ

的光滑斜面上，下列關(guān)于小球受力的

說法正確的是（）

A

．小球的重力在乙種情況下不產(chǎn)生對斜面的作用效果

B

．小球均受重力、斜面的彈力、擋板的彈力

7/15

C

．小球受到擋板的作用力的大小、方向均相同

D

．撤去擋板，小球所受合力方向?qū)⒀匦泵嫦蛳?/p>

【答案】

BD

【解析】

根據(jù)物體處于靜止?fàn)顟B(tài)的受力特點知，甲、乙兩球受擋板作用力的方向分別為水平向右和沿斜面向上，

重力按實際作用效果可分解為使物體壓緊斜面的力和使物體壓緊擋板的力。撤去擋板后，小球受力的大小、

方向也隨之發(fā)生變化，甲、乙兩種情況下小球所受的合力大小均為

mgsinθ

，方向沿斜面向下，故

BD

正確，

AC

錯誤

.

4

．如圖所示，在托盤測力計上放一個重力為

20N

的斜木塊，斜木塊的斜面傾角為

37°

，現(xiàn)將一個重力

為

10N

的小鐵塊無摩擦地從斜面上滑下，在小鐵塊下滑的過程中，

g

＝

10m/s2，測力計的示數(shù)為

()

A

．

30NB

．

26.4NC

．

20ND

．

23.6N

【答案】

B

【解析】

選木塊為研究對象，受力分析如圖，

由于木塊在垂直斜面方向受力平衡，可以解出木塊所受的支持力為：

F

N

=Gcos37°

再選擇斜面為研究對象，受力如圖，根據(jù)牛頓第三定律，木塊對斜面的壓力

F

N2大小等于

F

N，把

F

N2

分解的

y

軸方向上，有：

F

y

=F

N2

cos37°

8/15

所以解得：

F

y

=Gcos237°=6.4N

因此小鐵塊下滑的過程中，測力計的示數(shù)為：

20N+6.4N=26.4N

；

A

．

30N

，與結(jié)論不相符，選項

A

錯誤；

B

．

26.4N

，與結(jié)論相符，選項

B

正確；

C

．

20N

，與結(jié)論不相符，選項

C

錯誤；

D

．

23.6N

，與結(jié)論不相符，選項

D

錯誤；

故選

B

。

5

．將一個豎直向上的

240N

的力分解為兩個分力，一個分力方向水平向右且大小等于

320N

。下列說法

正確的是（取

sin37°=0.6

，

cos37°=0.8

）（）

A

．另一個分力的大小為

400N

B

．另一個分力的大小為

877N

C

．另一個分力的方向為斜向左上方且與水平方向成

37°

D

．另一個分力的方向為斜向右下方且與水平方向成

53°

【答案】

AC

【解析】

畫出合力F與分力

1

F的矢量圖，如圖所示

合力與分力之間遵循平行四邊形定則，由圖可知另一個分力為

2222

21

320240N400NFFF?????

該分力與水平方向的夾角為?，則

2

sin0.6

F

F

???

解得

37???

故

AC

正確，

BD

錯誤。

9/15

故選

AC

。

6

．如圖所示，質(zhì)量均為

M

的

A

、

B

兩滑塊放在粗糙水平面上，兩輕桿等長，桿與滑塊、桿與桿間均用

光滑鉸鏈連接，在兩桿鉸合處懸掛一質(zhì)量為

m

的重物

C

，整個裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)，設(shè)桿與水平面間的夾角

為

θ

．下列說法正確的是（）

A

．當(dāng)

m

一定時，

θ

越小，滑塊對地面的壓力越大

B

．當(dāng)

m

一定時，

θ

越大，輕桿受力越小

C

．當(dāng)

θ

一定時，

M

越大，滑塊與地面間的摩擦力越大

D

．當(dāng)

θ

一定時，

M

越大，可懸掛重物

C

的質(zhì)量

m

越大

【答案】

BD

【解析】對

ABC

整體分析可知，對地壓力為：

F

N

=

（

2M+m

）

g

；與

θ

無關(guān)；故

A

錯誤；將

C

的重力

按照作用效果分解，如圖所示：

根據(jù)平行四邊形定則，有：；故

m

一定時，

θ

越大，輕桿受力越小，故

B

正確；對

A

分析，受重力、桿的推力、支持力和向右的靜摩擦力，根據(jù)平衡條件，有：，

與

M

無關(guān)，故

C

錯誤；當(dāng)

θ

一定時，

M

越大，

M

與地面間的最大靜摩擦力越大；則可懸掛重物

C

的質(zhì)量

m

越大；故

D

正確；故選

BD

．

7

．圖示為三種形式的吊車的示意圖，

OA

為桿，重力不計，

AB

為纜繩，當(dāng)它們吊起相同重物時，桿

OA

受力的關(guān)系是

()

A

．

abc??

