三角函數(shù)練習題及答案
一、填空題
1
．如圖，在棱長均為
23
的正四面體ABCD中，M為AC中點，
E
為
AB
中點，P是
DM
上的動點，
Q
是平面ECD上的動點，則
APPQ?
的最小值是
______.
2
．平面向量
i
a滿足：1(0,1,2,3)
i
ai??
，且
3
1
0
i
i
a
?
??．則012013023
aaaaaaaaa????????
的
取值范圍為
________
．
3
．設函數(shù)??sinfxx??
，??21gxxx???
，有以下四個結(jié)論
.
①
函數(shù)????yfxgx??
是周期函數(shù)：
②
函數(shù)????yfxgx??
的圖像是軸對稱圖形：
③
函數(shù)????yfxgx??
的圖像關(guān)于坐標原點對稱：
④
函數(shù)
??
??
fx
y
gx
?
存在最大值
其中，所有正確結(jié)論的序號是
___________.
4
．已知??2,0F
為橢圓
22
22
:1(0)
xy
Cab
ab
????的右焦點，過點
F
的直線
l
與橢圓
C
交于
,AB
兩點，P為
AB
的中點，
O
為坐標原點
.
若△
OFP
是以OF為底邊的等腰三角形，且
△OFP外接圓的面積為
2
3
?
，則橢圓
C
的長軸長為
___________.
5
．已知函數(shù)
()sin2sin2
3
fxxxa
?
??
????
??
??
同時滿足下述性質(zhì)：
①
若對于任意的
??????
123123
,0,,
4
,xxxfxfxfx
?
??
??
??
??
恒成立；
②23
6
fa
?
??
?
??
??
，則
a
的值為
_________.
6
．通信衛(wèi)星與經(jīng)濟、軍事等密切關(guān)聯(lián)，它在地球靜止軌道上運行，地球靜止軌道位于地球
赤道所在平面，軌道高度為
kmh
（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是
一個球（球心為
O
，半徑為
kmr
），地球上一點A的緯度是指
OA
與赤道平面所成角的度
數(shù)，點A處的水平面是指過點A且與
OA
垂直的平面，在點A處放置一個仰角為
?
的地面接
收天線（仰角是天線對準衛(wèi)星時，天線與水平面的夾角），若點A的緯度為北緯30，則
tan3???
________
．
7
．已知
O
為△ABC外接圓的圓心，
D
為
BC
邊的中點，且4BC?，
6AOAD??
，則
△ABC面積的最大值為
___________.
8
．已知
P
是直線
34130xy???
上的動點，
PA
，
PB
是圓????22111xy????
的切線，
A
，
B
是切點，
C
是圓心，那么四邊形
PACB
面積的最小值是
________
．
9
．在銳角ABC中，角A，B，
C
的對邊分別為
a
，b，
c
，若2b?，2BC?，則
ac?
的取值范圍為
________
．
10．△ABC內(nèi)接于半徑為
2
的圓，三個內(nèi)角A，B，
C
的平分線延長后分別交此圓于
1
A
，
1
B
，
1
C
.
則111
coscoscos
222
sinsinsin
ABC
AABBCC
ABC
??
??
的值為
_____________.
二、單選題
11
．函數(shù)????sin0
4
fxx
?
??
??
???
??
??
在
7
,
44
??
??
??
??
內(nèi)恰有兩個最小值點，則
?
的范圍是
（）
A
．
13
,4
7
??
?
?
??
B
．
13
,3
7
??
?
?
??
C
．
4
,3
3
??
?
?
??
D
．
4
,4
3
??
?
?
??
12
．已知函數(shù)
π
()sin(0)
3
fxx??
??
???
??
??
在
π
,π
3
??
??
??
上恰有
3
個零點，則
?
的取值范圍是
（）
A
．
81114
,4,
333
????
?
???
?
????
B
．
111417
,4,
333
????
?
??
??
????
C
．
111417
,5,
333
????
?
???
?
????
D
．
141720
,5,
333
????
?
??
??
????
13
．已知函數(shù)????sincossincos0fxxxxx??????????
，則下列結(jié)論錯誤的是
（）
①1??時，函數(shù)??fx圖象關(guān)于
π
4
x?對稱；
②
函數(shù)??fx
的最小值為
-2
；
③
若函數(shù)??fx
在
π
,0
4
??
?
??
??
上單調(diào)遞增，則??03??，
；
④
1
x
，
2
x
為兩個不相等的實數(shù)，若
????
12
4fxfx??
且
12
xx?
的最小值為
π
，則2??.
