一次函數的圖像

精華名師輔導

教學內容：一次函數的圖像和性質

【基礎知識精講】

一、一次函數的圖像

1.正比例函數y=kx(k≠0,k是常數)的圖像是經過O（0，0）和M（1，k）兩點的一條直

線（如圖13-17）.（1）當k＞0時，圖像經過原點和第一、三像限；（2）k＜0時，圖像經

過原點和第二、四像限.

2.一次函數y=kx+b(k是常數，k≠0)的圖像是經過A（0,b）和B（-

k

b

，0）兩點的一

條直線，當kb≠0時，圖像（即直線）的位置分4種不同情況：

（1）k＞0,b＞0時，直線經過第一、二、三像限，如圖13-18A

（2）k＞0,b＜0時，直線經過第一、三、四像限，如圖13-18B

（3）k＜0,b＞0時，直線經過第一、二、四像限，如圖13-18C

（4）k＜0,b＜0時，直線經過第二、三、四像限，如圖13-18D

3.一次函數的圖像的兩個特征

（1）對于直線y=kx+b(k≠0),當x=0時,y=b即直線與y軸的交點為A（0,b）,因此b

叫直線在y軸上的截距.

（2）直線y=kx+b(k≠0)與兩直角標系中兩坐標軸的交點分別為A（0，b）和B（-

k

b

，

0）.設直線與x的夾角為α，則tgα=|

k

b

b

?

|=|k|，由于角α：0＜α＜90°，tgα＞,因此

|k|=tgα.

4.一次函數的圖像與直線方程

（1）一次函數y=kx+b(k≠0)的圖像是一條直線，因此y=kx+b(k≠0)也叫直線方程.但

直線方程不一定都是一次函數.

（2）與坐標軸平行的直線的方程.

①與x軸平行的直線方程形如：y=a（a是常數）.a＞0時，直線在x軸上方；a=0時，

直線與x軸重合；a＜0時，直線在x軸下方.（如圖13-19）

②與y軸平行的直線方程形如x=b（b是常數），b＞0時，直線在y軸右方，b=0時，直

線與y軸重合；b＜0時，直線在y軸左方，(如圖13-20).

二、兩條直線的關系

1.與坐標軸不平行的兩條直線l

1

:y

1

=k

1

x+b

1

,l

2

:y

2

=k

2

x+b,若l

1

若l

2

相交，則k

1

≠k

2

;若k

1

≠k

2，

則l

1

與l

2

不平行，其交點是聯立這兩條直線的方程，求得的公共解.

三、一次函數的增減性

1.增減性如果函數當自變量在某一取范圍內具有函數值隨自變量的增加（或減少）而

增加（或減少）的性質，稱為該函數當自變量在這一取值范圍內具有增減性，或稱具有單調

性.

2.一次函數的增減性

一次函數y=kx+b在x取全體實數時都具有如下性質：

（1）k＞0時，y隨x的增加而增加；

（2）k＜0時，y隨x的增加而減小.

3.待定系數法求一次函數的解析式：

若已知一次函數的圖像（即直線）經過兩個已在點A（x

1

，y

1

）和B(x

2

，y

2

)求這個一次

函數的解析式，其方法和步驟是：

（1）設一次函數的解析式：y=kx+b(k≠0)

（2）將A、B兩點的坐標代入所設函數的解析式，得兩個方程：y

1

=k

1

x

1

+b①y

2

=k

2

x

2

+b

2

②

（3）聯立①②解方程組，從而求出k、b值.

這一先設系數k、b，從而通過解方程求系數的方法以稱為待定系數法.

【重點難點解析】

例1已知一次函數y=(m+3)x+(4-n),(1)m為何值時，y隨x的增大而減小；（2）n為

何值時，函數的圖像與y軸的交點x軸下方；（3）m、n為何值時，函數圖像與y=x+2的圖

像平行.

解：（1）當m+3＜0,即m＜-3時，y隨x的增大而減小；

（2）當4-n＜0,即n＞4時，函數的圖像與y軸的交點在x下方；

（3）當m+3=1且4-n≠2時，即m=-2,n≠2時，函數的圖像是一條與y=x+2平行的直

線.

例2當a、b＞0，ac＜0，直線ax+by+c=0不通過哪個像限.

解：∵b≠0∴由原函數式變形得：

y=-

b

a

x-

b

c

∴ab＞0∴-

b

a

＜0

又∵ac＜0,∴-

b

c

＞0

直線ax+by+c=0不通過第三像限.

