梅涅勞斯

第1頁(yè)

板塊一梅涅勞斯定理及其逆定理

梅涅勞斯定理：如果一條直線與ABC△的三邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線交于F、D、E點(diǎn)，

那么

1

AFBDCE

FBDCEA

???

．這條直線叫

ABC△

的梅氏線，

ABC△

叫梅氏三角形．

證法一：如左圖，過(guò)C作CG∥DF

證法二：如中圖，過(guò)A作AGBD∥交DF的延長(zhǎng)線于G

三式相乘即得：

1

AFBDCEAGBDDC

FBDCEABDDCAG

??????

．

證法三：如右圖，分別過(guò)

ABC、、

作DE的垂線，分別交于

123

HHH、、

．

則有

123

AHBHCH∥∥，

所以3

12

231

1

CH

AHBH

AFBDCE

FBDCEABHCHAH

??????

．

梅涅勞斯定理的逆定理：若F、D、E分別是ABC△的三邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線的三點(diǎn)，

如果

1

AFBDCE

FBDCEA

???

，則F、D、E三點(diǎn)共線．

【例1】如圖，在

ABC△

中，AD為中線，過(guò)點(diǎn)

C

任作一直線交AB于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)E，求

證：

:2:AEEDAFFB?

．

【解析】∵直線

FEC

是ABD△的梅氏線，

∴

1

AEDCBF

EDBCFA

???

．而

1

2

DC

BC

?

，∴

1

1

2

AEBF

EDFA

???

，即

2AEAF

EDBF

?

．

習(xí)題1.在△

ABC

中，D是

BC

的中點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的直線交AB于點(diǎn)E，交

CA

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

F．求證：

FAEA

FCEB

?

．

【解析】直線截

ABC△

三邊于D、E、F三點(diǎn)，應(yīng)用梅氏定理，知

1

CDBEAF

DBEAFC

???

，又因?yàn)?/p>

BDBC?

，所以

1

BEAF

EAFC

??

，即

FAEA

FCEB

?

．

習(xí)題2.如圖，在△

ABC

中，90ACB???

，

ACBC?

．AM為

BC

邊上的中線，

CDAM?

于點(diǎn)D，

CD

的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)E．求

AE

EB

．

【解析】由題設(shè)，在

RtAMC△

中，

CDAM?

，

2ACCM?

，

由射影定理

2

2

4

ADADAMAC

DMDMAMCM

?

???

?

．

對(duì)ABM△和截線

EDC

，由梅涅勞斯定理，

1

AEBCMD

EBCMDA

???

，即

21

1

14

AE

EB

???

．

所以

2

AE

EB

?

．

知識(shí)導(dǎo)航

夯實(shí)基礎(chǔ)

梅涅勞斯定理與塞瓦定理

【例2】如圖，在

ABC△

中，D為

AC

中點(diǎn)，

BEEFFC??

，求證：

::5:3:2BMMNND?

．

【解析】∵直線AE是

BCD△

的梅氏線，

∵直線AF是

BCD△

的梅氏線，

習(xí)題3.如圖，在

ABC△

中，D為

BC

的中點(diǎn)，

::4:3:1AEEFFD?

．求

::AGGHAB

．

【解析】∵

HFC

是ABD△的梅氏線，

∵D為

BC

的中點(diǎn)，

::4:3:1AEEFFD?

，

∵

GEC

是ABD△的梅氏線，

【例

3

】過(guò)

ABC△

的重心

G

的直線分別交AB、

AC

于點(diǎn)E、F，交

CB

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．

求證：

1

BECF

EAFA

??

．

【解析】作直線

AG

交

BC

于M，

同理，

2

CFDC

FADM

?

，

而

2BDDCBDBDBM????

2()2BDBMDM???

【例4】如圖，點(diǎn)D、E分別在

ABC△

的邊

AC

、AB上，AEEB?，

2

3

AD

DC

?

，BD與

CE

交

于點(diǎn)F，

40

ABC

S?

△

．求

AEFD

S

．

【解析】對(duì)

ECA△

和截線BFD，由梅氏定理得：

1

EFCDAB

FCDABE

???