A
．
②③B
．
②④C
．
①③④D
．
②③④
14
．已知函數(shù)??????sin010fxx???????
，若存在實數(shù)
1
x
、
2
x
，使得
????
12
2fxfx??
，且
12
xx???
，則
?
的最大值為（）
A
．
9B
．
8C
．
7D
．
5
15
．在三棱錐ABCD?中，2ABADBC???，
13CD?
，
22AC?
，3BD?，則三棱
錐外接球的表面積為（）
A
．
92
7
?
B
．9?C
．
184
7
?
D
．18?
16
．若對
,xyR??
，有
()()()4fxyfxfy????
，函數(shù)
2sin
()()
cos1
x
gxfx
x
??
?
在區(qū)間
[2021,2021]?
上存在最大值和最小值，則其最大值與最小值的和為（）
A
．
4B
．
8C
．
12D
．
16
17
．在ABC?中，已知
3
sinsin,
2
AC??
設
2sinsin,tAC?
則
91
()()
44
ttt??最大值為
（）
A
．
1
B
．
277
64
C
．
1693
192
D
．
9
8
18
．已知函數(shù)??
??3
log91
1
x
fx
x
?
??
，下列說法正確的是（）
A
．??fx
既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)
B
．??fx
的圖象與sinyx?
有無數(shù)個交點
C
．??fx
的圖象與
2y?
只有一個交點
D
．
????21ff???
19
．高斯是世界四大數(shù)學家之一，一生成就極為豐碩，以他的名字
“
高斯
”
命名的成果達
110
個，屬數(shù)學家中之最．對于高斯函數(shù)??yx?
，??x
表示不超過實數(shù)
x
的最大整數(shù)，如
??1.71?，??1.22???
，??x
表示
x
的非負純小數(shù)，即????xxx??
．若函數(shù)
??1log
a
yxx???
（
0a?
且
1a?
）有且僅有
3
個零點，則實數(shù)
a
的取值范圍為（）
A
．??3,4
B
．??3,4
C
．??3,4
D
．??3,4
20
．函數(shù)
()cos(1)xfxeaxxx????
，當
0x?
時，
()0fx?
恒成立，則
a
的取值范圍為
（）
A
．??0,??
B
．??1,e???
C
．??,e??
D
．??,e??
三、解答題
21
．
在推導很多三角恒等變換公式時，我們可以利用平面向量的有關(guān)知識來研究，在一定程度
上可以簡化推理過程
.
如我們就可以利用平面向量來推導兩角差的余弦公
式
:
cos()coscossinsin?????????
具體過程如下：
如圖，在平面直角坐標系
xOy
內(nèi)作單位圓
O
，以Ox為始邊作角
??，
.
它們的終邊與單位圓
O
的交點分別為
A
，
B．
則
(cos,sin),(cos,sin)OAOB??????
??
由向量數(shù)量積的坐標表示，有：
coscossinsinOAOB??????
???
設
,OAOB
??的夾角為
θ
，則
||||coscoscoscossinsinOAOBOAOB??????????
??????
另一方面，由圖
3.1—3
（
1
）可知，
2k???????
；由圖可知，
2k???????.
于是
2,kkZ????????.
所以
cos()cos?????
，也有
cos()coscossinsin?????????
，
所以，對于任意角
,??
有：
cos()coscossinsin?????????
（
??
C
???
）
此公式給出了任意角
,??
的正弦、余弦值與其差角
???
的余弦值之間的關(guān)系，稱為差角
的余弦公式，簡記作
??
C
???
.
有了公式
??
C
???
以后，我們只要知道
cos,cos,sin,sin????
的值，就可以求得
cos()???
的
值了
.
閱讀以上材料，利用下圖單位圓及相關(guān)數(shù)據(jù)（圖中
M
是
AB
的中點），采取類似方法（用
其他方法解答正確同等給分）解決下列問題：
（
1
）判斷
1
OCOM
OM
??
?
?
是否正確？（不需要證明）
（
2
）證明：
sinsin2sincos
22
????
??
??
??
（
3
）利用以上結(jié)論求函數(shù)
()sin2sin(2)
3
fxxx
?
???
的單調(diào)區(qū)間
.
22
．已知(3cos,sin),(sin,0),0axxbx???????，設()(),fxabbkkR?????
.
（
1
）若()fx圖象中相鄰兩條對稱軸間的距離不小于
2
?
，求
?
的取值范圍；
（
2
）若()fx的最小正周期為
?
，且當
,
66
x
??
??
??
??
??
時，()fx的最大值是
1
2
，求()fx的解析
式，并說明如何由
sinyx?