B

．a(chǎn)cb??C

．a(chǎn)bc??D

．a(chǎn)bc??

10/15

【答案】

C

【解析】

分別對三種形式的結(jié)點進行受力分析，設(shè)桿子的作用力分別為

F

1、

F

2、

F

3，各圖中

T=mg

．

在圖（

a

）中，

1

2cos303Fmgmg??．

在圖（

b

）中，

2

tan603Fmgmg??．

在圖（

c

）中，

3

3

cos30

2

Fmgmg??．可知

a=b

＞

c

，故

C

正確，

ABD

錯誤。

故選

C

．

B組提高篇

1

．明朝謝肇淛《五雜組》中記載：

“

明姑蘇虎丘寺廟傾側(cè)，議欲正之，非萬緡不可。

”

一游僧見之，曰：

“

無煩也，我能正之。

”

游僧每天將木楔從塔身傾斜一側(cè)的磚縫間敲進去，經(jīng)月余扶正了塔身。假設(shè)所用的木

楔為等腰三角形，木楔的頂角為

θ

，現(xiàn)在木楔背上加一力

F

，方向如圖所示，木楔兩側(cè)產(chǎn)生推力

F

N，則（）

A

．若

F

一定，

θ

大時

F

N大

B

．若

F

一定，

θ

小時

F

N大

C

．若

F

一定，無論

θ

大小如何

F

N都保持不變

D

．若

θ

一定，無論

F

大小如何

F

N都保持不變

【答案】

B

【解析】

對木楔受力分析如圖

11/15

由圖可知

N

2

sin

2

F

F

?

?

若

F

一定，

θ

大時

sin

2

?

變大，則

F

N變小；若

F

一定，

θ

小時

sin

2

?

變小，則

F

N變大；若

θ

一定，

F

大

時

2

F

變大，則

F

N變大；故

B

正確

ACD

錯誤。

故選

B

。

2

．力的合成和分解在生產(chǎn)和生活中有著重要的作用，下列說法中正確的是

()

A

．高大的橋要建很長的引橋，減小斜面的傾角，是為了減小汽車重力沿橋面向下的分力，達到行車方

便和安全的目的

B

．幼兒園的滑梯很陡，是為了增加小孩滑梯時受到的重力，使小孩下滑得更快

C

．運動員做引體向上

(

緩慢上升

)

動作時，雙臂張開很大的角度時要比雙臂豎直平行時覺得手臂用力大，

是因為張開時手臂產(chǎn)生的合力增大的緣故

D

．帆船能逆風(fēng)行駛，說明風(fēng)力一定能分解出沿船前進方向的分力

【答案】

A

【解析】

A

．高大的橋要建很長的引橋，減小斜面的傾角，根據(jù)力的分解可知，汽車重力沿橋面向下的分力

（

sinmg?

）減小，達到行車方便和安全的目的，故

A

正確；

B

．幼兒園的滑梯很陡，是為了增加小孩下滑的分力，但其重力不變，故

B

錯誤；

C

．雙臂張開很大的角度時與雙臂豎直平行時比較，合力不變，隨著夾角越大，其分力越大，故

C

錯誤；

D

．帆船能逆風(fēng)行駛，根據(jù)力的平行四邊形定則，結(jié)合力的分解，可知風(fēng)力不可能分解出向前的分力，

故

D

錯誤．

故選

A

．

12/15

3

．用斧頭劈木柴的情景如圖甲所示。劈的縱截面是一個等腰三角形，劈背的寬度為

d

，劈的側(cè)面長為

l

，當(dāng)在劈背加一個力

F

時的受力示意圖如乙所示，若不計斧頭的重力，則劈的側(cè)面推壓木柴的力

F

1為（）

A

．

l

F

d

B

．

d

F

l

C

．

2

l

F

d

D

．

2

d

F

l

【答案】

A

【解析】

根據(jù)對稱性，兩分力

F

1、

F

2大小相等，這樣，以

F

1、

F

2為鄰邊的平行四邊形就是一個菱形，因為菱形

的對角線互相垂直且平分，所以根據(jù)三角形相似

1

22

dF

lF

?