例3直線l

1

:y

1

=k

1

x+b

1

與y=2x平行且通過A（3，4），直線l

2

:y

2

=k

2

x+b

2

通過B（1，3），

C（-1，5），求l

1

和l

2

的解析式.

解：∵y

1

=k

1

x+b

1

與y=2x平行且通過A（3，4）

∴

?

?

?

??

?

4b3k

2k

11

1解這個方程組得：

?

?

?

?

?

-2b

2k

1

1

∴l

1

的解析式為:y=2x-2

∵y

2

=k

2

x+b

2

通過B（1，3）和C（-1，5）兩點，將兩點的坐標代入解析式得：

∴l

2

的解析式為：y=-x+4

例4已知一個正比例函數和一個一次函數，它們的圖像都經過P（-2，1），且一次函

數在y軸上的截距為3.（1）求這兩個函數的解析式；（2）在同一坐標系中，分別畫出兩個

函數的圖像；（3）求這兩個函數的圖像與y軸圍成的三角形的面積.

解：（1）設正比例函數和一次函數的解析式分別為y=k

1

x和y=k

2

x+b.由y=k

1

x過點（-2，

1）得1=-2k

1

∴k

1

=-

2

1

由y=k

2

x+b過點（-2，1），截距為3得：b=3

-2k

2

+b=1解得：k

2

=1b=3

(2)過點O（0，0）、P（-2，1）兩點畫一條直線，即得函數y=-

2

1

x的圖像.經過A（0，

3）和P（-2，1）畫一條直線即得y=x+3的直線，如圖13-21

（3）直線y=x+3與y軸交于點A（0，3）過P作PH⊥y軸，則OA=3，PH=|-2|=2，而函

數與y軸所圍成的三角形面積即是△APO的面積.

S△APO=

2

1

·AO·PH

=

2

1

×3×2=3

例5已知y-(m-3)與x（m是常數）成正比例，且x=6時，y=1；x=-4時，y=-4.(1)

求y與x之間的函數關系式；（2）在直角坐標系中，畫出這個函數的圖像；（3）求出這個函

數的圖像與坐標軸的兩個交點之間的距離.

解：∵y-(m-3)與x成正比例

∴可設y-(m-3)=kx,即y=kx+m-3①

?

?

?

????

??

1mk4

4mk6

故所求函數關系式為：y=

2

1

x-2

(2)經過A（6，1）和B（-4，-4）畫直線即是函數y=

2

1

x-2的圖像.如圖13-22

（3）當x=0時：y=

2

1

×0-2=-2

當y=0時，0=

2

1

x-2x=4

∴C（4，0），D（0，-2）

|CD|=

52242222????ODOC

綜上所述5例可見，本節重點為：①根據直線所通過的點的條件求直線方程；②根據直

線方程求作直線的圖像；③根據增減性、截距求直線方程；④根據兩直線的位置關系求直線

方程；本節的難點是求直線圍成的圖形的面積.解決重難點的方法是運用待定系數法和數形

結合的方法.

【難題巧解點撥】

例6已知函數y=|x-a|+|x+19|+|x-a-96|，其中a為常數，且滿足19＜a＜96,當自變

量x的取值范圍為a≤x≤96時，求y的最大值.

解：∵19＜a＜96,a≤x≤96

∴x-a≥0,x+19＞10,x-a-96＜0則y=x-a+x+19+a+96-x=115+x

函數y=15+x是一次函數，其增減性表明y隨x的增大而增大.

∴在a≤x≤96的x取值范圍內，當x=96時，y取最大值，即：

y

max

=96+115=211

說明：含絕對值的函數首先要討論絕對值的式子的正負性質，再根據絕對值定義化簡，

從而得到一次函數；討論在某一自變量的取值范圍內最大值或最小值要根據一次函數的性質

和自變量x范圍的兩端點取值來求.

例7如圖13-23在平面直角坐標系中，點O′的坐標為（0，3），⊙O′與y軸交于原

點O和點A，又B、C、E三點的坐標分別為（0，-2）、（4，0）、（x，0），且0＜x＜4.（1）

求點A的坐標；（2）當點E在線段OC上移動時，直線BE與⊙O′有哪幾種位置關系？（3）

求出直線BE與⊙O′每種位置關系時，x的取值范圍.

分析：直線與圓有三種位置關系，從直線與圓相切這種特殊情形，用運動變化的觀點尋

求結論成立的條件是解本題的關鍵.