的圖象變換得到
()yfx?
的圖象
.
23
．已知函數(shù)??2sin2cos3fxxax???
.
（
1
）當
1a?
時，求該函數(shù)的最大值；
（
2
）是否存在實數(shù)
a
，使得該函數(shù)在閉區(qū)間
0,
2
?
??
??
??
上的最大值為
1
？若存在，求出對應
a
的值；若不存在，試說明理由
.
24
．已知函數(shù)??23sin212cosfxxx???
.
（
1
）求??fx
的對稱軸；
（
2
）將??fx
的圖象向左平移
12
?
個單位后得到函數(shù)??gx
的圖象，當
0,
3
x
?
??
?
??
??
時，求??gx
的值域
.
25
．對于函數(shù)??fx
，若存在定義域中的實數(shù)
a
，b滿足
0ba??
且
????2()0
2
ab
fafbf
?
???
，則稱函數(shù)??fx
為
“M類
”
函數(shù)
.
（
1
）試判斷
??sinfxx?，
x?R
是否是
“M類
”
函數(shù)，并說明理由；
（
2
）若函數(shù)??
2
|log1|fxx??
，??0,xn?
，*nN?
為
“M類
”
函數(shù)，求
n
的最小值
.
26
．如圖，半圓的直徑
2AB?
，O為圓心，
C
，
D
為半圓上的點
.
（Ⅰ）請你為
C
點確定位置
,
使ABC?的周長最大，并說明理由；
（Ⅱ）已知
ADDC?
，設
ABD???
，當
?
為何值時，
（?。┧倪呅?/p>
ABCD
的周長最大，最大值是多少
（ⅱ）四邊形
ABCD
的面積最大，最大值是多少
?
27
．函數(shù)????sintanfxx??，其中
0??.
（
1
）討論??fx
的奇偶性
;
（
2
）1??時，求證：??fx
的最小正周期是
?
；
（
3
）??1.50,1.57??
，當函數(shù)??fx
的圖像與
??
11
2
gxx
x
??
??
??
??
的圖像有交點時，求滿足條件
的
?
的個數(shù)，說明理由
.
28
．已知函數(shù)22()sin22sin261
44
fxxtxtt
??
????
???????
????
????
，
,
242
x
??
??
??
?
??
??
??
??
，最小值為
??gt
.
（
1
）求當1t?時，求
8
f
?
??
??
??
的值；
（
2
）求??gt
的表達式；
（
3
）當
1
1
2
t???
時，要使關(guān)于
t
的方程2()9gtkt??
有一個實數(shù)根，求實數(shù)
k
的取值范圍
.
29
．設向量a=
（
2sin
2
x
cos
2
x
，
3
sinx
），
b=
（
cosx
，
sinx
），
x
∈
[-
6
?
，
3
?
]
，函數(shù)
f
（
x
）
=2a?
b
．
（
1
）若
|a|=
2
|
b
|
，求
x
的值；
（
2
）若
-2
3
≤f
（
x
）
-m≤
3
恒成立，求
m
的取值范圍．
30
．函數(shù)
f
（
x
）
=Asin
（
2ωx+φ
）（
A
＞
0
，
ω
＞
0
，
|φ|
＜
2
?
）的部分圖象如圖所示
（
1
）求
A
，
ω
，
φ
的值；
（
2
）求圖中
a
，
b
的值及函數(shù)
f
（
x
）的遞增區(qū)間；
（
3
）若
α
∈
[0
，
π]
，且
f
（
α
）
=
2
，求
α
的值．
【參考答案】
一、填空題
1
．
311
2
?
2
．23,4
??
??
3
．
②④
4
．23
5
．
0
6
．
2r
rh
?
?
7
．
42
8
．15
9
．??22,23
10
．4
二、單選題
11
．
B
12
．
C
13
．
B
14
．
A
15
．
A
16
．
B
17
．
B
18
．
C
19
．
C
20
．
B
三、解答題
21
．
(1)
正確
;(2)
見解析
;(3)
單調(diào)遞增區(qū)間為
,()
36
kkkZ
??
??
??
????
??
??
，
()fx的單調(diào)遞減區(qū)間為
2
,()
63
kkkZ
??
??
??
???
??
??
【解析】
【分析】
(1)
因為對
1
||
n
n
?
?是
n
?方向上的單位向量
,
又
1OC
?
?
且
OM
?與
OC
?共線
,
即可判斷出正確
;
(2)
在OAM?中
,
||||coscos
22
OMOA
????????
???
,
又
1
OCOM
OM
??
?
?
