平方差公式和完全平方公式

乘法公式的復(fù)習(xí)

一、平方差公式

(a+b)(a-b)=a2-b2

歸納小結(jié)公式的變式，準(zhǔn)確靈活運用公式：

①位置變化，?x?y???y?x??x2?y2

②符號變化，??x?y???x?y????x?2?y2?x2?y2

③指數(shù)變化，?x2?y2??x2?y2??x4?y4

④系數(shù)變化，?2a?b??2a?b??4a2?b2

⑤換式變化，?xy??z?m???xy??z?m??

??xy?2??z?m?2

?x2y2??z?m??z?m?

?x2y2??z2?zm?zm?m2?

?x2y2?z2?2zm?m2

⑥增項變化，?x?y?z??x?y?z?

??x?y?2?z2

??x?y??x?y??z2

?x2?xy?xy?y2?z2

?x2?2xy?y2?z2

⑦連用公式變化，?x?y??x?y??x2?y2?

??x2?y2??x2?y2?

?x4?y4

⑧逆用公式變化，?x?y?z?2??x?y?z?2

???x?y?z???x?y?z????x?y?z???x?y?z??

?2x??2y?2z?

??4xy?4xz

完全平方公式

活用:把公式本身適當(dāng)變形后再用于解題。這里以完全平方公

式為例，經(jīng)過變形或重新組合，可得如下幾個比較有用的派生公式：

??

??

??????

????

12

22

32

44

2

22

2

22

22

22

22

.

.

.

.

ababab

ababab

ababab

ababab

????

????

?????

????

靈活運用這些公式，往往可以處理一些特殊的計算問題，培養(yǎng)

綜合運用知識的能力。

例1．已知2??ba，1?ab，求22ba?的值。

例2．已知8??ba，2?ab，求2)(ba?的值。

解：∵??2)(ba222baba????2)(ba222baba??

∴??2)(ba??2)(baab4∴??2)(baab4=2)(ba?

∵8??ba，2?ab∴??2)(ba562482???

例3已知abab???45，，求ab22?的值。

解：??ababab22

2

2242526????????

三、學(xué)習(xí)乘法公式應(yīng)注意的問題

（一）、注意掌握公式的特征，認(rèn)清公式中的“兩數(shù)”．

例1計算(-2x2-5)(2x2-5)

分析：本題兩個因式中“-5”相同，“2x2”符號相反，因而“-5”

是公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a，而“2x2”則是公式中的b．

例2計算(-a2+4b)2

分析：運用公式(a+b)2=a2+2ab+b2時，“-a2”就是公式中的a，

“4b”就是公式中的b；若將題目變形為(4b-a2)2時，則“4b”是公

式中的a，而“a2”就是公式中的b．（解略）

（二）、注意為使用公式創(chuàng)造條件

例3計算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．

分析：粗看不能運用公式計算，但注意觀察，兩個因式中的“2x”、

“5”兩項同號，“y”、“z”兩項異號，因而，可運用添括號的技

巧使原式變形為符合平方差公式的形式．

例5計算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．

分析：此題乍看無公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一項（2-1），

則可運用公式，使問題化繁為簡．

（三）、注意公式的推廣

計算多項式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推廣得到：

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．

可敘述為：多項式的平方，等于各項的平方和，加上每兩項乘積

的2倍．

例6計算(2x+y-3)2

解：原式=(2x)2+y2+(-3)2+2·2x·y+2·2x(-3)+2·y(-3)

=4x2+y2+9+4xy-12x-6y．

（四）、注意公式的變換，靈活運用變形公式

例7已知：x+2y=7，xy=6，求(x-2y)2的值．

例10計算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2

分析：此題可以利用乘法公式和多項式的乘法展開后計算，但逆

用完全平方公式，則運算更為簡便．

四、怎樣熟練運用公式：

熟悉常見的幾種變化

有些題目往往與公式的標(biāo)準(zhǔn)形式不相一致或不能直接用公式計

算，此時要根據(jù)公式特征，合理調(diào)整變化，使其滿足公式特點．

常見的幾種變化是：

1、位置變化如（3x+5y）（5y－3x）交換3x和5y的位置后即

可用平方差公式計算了．

2、符號變化如（－2m－7n）（2m－7n）變?yōu)椋?m+7n）（2m

－7n）后就可用平方差公式求解了（思考：不變或不這樣變，可以嗎？）

3、數(shù)字變化如98×102，992，912等分別變?yōu)椋?00－2）（100+2），

（100－1）2，（90+1）2后就能夠用乘法公式加以解答了．

4、系數(shù)變化如（4m+

2

n）（2m－

4

n）變?yōu)?（2m+

4

n）（2m－

4

n）

后即可用平方差公式進(jìn)行計算了．

（四）、注意公式的靈活運用

有些題目往往可用不同的公式來解，此時要選擇最恰當(dāng)?shù)墓揭?/p>

使計算更簡便．如計算（a2+1）2·（a2－1）2，若分別展開后再相乘，

則比較繁瑣，若逆用積的乘方法則后再進(jìn)一步計算，則非常簡便．即

原式=[（a2+1）（a2－1）]2=（a4－1）2=a8－2a4+1．

對數(shù)學(xué)公式只會順向（從左到右）運用是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還要注意

