基本不等式

基本不等式知識點總結

向量不等式：

【注意】：ab

rr

、同向或有0

r

?||||||abab???

urur

urur

≥||||||||abab???

urur

urur

；

ab

rr

、反向或有0

r

?||||||abab???

urur

urur

≥||||||||abab???

urur

urur

；

ab

rr

、不共線?||||||||||||ababab?????

ururur

ururur

.(這些和實數集中類似)

代數不等式：

,ab同號或有0||||||||||||abababab???????≥

；

,ab異號或有0||||||||||||abababab???????≥

.

絕對值不等式：

123123

aaaaaa????≤

雙向不等式：ababab???≤≤

（左邊當0(0)ab≤≥

時取得等號，右邊當0(0)ab≥≤

時取得等號.）

放縮不等式：

①00abam????，，則

bmbbm

amaam

??

??

??

.

【說明】：

bbm

aam

?

?

?

（0,0abm???，糖水的濃度問題）.

【拓展】：，則，，000????nmba

b

a

nb

na

ma

mb

a

b

?

?

?

??

?

?

?1.

②,,abcR??，

bd

ac

?，

則

bbdd

aacc

?

??

?

；

③nN

?

?，

1

11

2

nnnn

n

??????；

④,1nNn

?

??，

2

11111

11nnnnn

????

??

.

⑤ln1xx?≤(0)x?,1xex?≥()xR?.

函數()(0)

b

fxaxab

x

???、圖象及性質

(1)函數??0)(???ba

x

b

axxf、圖象如圖：

(2)函數??0)(???ba

x

b

axxf、性質：

①值域：

),2[]2,(?????abab?

；

②單調遞增區間：(,]

b

a

???，[,)

b

a

??；單調遞減區間：(0,]

b

a

，[,0)

b

a

?.

基本不等式知識點總結

重要不等式

1、和積不等式：,abR??222abab?≥

(當且僅當ab?時取到“?”)．

x

a

b

ab2?

ab2

a

b

?o

y

【變形】：①

22

2()

22

abab

ab

??

≤≤

（當a=b時，

22

2()

22

abab

ab

??

??）

【注意】：(,)

2

ab

ababR?

?

?≤

，2()(,)

2

ab

ababR

?

?≤

2、均值不等式：

兩個正數ba、的調和平均數、幾何平均數、算術平均數、均方根之間的關系，即“平方平均≥算術

平均≥幾何平均≥調和平均”

*.若0x?，則

1

2x

x

??

(當且僅當1x?時取“=”）;

若0x?，則

1

2x

x

???

(當且僅當1x??時取“=”）

若0x?，則

111

22-2xxx

xxx

??????即或

(當且僅當ba?時取“=”）

*.若0?ab，則

2??

a

b

b

a

(當且僅當ba?時取“=”）

若0ab?，則

22-2

ababab

bababa

??????即或

(當且僅當ba?時取“=”）

3、含立方的幾個重要不等式（a、b、c為正數）：

3333abcabc??≥（

0abc???等式即可成立

，

時取等或0?????cbacba

）；

*不等式的變形在證明過程中或求最值時，有廣泛應用，如：當0?ab時，abba222??同時除以ab得

2??

b

a

a

b

或

b

a

a

b

???11。

*,,ba均為正數，ba

b

a

??2

2

八種變式：①

2

22ba

ab

?

?；②2)

2

(

ba

ab

?

?；③

2

)

2

(

22

2

baba?

?

?

④)(222baba???；⑤若b>0,則ba

b

a

??2

2

；⑥a>0,b>0,則

baba?

??

411

；⑦若a>0,b>0,則

abba

4

)

11

(2??；⑧若0?ab，則2

22

)

11

(

2

111

ba

ba

???。

上述八個不等式中等號成立的條件都是“ba?”。

最值定理

（積定和最小）

①,0,2xyxyxy??≥由，若積()xyP?定值，則當xy?時和xy?有最小值2p；

（和定積最大）

②,0,2xyxyxy??≥由，若和()xyS??定值，則當xy?是積xy有最大值

2

1

4

s.

【推廣】：已知Ryx?,，則有

xyyxyx2)()(22????.

（1）若積xy是定值，則當||yx?最大時，||yx?最大；當||yx?最小時，||yx?最小.

（2）若和||yx?是定值，則當||yx?最大時，||xy最小；當||yx?最小時，||xy最大.

③已知

,,,Raxby??

，若1axby??，則有則的最小值為：

2

1111

()()2()

byax

axbyabababab

xyxyxy

????????????≥

④已知，若則和的最小值為：

①.