,
表示出
OC
?,
OM
?的坐
標
,
由縱坐標對應相等化簡即可證得結(jié)論
;
即
sinsin2sincos
22
????
??
??
??
(3)
由
(2)
結(jié)論化簡可得
2222
33
()sin2sin22sincos3sin2
3226
xxxx
fxxxx
??
??
????
????
????
????
????
??????
????
????
借助正弦
型函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果
.
【詳解】
(1)
因為對于非零向量
1
,
||
nn
n
??
?是
n
?方向上的單位向量
,
又
1OC
?
?
且
OM
?與
OC
?共線
,
所以
1
OCOM
OM
??
?
?
正確
;
(2)
因為
M
為
AB
的中點
,
則OMAB?,
從而在OAM?中
,
||||coscos
22
OMOA
????????
???
,
又
1
OCOM
OM
??
?
?
,
又
cos,sin
22
OC
???????
??
?
??
??
,
coscossinsin
22
OM
???????
??
?
??
??
,
所以
1sinsin
sin
22
cos
2
????
??
??
??
?
??
?
??
,
即
sinsin2sincos
22
????
??
??
??
(3)
因為
2222
33
()sin2sin22sincos3sin2
3226
xxxx
fxxxx
??
??
????
????
????
????
????
??????
????
????
令
222
262
kxk
???
????????
,
解得
:
36
kxk
??
???????
所以()fx的單調(diào)遞增區(qū)間為
,()
36
kkkZ
??
??
??
????
??
??
令
3
222
262
kxk
???
???????
,
解得
:
2
63
kxk
??
??????
所以()fx的單調(diào)遞減區(qū)間為
2
,()
63
kkkZ
??
??
??
???
??
??
【點睛】
本題考查向量在證明三角恒等式中的應用
,
考查類比推理
,
考查正弦型函數(shù)的單調(diào)性
,
難度較
難
.
22
．（
1
）
01???
；（
2
）??sin2
6
fxx
?
??
??
??
??
;
平移變換過程見解析
.
【解析】
【分析】
（
1
）根據(jù)平面向量的坐標運算
,
表示出()fx的解析式
,
結(jié)合輔助角公式化簡三角函數(shù)式
.
結(jié)合
相鄰兩條對稱軸間的距離不小于
2
?
及周期公式
,
即可求得
?
的取值范圍
;
（
2
）根據(jù)最小正周期
,
求得
?
的值
.
代入解析式
,
結(jié)合正弦函數(shù)的圖象、性質(zhì)與()fx的最大值
是
1
2
,
即可求得()fx的解析式
.
再根據(jù)三角函數(shù)圖象平移變換
,
即可描述變換過程
.
【詳解】
∵
(3cos,sin),(sin,0)axxbx?????
∴(3cossin,sin)abxxx??????
∴2()()3sincossinfxabbkxxxk??????????
31cos2311
sin2sin2cos2
22222
x
xkxxk
?
???
?
???????
1
sin2
62
xk
?
?
??
????
??
??
（
1
）由題意可知
222
T??
?
??
,
∴1??
又0??,
∴01???
（
2
）∵
T
?
?
?
,
∴1??
∴
1
()sin2
62
fxxk
?
??
????
??
??
∵
,
66
x
??
??
??
??
??
,
∴
2,
626
x
???
??
???
??
??
∴當
2
66
x
??
??
即
6
x
?
?
時
max
11
()sin1
6622
fxfkk
??
??
???????
??
??
∴
1
2
k??
∴
()sin2
6
fxx
?
??
??
??
??
將
sinyx?
圖象上所有點向右平移
6
?
個單位
,
得到
sin
6
yx
?
??
??
??
??
的圖象；再將得到的圖象上
所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/p>
1
2
倍
,
縱坐標不變
,
得到
sin2
6
yx
?
??
??
??
??
的圖象（或?qū)?/p>
sinyx?
圖
象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/p>
1
2
倍
,
縱坐標不變
,
得到
sin2yx?
的圖象；再將得到的圖象
上所有點向右平移
12
?
個單位
,
得到
sin2
6
yx
?
??
??
??
??
的圖象）
【點睛】
本題考查了正弦函數(shù)圖像與性質(zhì)的綜合應用
,
根據(jù)最值求三角函數(shù)解析式
,
三角函數(shù)圖象平移
變換過程
,
屬于中檔題
.
23
．（
1
）1?；（
2
）存在，且2a?.
【解析】
【分析】
（
1
）將
1a?
代入函數(shù)??yfx?
的解析式，得出????2cos11fxx????，由1cos1x???結(jié)
合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可得出該函數(shù)的最大值；
（
2
）換元??cos0,1tx??