，即

32

1

21

EF

FC

???

，

所以

1

3

EF

FC

?

．所以

11

48BFEBECABC

SSS??

△△△

，

進(jìn)而

2111

4011

5840AEFDABDBEFABC

SSSS

??

???????

??

??△△△

．

習(xí)題4.如圖，在

ABC△

中，三個(gè)三角形面積分別為5，8，10．四邊形AEFD的面積為

x

，求

x

的值．

【解析】對(duì)

ECA△

和截線BFD，由梅氏定理得：

1

CDABEF

DABEFC

???

，即

18231

1

5152

x

x

?

???

?

，解得

22x?

．

【備選】如圖，

ABC△

被通過(guò)它的三個(gè)頂點(diǎn)與一個(gè)內(nèi)點(diǎn)

O

的三條直線分為6個(gè)小三角形，

其中三個(gè)小三角形的面積如圖所示，求

ABC△

的面積．

【解析】對(duì)ABD△和截線

COF

，由梅氏定理得：

1

AFBCDO

FBCDOA

???

，即

41

1

32

BC

CD

???

，所以

3

2

BC

CD

?

，所以

3

BC

BD

?

．所以33105315

ABCABD

SS????

△△

．

【例5】如圖，在

ABC△

中，A?的外角平分線與邊

BC

的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，B?的平分線與

邊

CA

交于點(diǎn)

Q

，

C?

的平分線與邊AB交于點(diǎn)R，求證：P、

Q

、R三點(diǎn)共線．

【解析】AP是

BAC?

的外角平分線，則

BQ

是

ABC?

的平分線，則

CR

是

ACB?

的平分線，則

??①②③

得

非常挑戰(zhàn)

探索提升

第3頁(yè)

因R在AB上，

Q

在

CA

上，P在

BC

的延長(zhǎng)線上，

則根據(jù)梅涅勞斯定理的逆定理得：P、

Q

、R三點(diǎn)共線．

習(xí)題5.證明：不等邊三角形的三個(gè)角的外角平分線與對(duì)邊的交點(diǎn)是共線的三個(gè)點(diǎn)．

【解析】如圖，

CDBEAF、、

分別為三角形

ABC

的三個(gè)外角平分線，分別交

ABACBC、、

于

DEF、、

．

過(guò)

C

作BE的平行線，則

BCPCBEEBDCPB???????

，

所以

BPC△

是等腰三角形．則

PBCB?

．

則有：

CEPBCB

EABABA

??

．

同理

ADAC

DBCB

?

；

BFBA

FCAC

?

．

所以

1

CEADBFCBACBA

EADBFCBACBAC

??????

．

所以

DEF、、

共線．

板塊二塞瓦定理及其逆定理

塞瓦定理：如果ABC△的三個(gè)頂點(diǎn)與一點(diǎn)P的連線AP、BP、CP交對(duì)邊或其延長(zhǎng)線于點(diǎn)D、E、

F，如圖，那么

1

BDCEAF

DCEAFB

???

．通常稱點(diǎn)P為ABC△的塞瓦點(diǎn)．

證明：∵直線FPC、EPB分別是ABD△、ACD△的梅氏線，

兩式相乘即可得：

1

BDCEAF

DCEAFB

???

．

塞瓦定理的逆定理：如果點(diǎn)D、E、F分別在ABC△的邊BC、CA、AB上或其延長(zhǎng)線上，并

且

1

BDCEAF

DCEAFB

???

，那么AD

、

BE

、

CF相交于一點(diǎn)（或平行）．

證明：⑴若AD與BE相交于一點(diǎn)P時(shí)，如圖，作直線CP交AB于'F．

由塞瓦定理得：

'

1

BDCEAF

DCEAFB

???

?

，

又已知

1

BDCEAF

DCEAFB

???

，∴

AFAF

FBFB

?

?

?

，

∴'F與F重合

∴'CF與CF重合

∴AD、BE、CF相交于一點(diǎn)．

⑵若AD與BE所在直線不相交，則AD∥BE，如圖．

∴

BDEA

DCAC

?