逆向（從右到左）運用．如計算（1－

22

1）（1－

23

1）（1－

24

1）…（1

－

29

1）（1－

210

1），若分別算出各因式的值后再行相乘，不僅計算繁難，

而且容易出錯．若注意到各因式均為平方差的形式而逆用平方差公

式，則可巧解本題．

即原式=（1－

2

1）（1+

2

1）（1－

3

1）（1+

3

1）×…×（1－

10

1）（1+

10

1）

=

2

1×

2

3×

3

2×

3

4×…×

10

9×

10

11=

2

1×

10

11=

20

11．

有時有些問題不能直接用乘法公式解決，而要用到乘法公式的變

式，乘法公式的變式主要有：a2+b2=（a+b）2－2ab，a2+b2=（a－b）2+2ab

等．

用這些變式解有關(guān)問題常能收到事半功倍之效．

如已知m+n=7，mn=－18，求m2+n2，m2－mn+n2的值．

面對這樣的問題就可用上述變式來解，

即m2+n2=（m+n）2－2mn=72－2×（－18）=49+36=85，

m2－mn+n2=（m+n）2－3mn=72－3×（－18）=103．

下列各題，難不倒你吧？！

1、若a+

a

1=5，求（1）a2+

2

1

a

，（2）（a－

a

1）2的值．

2、求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1）+1

的末位數(shù)字．

（答案：1.（1）23；（2）21．2.6）

五、乘法公式應(yīng)用的五個層次

乘法公式：(a＋b)(a－b)=a2－b2，(a±b)=a2±2ab＋b2，

(a±b)(a2±ab＋b2)=a3±b3．

第一層次──正用

即根據(jù)所求式的特征，模仿公式進(jìn)行直接、簡單的套用．

例1計算

(－2x－y)(2x－y)．

．

第二層次──逆用，即將這些公式反過來進(jìn)行逆向使用．

例2計算

第三層次──活用：根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)特征，探尋規(guī)律，連續(xù)反復(fù)

使用乘法公式；有時根據(jù)需要創(chuàng)造條件，靈活應(yīng)用公式．

例3化簡：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1．

分析直接計算繁瑣易錯，注意到這四個因式很有規(guī)律，如果再增

添一個因式“2－1”便可連續(xù)應(yīng)用平方差公式，從而問題迎刃而解．

解原式=(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1

=(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1=216．

第四層次──變用：解某些問題時，若能熟練地掌握乘法公式

的一些恒等變形式，如a2＋b2=(a＋b)2－2ab，a3＋b3=(a＋b)3－3ab(a

＋b)等，則求解十分簡單、明快．

例5已知a＋b=9，ab=14，求2a2＋2b2的值．

解：∵a＋b=9，ab=14，∴2a2＋2b2=2[(a＋b)2－2ab]=2(92

－2·14)=106，

第五層次──綜合后用：將(a＋b)2=a2＋2ab＋b2和(a－b)2=a2

－2ab＋b2綜合，

可得(a＋b)2＋(a－b)2=2(a2＋b2)；(a＋b)2－(a－b)2=4ab；

等，合理地利用這些公式處理某些問題顯得

新穎、簡捷．

例6計算：(2x＋y－z＋5)(2x－y＋z＋5)．

解：原式

=

1

4

[(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)]2-

1

4

[(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)]2

=(2x＋5)2－(y－z)2=4x2＋20x＋25－y2＋2yz－z2

乘法公式的使用技巧：

①提出負(fù)號：對于含負(fù)號較多的因式，通常先提出負(fù)號，以避免

負(fù)號多帶來的麻煩。

例1、運用乘法公式計算：

（1）(-1+3x)(-1-3x)；（2）(-2m-1)2

②改變順序：運用交換律、結(jié)合律，調(diào)整因式或因式中各項的排

列順序，可以使公式的特征更加明顯.

例2、運用乘法公式計算：

（1）(

1

3

a-

1

4

b)(-

1

4

b-

a

3

);（2）(x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)

③逆用公式

將冪的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得

a2-b2=(a+b)(a-b)，逆用積的乘方公式，得anbn=(ab)n,等等，在解

題時常會收到事半功倍的效果。

例3、計算：

（1）(x/2+5)2-(x/2-5)2;（2）(a-1/2)2(a2+1/4)2(a+1/2)2

④合理分組：對于只有符號不同的兩個三項式相乘，一般先將完

全相同的項調(diào)到各因式的前面，視為一組；符號相反的項放在后面，

視為另一組；再依次用平方差公式與完全平方公式進(jìn)行計算。

計算：（1）(x+y+1)(1-x-y);（2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).

先提公因式，再用公式

例2.計算：8

2

4

4

x

y

x

y

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

簡析：通過觀察、比較，不難發(fā)現(xiàn)，兩個多項式中的x的系數(shù)成

倍數(shù)，y的系數(shù)也成倍數(shù)，而且存在相同的倍數(shù)關(guān)系，若將第一個多

項式中各項提公因數(shù)2出來，變?yōu)?4

4

x

y

?

?

?

?

?

?

?

，則可利用乘法公式。

三.先分項，再用公式

例3.計算：????232236xyxy????

簡析：兩個多項中似乎沒多大聯(lián)系，但先從相同未知數(shù)的系數(shù)著

手觀察，不難發(fā)現(xiàn)，x的系數(shù)相同，y的系數(shù)互為相反數(shù)，符合乘法

公式。進(jìn)而分析如何將常數(shù)進(jìn)行變化。若將2分解成4與?2的和，

將6分解成4與2的和，再分組，則可應(yīng)用公式展開。

四.先整體展開，再用公式

例4.計算：()()abab???221

簡析：乍看兩個多項式無聯(lián)系，但把第二個整式分成兩部分，即

??()ab??21，再將第一個整式與之相乘，利用平方差公式即可展開。

六.先用公式，再展開

例6.計算：1

1

2

1

1

3

1

1

4

1

1

102222

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

…

簡析：第一個整式1

1

22

?

?

?

?

?

?

?

可表示為1

1

2

2

2

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

，由簡單的變化，

可看出整式符合平方差公式，其它因式類似變化，進(jìn)一步變換成分?jǐn)?shù)

的積，化簡即可。