，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)??222tatgt????
在區(qū)間??0,1
上的最大
值為
1
，然后分0a?、01a??和
1a?
三種情況討論，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出函數(shù)
??222tatgt????
在區(qū)間??0,1
上最大值，進而求得實數(shù)
a
的值
.
【詳解】
（
1
）當
1a?
時，????2
2sin2cos3cos11fxxxx???????，
1cos1x???，當cos1x?時，該函數(shù)取得最大值，即??
max
1fx??
；
（
2
）??22sin2cos3cos2cos2xaxxaxfx???????
，
當
0,
2
x
?
??
?
??
??
時，設??cos0,1tx??
，設??222tatgt????
，??0,1t?
，
二次函數(shù)??ygt?
的圖象開口向下，對稱軸為直線ta?.
當0a?時，函數(shù)??ygt?
在??0,1
上單調(diào)遞減，所以0?t時，????
max
021gtg????
，
0a??
不符合題意；
當
1a?
時，函數(shù)??ygt?
在??0,1
上單調(diào)遞增，所以1t?時，????
max
1231gtga????
，
2a??滿足
1a?
；
當01a??時，函數(shù)??ygt?
在
??0,a
上單調(diào)遞增，在??,1a
上單調(diào)遞減，
?
當ta?時，????2
max
21gtgaa????
，
3a???
不滿足01a??.
綜上，存在
2a?
符合題意
.
【點睛】
本題考查二次型余弦函數(shù)的最值，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值來求解是解題的關(guān)鍵，第
二問要對二次函數(shù)圖象的對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進行分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性
求解，考查分類討論思想的應用，屬于中等題
.
24
．（
1
）
23
k
x
??
??
(kZ?)
（
2
）??0,2
【解析】
（
1
）利用三角恒等變換，化簡函數(shù)解析式為標準型，再求對稱軸；
（
2
）先求平移后的函數(shù)解析式，再求值域
.
【詳解】
（
1
）??23sin22cos1fxxx???
3sin2cos2xx??
2sin2
6
x
?
??
??
??
??
令：
2
62
xk
??
????
，得
23
k
x
??
??
，
所以??fx
的對稱軸為
23
k
x
??
??
(kZ?).
（
2
）將??fx
的圖象向左平移
12
?
個單位后得到函數(shù)??gx
，
所以
??
12
gxfx
?
??
??
??
??
2sin22sin2
126
xx
????
??
????
??
??
??
??
當
0,
3
x
?
??
?
??
??
時，有
2
20,
3
x?
??
?
??
??
，
故??sin20,1x?
，??gx?
的值域為??0,2
.
【點睛】
本題考查利用三角恒等變換化簡函數(shù)解析式，求解函數(shù)性質(zhì)，同時涉及三角函數(shù)圖象的平
移，以及值域的求解問題
.
屬三角函數(shù)綜合基礎題
.
25
．（
1
）不是
.
見解析（
2
）最小值為
7.
【解析】
（
1
）不是，假設??fx
為M類函數(shù)，得到
2bak???
或者
2bak?????
，代入驗證不成
立
.
（
2
）??2
2
1log,02
log1,2
xx
fx
xx
???
?
?
?
??
?
，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)題意得到
326480bbb????
，得到??6,7b?
，得到答案
.
【詳解】
（
1
）不是
.
假設??fx
為
M
類函數(shù)，則存在
0ba??
，使得
sinsinab?
，
則
2bak???
，
kZ?
或者
2bak?????
，
kZ?
，
由
sin2sin
2
ab
a
?
?
，
當
2bak???
，
kZ?
時，有??sin2sinaak???
，
kZ?
，
所以
sin2sinaa??
，可得
sin0a?
，不成立；
當
2bak?????
，
kZ?
時，有
sin2sin()
2
ak
?
???
，
kZ?
，
所以
sin2a??
，不成立，
所以??fx
不為M類函數(shù)
.
（
2
）??2
2
1log,02
log1,2
xx
fx
xx
???
?
?
?
??
?
，則??fx
在??0,2
單調(diào)遞減，在??2,??
單調(diào)遞增，
又因為??fx
是
M
類函數(shù)，
所以存在
02ab???
，滿足
222
1loglog12|log1|
2
ab
ab
?
?????
，
由等式可得：??
2
log2ab?
，則
4ab?
，
所以
??22
14
2(4)0
222
a
ab
a
aa
?
?
??????
，
則
2
log10
2
ab?
??
，所以得
22
log12log1
2
ab
b
?
??
???
??
??