②

應用基本不等式求最值的“八種變形技巧”：

⑴湊系數（乘、除變量系數）.例1.當04x??時，求函的數(82)yxx??最大值.

⑵湊項（加、減常數項）：例2.已知

5

4

x?，求函數

1

()42

45

fxx

x

???

?

的最大值.

⑶調整分子：例3.求函數

2710

()(1)

1

xx

fxx

x

??

???

?

的值域；

⑷變用公式：基本不等式

2

ab

ab

?

?有幾個常用變形,

22

22

abab??

?，

22

2()

22

abab??

?不易想到，

應重視；

例4.求函數

15

2152()

22

yxxx??????的最大值；

⑸連用公式：例5.已知0ab??，求

2

16

()

ya

bab

??

?

的最小值；

⑹對數變換：例6.已知

1

,1

2

xy??，且xye?，求ln(2)ytx?的最大值；

⑺三角變換：例7.已知

2

0yx

?

??≤

，且tan3tanxy?，求txy??的最大值；

⑻常數代換（逆用條件）：例8.已知0,0ab??，且21ab??，求

11

t

ab

??的最小值.

“單調性”補了“基本不等式”的漏洞：

⑴平方和為定值

若

22xya??（a為定值，0a?），可設cos,sin,xaya????，其中02???≤.

①(,)sincos2sin()

4

fxyxyaaa

?

?????????在

15

[0,],[,2)

44

???上是增函數，在

15

[,]

44

?

?上是減函數；

②

1

(,)sin2

2

gxyxya???在

1357

[0,],[,],[,2)

4444

?????上是增函數，在

1357

[,],[,]

4444

????上是

減函數；

③

11sincos

(,)

sincos

xy

mxy

xyxy

a

??

??

??

????.令sincos2sin()

4

ta

?

???????，其中

[2,1)(1,1)(1,2]t????UU.由212sincost????，得22sincos1t????，從而

2

22

(,)

1

(1)

()

t

mxy

at

at

t

??

?

?

在[2,1)(1,1)(1,2]???UU上是減函數.

⑵和為定值

若xyb??（b為定值，0b?），則.ybx??

①

2(,)gxyxyxbx????在(,]

2

b

??上是增函數，在[,)

2

b

??上是減函數；

②

2

11

(,)

xyb

mxy

xyxyxbx

?

????

??

.當0b?時，在(,0),(0,]

2

b

??上是減函數，在[,),(,)

2

b

bb??上

是增函數；當0b?時，在(,),(,]

2

b

bb??上是減函數，在[,0),(0,)

2

b

??上是增函數.

③

2222(,)22nxyxyxbxb?????在(,]

2

b

??上是減函數，在[,)

2

b

??上是增函數；

⑶積為定值

若xyc?（

c

為定值，0c?），則.

c

y

x

?

①(,)

c

fxyxyx

x

????.當0c?時，在[,0),(0,]cc?上是減函數，在(,],[,)cc?????上是增

函數；當0c?時，在(,0),(0,)????上是增函數；

②

111

(,)()

xyc

mxyx

xyxycx

?

?????.當0c?時，在[,0),(0,]cc?上是減函數，在

(,],[,)cc?????上是增函數；當0c?時，在(,0),(0,)????上是減函數；

③

2

2222

2

(,)()2

cc

nxyxyxxc

xx

???????在(,),(0,]cc???上是減函數，在(,0],[,)cc???

上是增函數.

⑷倒數和為定值

若

112

xyd

??（d為定值，

111

,,

xdy

），則.

c

y

x

?成等差數列且均不為零，可設公差為z，其中

1

z

d

??，

則

1111

,,zz

xdyd

????得,.

11

dd

xy

dzdz

??

??

.

①

22

2

()

1

d

fxxy

dz

???

?

.當0d?時，在

11

(,),(,0]

dd

????上是減函數，在

11

[0,),(,)

dd

??上是增函

數；當0d?時，在

11

(,),(,0]

dd

??上是增函數，在

11

[0,),(,)

dd

????上減函數；

②

2

22

(,).

1

d

gxyxy

dz

??

?

.當0d?時，在

11

(,),(,0]

dd

????上是減函數，在

11

[0,),(,)

dd

??上是增函

數；當0d?時，在

11

(,),(,0]

dd

??上是減函數，在

11

[0,),(,)

dd

????上是增函數；

③

222

22

222

2(1)

(,).

(1)

ddz

nxyxy

dz

?

???

?

.令221tdz??，其中1t≥且2t?，從而

22

2

22

(,)

4

(2)

4

dtd

nxy

t

t

t

??

?

??

在[1,2)上是增函數，在(2,)??上是減函數.