，又已知

1

BDCEAF

DCEAFB

???

，

∴

1

EACEAF

ACEAFB

???

，即

CEFB

ACAF

?

．

說(shuō)明：三線平行的情況在實(shí)際題目中很少見(jiàn)．

【例6】（1）設(shè)

AXBYCZ，，

是ABC△的三條中線，求證：

AXBYCZ，，

三線共點(diǎn)．

探索提升

知識(shí)導(dǎo)航

（2）若

AXBYCZ，，

為

ABC△

的三條內(nèi)角平分線．求證：

AXBYCZ，，

三線共點(diǎn)．

【解析】（1）由條件知，

BXXCYCYAZAZB???，，

．∴

1

BXCYAZ

XCYAZB

???

，

根據(jù)塞瓦定理的逆定理可得三條中線

AXBYCZ，，

共點(diǎn)．

這個(gè)點(diǎn)稱為這個(gè)三角形的重心．

（2）由三角形內(nèi)角平分線定理得：

BXABCYBCAZAC

XCACYABAZBBC

???，，

．

三式分別相乘，得：

1

BXCYAZABBCAC

XCYAZBACABBC

??????

．

根據(jù)塞瓦定理的逆定理可得三角形三內(nèi)角平分線

AXBYCZ，，

共點(diǎn)，

這個(gè)點(diǎn)稱為這個(gè)三角形的內(nèi)心．

習(xí)題6.若

AXBYCZ，，

分別為銳角ABC△的三條高線，求證：

AXBYCZ，，

三線共點(diǎn)．

【解析】由ABXCBZ△∽△得：

BXAB

BZBC

?

；由BYACZA△∽△得：

AZAC

AYAB

?

；

由AXCBYC△∽△可得：

YCBC

CXAC

?

．所以

1

BXAZYCABACBC

BZAYCXBCABAC

??????

．

根據(jù)塞瓦定理的逆定理可得三條高線

AXBYCZ，，

共點(diǎn)．

對(duì)直角三角形、鈍角三角形，同樣也可以證得三條高線共點(diǎn)．我們把一個(gè)三角形三條高

線所在直線的交點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的垂心．

【例7】如圖，M為ABC△內(nèi)的一點(diǎn)，BM與AC交于點(diǎn)E，CM與AB交于點(diǎn)F，若AM通

過(guò)BC的中點(diǎn)D，求證：EFBC∥．

【解析】對(duì)ABC△和點(diǎn)M應(yīng)用塞瓦定理可得：

1

AFBDCE

FBDCEA

???

．又因?yàn)锽DDC?，所以

1

AFCE

FBEA

??

．進(jìn)而

AFAE

FBEC

?

，所以EFBC∥．

習(xí)題

7.

如果梯形

ABCD

的兩腰AD、

BC

的延長(zhǎng)線交于M，兩條對(duì)角線交于

N

．求證：直線

MN

必平分梯形的兩底．

∵

1

MDAQBC

DAQBCM

???

（由塞瓦定理得）

板塊三梅涅勞斯定理、塞瓦定理綜合

【備選】如圖，E、F分別為ABC△的AC、AB邊上的點(diǎn)，且3AEEC?，3BFFA?，

BE、CF交于點(diǎn)P，AP的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)D．求:APPD的值．

【解析】∵P為ABC△的塞瓦點(diǎn)．

∵EPB為ACD△的梅氏線，

【備選】如圖，四邊形ABCD的對(duì)邊AB和DC，DA和CB分別相交于點(diǎn)

LK，

，對(duì)角線AC與BD

交于點(diǎn)M．直線KL與BD、AC分別交于點(diǎn)

FG、

．

求證：

KFKG

LFLG

?

．

【解析】對(duì)DKL△與點(diǎn)B應(yīng)用塞瓦定理得：

1

DAKFLC

AKFLCD

???

．

對(duì)DKL△和截線ACG應(yīng)用梅涅勞斯定理可得：

1

DAKGLC

AKGLCD

???

．

非常挑戰(zhàn)

第5頁(yè)

進(jìn)而可得

KFKG

LFLG

?

．