，
從而有
2
22
log1log
2
ab
b
?
??
??
??
??
，則有
??2
2
4
ab
b
?
?
，即
24
8bb
b
??
??
??
??
，
所以43288160bbb????
，則????3226480bbbb?????
，
由2b?，則326480bbb????
，
令??32648gxxxx????
，當26x??時，????26480gxxxx?????
，且
??6320g???
，??7130g??
，且??gx
連續(xù)不斷，由零點存在性定理可得存在??6,7b?
，
使得??0gb?
，此時??0,2a?
，因此
n
的最小值為
7.
【點睛】
本題考查了函數(shù)的新定義問題，意在考查學生對于函數(shù)的理解能力和應用能力
.
26
．（Ⅰ）點
C
是半圓的中點，理由見解析；（Ⅱ）（ⅰ）
6
?
??
時，最大值
5
（ⅱ）
6
?
??
時，最大面積是
33
4
【解析】
(
Ⅰ
)
設BCa?,ACb?,ABc?,
法一
:
依題意有222??abc
,
再利用基本不等式求得2abc?
,
從而得出結(jié)論
;
法二
:
由點
C
在半圓上
,
AB
是直徑
,
利用三角函數(shù)求出
cosac???
,sinbc???,
再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)論
;
(
Ⅱ
)(
ⅰ
)
利用三角函數(shù)值表示四邊形ABCD的周長
p
,
再求
p
的最大值
;(
ⅱ
)
利用三角函數(shù)值表
示出四邊形
ABCD
的面積s,
再結(jié)合基本不等式求s的最大值
.
【詳解】
(
Ⅰ
)
點
C
在半圓中點位置時
,ABC?周長最大
.
理由如下
:
法一
:
因為點
C
在半圓上
,
且
AB
是圓的直徑
,
所以
2
ACB
?
??
,
即ABC?是直角三角形
,
設
BCa?,ACb?,ABc?,
顯然
a,b,c
均為正數(shù)
,
則222??abc
,
因為222abab??
,
當且僅當
ab?
時等號成立
,
所以????2
222222abababab??????
,
所以??2222ababc????
,
所以
ABC?
的周長為??21222abcc??????
,
當且僅當
ab?
時等號成立
,
即
ABC?
為等腰直角三角形時
,
周長取得最大值
,
此時點
C
是半圓的中點
.
法二
:
因為點
C
在半圓上
,
且
AB
是圓的直徑
,
所以
2
ACB
?
??
,
即ABC?是直角三角形
,
設BCa?
,ACb?,ABc?,
0
2
ABC
?
??
??
????
??
??
,
則
cosac???
,sinbc???,
abc??cossinccc?????????2cossin2?????
22sin2
4
?
?
??
???
??
??
,
因為
0
2
?
???
,
所以
3
444
???
????
,
所以當
42
??
???
,
即
4
?
??
時
,
ABC?周長取得最大值
222?
,
此時點
C
是半圓的中點
.
(
Ⅱ
)(
ⅰ
)
因為ADDC?,
所以ABDDBC?????,
所以
sinADDCAB????,cos2CBAB???,
設四邊形ABCD的周長為
p
,
則
pADDCCBAB????
2sincos22ABAB???????2
2
1
4sin212sin254sin
2
???
??
???????
??
??
,
顯然
0,
4
?
?
??
?
??
??
,
所以當
6
?
??
時
,
p
取得最大值
5;
(
ⅱ
)
過O作OEBC?于
E
,
設四邊形
ABCD
的面積為s,
四邊形AOCD的面積為1
s,BOC?
的面積為2
s
,
則
12
11
22
sssACODBCOE??????
11
sin21cos2sin2
22
ABAB???????
sin2cos2sin2??????
??sin21cos2????
,
所以??2
22sin21cos2s????
????2
21cos21cos2?????
????31cos21cos2?????
????33
1cos21cos2
3
?????
????
??
2
2
31cos21cos2
1
1cos2
32
??
?
???
??
??
??
??
????
??
231cos21cos2
1
1cos2
32
??
?
???
??
??
??
??
????
??
2231cos21cos2
1cos2
1
2
32
??
?
????
??
??
??
?
??
??
??
??
??????431cos21cos221cos2
1
34
????????
??
?
??
??
41327
3216
??
??
??
??
;
當且僅當??31cos21cos2?????
,
即
1
cos2
2
??
時
,
等號成立
,
顯然
0
4
?
?
??
?
??
??
，,
所以
20
2
?
?
??
?
??
??
，,
所以此時
6
?
??
,
所以當
6
?
??
時
,
33
4
s?