解得

12

l

FFF

d

??

故

A

正確，

BCD

錯誤。

故選

A

。

4

．已知共點力

1

F和

2

F的合力為100N，分力

1

F的方向與合力F的方向成30?角，分力

2

F的大小為

80N

，下列說法中正確的是（）

A

．分力

2

F

的方向是唯一的

B

．分力

2

F

有兩個可能的方向

C

．分力

1

F可取任意大小

D

．分力

1

F的大小是唯一的

【答案】

B

【解析】

已知一個分力有確定的方向，與

F

成

30°

夾角，知另一個分力的最小值為

Fsin30°=50N

13/15

而另一個分力大小

80N

，即大于

50N

小于

100N

，所以分解的組數(shù)有兩組解，如圖。故

B

正確，

ACD

錯誤；

故選

B

。

5

．下列對生活中各物理現(xiàn)象的分析，不正確

．．．

的是（）

A

．圖甲：幼兒園的滑梯很陡，為的是增加小孩滑滑梯時受到的重力，從而滑得更快

B

．圖乙：放在水平桌面上的書本對桌面壓力，是因為書本發(fā)生形變而產(chǎn)生的

C

．圖丙：輪胎表面都有花紋狀的溝槽，是為了雨天能把輪胎與地面間的水排出，保持兩者的良好接觸

D

．圖丁：高大的橋要造很長的引橋，是為了減小汽車重力沿斜面向下的分力，行駛更方便更安全

【答案】

A

【解析】

A

．幼兒園的滑梯很陡，是為了增加小孩下滑的分力，使小孩下滑得更快，而其重力不變，故

A

錯誤，

符合題意；

B

．放在水平桌面上的書本對桌面壓力，是因為書本發(fā)生形變而產(chǎn)生的；故

B

正確，不符合題意；

C

．輪胎表面都有花紋狀的溝槽，雨天，溝槽能把輪胎與地面間的水排出，保持兩者的良好接觸以產(chǎn)生

足夠的摩擦力，故

C

正確，不符合題意；

D

．高大的橋要建很長的引橋，減小斜面的傾角，根據(jù)力的平行四邊形定則可知，汽車重力沿橋面向下

的分力減小，達到行車方便和安全的目的，故

D

正確，不符合題意；

故選

A

。

6

．

F=10N

，若把

F

分解為兩個分力，則下列哪組力不可能是

F

的兩個分力（）

A

．

10N

，

10NB

．

20N

，

20N

C

．

3N

，

6ND

．

5N

，

6N

14/15

【答案】

C

【解析】

兩個力的最大值是兩個力的和，最小值為兩個力的差；

A

．10N，10N的合力最大值是20N，合力最小值是0N，則

A

可能是

F=10N

的兩個分力，

A

不符合

題意；

B

．20N，20N的合力最大值是40N，合力最小值是0，則

B

可能是

F=10N

的兩個分力，

B

不符合

題意；

C

．3N，

6N

的合力最大值是9N，合力最小值是3N，其合力不可能為10N，故選項

C

符合題意；

D

．

5N

，

6N

的合力最大值是11N，合力最小值是

1N

，則

C

可能是

F=10N

的兩個分力，

D

不符合題

意。

故選

C

。

7

．已知力

F

的一個分力

F

1跟

F

成

30°

角，大小未知，另一個分力

F

2的大小為

3

3

F，方向未知，則

1

F

的大小可能是（）

A

．

3

3

FB

．

3

2

FC

．

23

3

FD

．3F

【答案】

AC

【解析】

因一個分力

F

1跟

F

成

30°

角，

F

2的大小為

3

3

F，

F

2大于

2

F

，因此有兩種分解結(jié)果；

根據(jù)平行四邊形定則得，如圖，

15/15

通過幾何關(guān)系得，

1

23

3

FF?或

1

3

3

FF?．

故選

AC

．