,
即四邊形ABCD的最大面積是
33
4
.
【點睛】
本題考查解三角形的應用問題
,
考查三角函數(shù)與基本不等式的應用
,
需要學生具備一定的計算
分析能力
,
屬于中檔題
.
27
．（
1
）奇函數(shù)；（
2
）見解析；（
3
）
?
的個數(shù)為
198
個，見解析
.
【解析】
（
1
）根據(jù)奇偶函數(shù)的定義進行判斷即可；
（
2
）根據(jù)最小正周期公式進行驗證即可；
（
3
）利用函數(shù)的圖象和不等式的性質(zhì)可以求出滿足條件的
?
的個數(shù)
.
【詳解】
（
1
）??sin[tan()]sin(tan)sin(tan)()fxxxxfx????????????
，所以函數(shù)??fx
是奇函
數(shù)；
（
2
）??sin[tan()]sin(tan)()fxxxfx???????
，所以??fx
的最小正周期是
?
；
（
3
）因為當
0x?
時，??
1111
21
22
gxxx
xx
??
??????
??
??
，（當且僅當
1x?
時取等號），所
以當函數(shù)??fx
的圖像與
??
11
2
gxx
x
??
??
??
??
的圖像有交點時，只能??sintan1x??
，即
tan2
2
k
?
????
，因為
(1.50,1.57)??
，所以
2(tan1.50,tan1.57)
2
k
?
???
，
因此
1.99199.6k??
，
2,3,4,,199k??
，因此滿足條件的
?
的個數(shù)為
198
個，
當0x?時，也是一樣的，因為兩個函數(shù)是奇函數(shù)都關(guān)于原點對稱，
所以當函數(shù)??fx
的圖像與
??
11
2
gxx
x
??
??
??
??
的圖像有交點時，滿足條件的
?
的個數(shù)為
198.
【點睛】
本題考查了函數(shù)奇偶性和周期性，考查了三角奇函數(shù)的性質(zhì)，考查了基本不等式的應用，
考查了數(shù)學運算能力
.
28
．（
1
）
4?
（
2
）
2
2
51
5
42
1
()611
2
82(1)
ttt
gttt
ttt
?
??
????
??
?
??
?
?
??
??????
?
??
??
?
?
???
?
?
（
3
）--22????（，）（，）
【解析】
【分析】
（
1
）直接代入計算得解；（
2
）先求出
1
sin(2)[,1]
42
x
?
???
，再對
t
分三種情況討論，結(jié)合
二次函數(shù)求出??gt
的表達式；（
3
）令2()()9htgtkt???
，即2()(6)t10htk????
有一個實
數(shù)根，利用一次函數(shù)性質(zhì)分析得解
.
【詳解】
（
1
）當1t?時，2()sin22sin24
44
fxxtx
??
????
?????
????
????
，所以
4
8
f
?
??
??
??
??
.
（
2
）因為
[,]
242
x?
??
，所以
3
2[,]
464
x
???
???
，所以
1
sin(2)[,1]
42
x
?
???
2()[sin(2)]61
4
fxxtt
?
?????
（
[,]
242
x?
??
）
當
1
2
t??
時，則當
1
sin(2)
42
x
?
???
時，2
min
5
[()]5
4
fxtt???
當
1
1
2
t???
時，則當
sin(2)
4
xt
?
??
時，
min
[()]61fxt???
當1t?時，則當
sin(2)1
4
x
?
??
時，2
min
[()]82fxtt???
故
2
2
51
5
42
1
()611
2
82(1)
ttt
gttt
ttt
?
??
????
??
?
??
?
?
??
??????
?
??
??
?
?
???
?
?
（
3
）當
1
1
2
t???
時，
()61gtt???
，令2()()9htgtkt???
即2()(6)t10htk????
欲使2()9gtkt??
有一個實根，則只需
1
()0
2
(1)0
h
h
?
??
?
?
?
?
?
或
1
()0
2
(1)0
h
h
?
??
?
?
?
?
?
解得-2k?或2k?
.
所以k的范圍：--22????（，）（，）.
【點睛】
本題主要考查三角函數(shù)的范圍的計算，考查二次函數(shù)的最值的求法和方程的零點問題，意
在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力，屬于中檔題
.
29
．（
1
）
π
4
x?；（
2
）
3,332
??
?
??
.
【解析】
【分析】
（
1
）根據(jù)
|a|
2?
|
b
|
，利用化簡函數(shù)化簡解得
x
的值；
（
2
根據(jù)
f
（
x
）＝
2a?
b
．結(jié)合向量的坐標運算，根據(jù)
x
∈
[
6
?
?
，
3
?
]
，求解范圍，）﹣
2
3?
f
（
x
）﹣
m
3?
恒成立，可得
m
的取值范圍．
【詳解】
解：（
1
）由
|a|=
2
|
b
|
，
可得222ab?
；
即
4sin2x=2
（
cos2x+sin2x
）
即
sin2x=
1
2
；
∴
sinx=
2
2
?
；
∵
x
∈
[-
6
?
，
3
?
]
，
∴
x=
4
?
（
2
）由函數(shù)
f
（
x
）
=2a?
b
=2sin2x+2
3
sin2x
=sin2x+
23
（
11
22
?
cos2x
）
=sin2x
3?
cos2x+
3
=2sin
（
2x-
3
?
）
3?
∵
x
∈
[-
6
?
，
3
?
]
，
∴
2x-
3
?
∈
[-
2
3
?
，
3
?
]
，
則
32?
≤2sin
（
2x-
3
?
）
3?
≤2
3
；
要使
-2
3
≤f
（
x
）
-m≤
3
恒成立，
則
2332
323
m
m
?
???
?
?
??
?
?
解得：
3332m???
故得
m
的取值范圍是
[
3
，
332?
]
．
【點睛】
本題考查三角函數(shù)的化簡能力和向量的運算，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．
30
．（
1
）
π
2,1,
6
A?????
；（
2
）
7π
,1
12
ab???
，遞增區(qū)間為??
ππ
π,π
36
kkkZ
??
???
??
??
；
（
3
）
π
24
或
7π
24
.
【解析】
【分析】
（
1
）利用函數(shù)圖像可直接得出周期
T
和
A
，再利用
=
2
T
?
?
，求出
?
，
然后利用待定系數(shù)法直接得出
?
的值．
（
2
）通過第一問求得的值可得到??fx
的函數(shù)解析式，令??=0fx
，再根據(jù)
a
的位置確定
出
a
的值；令0x?得到的函數(shù)值即為
b
的值；利用正弦函數(shù)單調(diào)增區(qū)間即可求出函數(shù)的單
調(diào)增區(qū)間．
（
3
）令??2f??
結(jié)合
0απ，
即可求得
?
的取值．
【詳解】
解：（
1
）由圖象知
A=2
，
3
4
T
=
5
12
?
-
（
-
3
?
）
=
9
12
?
，
得
T=π
，
即
2
2
?
?
=2
，得
ω=1
，
又
f
（
-
3
?
）
=2sin[2×
（
-
3
?
）
+φ]=-2
，
得
sin
（
-
2
3
?
+φ
）
=-1
，
即
-
2
3
?
+φ=-
2
?
+2kπ
，
即
ω=
6
?
+2kπ
，
k
∈
Z
，
∵
|φ|
＜
2
?
，
∴當
k=0
時，
φ=
6
?
，
即
A=2
，
ω=1
，
φ=
6
?
；
（
2
）
a=-
3
?
-
4
T
=-
3
?
-
4
?
=-
7
12
?
，
b=f
（
0
）
=2sin
6
?
=2×
1
2
=1
，
∵
f
（
x
）
=2sin
（
2x+
6
?
），
∴由
2kπ-
2
?
≤2x+
6
?
≤2kπ+
2
?
，
k
∈
Z
，
得
kπ-
3
?
≤x≤kπ+
6
?
，
k
∈
Z
，
即函數(shù)
f
（
x
）的遞增區(qū)間為
[kπ-
3
?
，
kπ+
6
?
]
，
k
∈
Z
；
（
3
）∵
f
（
α
）
=2sin
（
2α+
6
?
）
=
2
，
即
sin
（
2α+
6
?
）
=
2
2
，
∵
α
∈
[0
，
π]
，
∴
2α+
6
?
∈
[
6
?
，
13
6
?
]
，
∴
2α+
6
?
=
4
?
或
3
4
?
，
∴
α=
24
?
或
α=
7
24
?
．
【點睛】
關(guān)于三角函數(shù)圖像需記?。?/p>
兩對稱軸之間的距離為半個周期；
相鄰對稱軸心之間的距離為半個周期；
相鄰對稱軸和對稱中心之間的距離為
1
4
個周期．
關(guān)于正弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間要掌握：
當
2,2
22
xkk
??
????
??
????
??
??
時，函數(shù)單調(diào)遞增；
當
3
2+,2
22
xkk
??
????
??
???
??
??
時，函數(shù)單調(diào)遞減．
本文發(fā)布于:2023-03-07 22:11:07，感謝您對本站的認可！
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