解：（1）∵O′（0，3）∴⊙′的半徑為：

OO′=3，∴OA=2·OO′=2×3=6，∴A（0，6）

（2）∵點B在⊙O′外，BE與⊙O′有三種位置關系：相離、相切、相交；

（3）當直線BE與⊙O′相切于D點時，連結O′D，則△O′BD是Rt△.

O′D=3,O′B=5,BD=4,OB=2,OE=x

∵△O′BD∽△EBO

∴

BD

OB

DO

OE

?

＇

即

4

2

3

?

x

，解得：x=

2

3

故當

2

3

＜x＜4時，直線BE與⊙O′相離；當x=

2

3

時，直線BE與⊙O′相切.

當0＜x＜

2

3

時，直線BE與⊙O′相交.

例8如圖13-24，某航空公司托運行李的費用與托運行李重量的關系為一直線，由圖

中可知行李的重量不超過多少公斤，就可以免費托運？

解：設直線方程為：y=kx+b（k、b是常數，k≠0）

由圖可知：x=20時，y=330；x=40時，y=630;把x,y的對應取值代入直線方程，得：

解這個方程組，得：k=30,b=-570

∴直線方程為:y=30x-570

若y=0時，30x-570=0,∴x=19

答：只要行李重量不超過19公斤時，就可免費托運.

【命題趨勢分析】

由于一次函數是最基本的函數內容，是初中重點之一，在實際中應用十分廣泛，因此是

中考熱點考題.有關一次函數考試主要是概念、圖像、性質三個基本內容和待定系數法、數

形結合法兩種數學方法.

【典型熱點考題】

例9填空題：已知直線l:y=-3x+2，現在4個命題：①點P（1，-1）在直線l上；②

若直線l與x軸、y軸分別交于A、B兩點，則AB=10

3

2

；③若點M（

3

1

，1），N（a、b）

都在直線l上，且a＞

3

1

,則b＞1;④若點Q到兩坐標軸的距離相等，且點Q在l上，則點Q

在第一或第四像限.

其中正確的命題是.（注意：在橫線上填上你認為正確的命題序號）（2000

年廈門市中考題）

分析：檢驗①：只需將x=1,y=-1代入函數式看是否適合，當x=1時，y=-3+2=-1,即P

（1，-1）在直線y=-3x+2上，①命題正確；檢驗②；當y=0時，求得x=

3

2

,即A（

3

2

，0），

當x=0時，y=2，即B（0，2），∴AB=10

3

2

2)

3

2

(22??，命題②正確；檢驗③，若M（

3

1

，

1），N(a,b)都在y=-3x+2上，根據直線的性質，k=-3＜0,y隨x的增加而減小，∴a＞

3

1

時，

應該有b＜0,因此b＞1錯誤，即命題③錯誤；檢驗④，∵Q到兩坐標軸的距離相等，設Q（m、

n），則|m|=|n|,且n=-3m+2,由此解得：

?

?

?

??

?

1

1

n

m

或

?

?

?

?

?

?

?

?

?

2

1

2

1

n

m

因此Q點在第一或第四像限，命

題④正確.

因此，選①、②、④填空.

例10某居民小區按照分期付款的形式福利售房，政府給予一定的貼息，小明家購得

一套現價為120000元的房子，購房時首期（第一年）付款30000元，從第二年起，以后每

年應付房款5000元與上一年剩余欠款利息的和，設剩余欠款年利率為0.4%.（1）若第x（x

≥2）年小明家交付房款y元，求年付款y（元）與x（年）的函數關系式；（2）將第三年，

第十年應付房款填入下列表格中：（2000年大連市中考題）

年份第一年第二年第三年……第十年

交房款（元）300005360……

分析：首期付款后共余120000-30000=90000元房款，以后每年付款應為5000，與上一

年所欠余款×0.4%，即余款的利息之和.

解：（1）y=5000+[90000-5000(x-2)]×0.4%

=5400-20x（x≥2）

（2）當x=3時，y=5340，當x=10時，y=5200，

因此第三年應付款5340元，第十年應付款5200元.

例11已知直線x-2y=-k+6和x+3y=4y+1，若它們的交點在第四像限內，（1）求k的取

值范圍，（2）若k為非負整數，點A的坐標為（2，0），點P在直線x-2y=-k+6上，求使△

PAO為等腰三角形的點P的坐標.（2000年西安市中考題）

解：（1）依題意：

解這個方程組，得：x=k+4,y=k-1

∵兩直線的交點在第四像限

∴k+4＞0,且k-1＜0

解不等式組得：-4＜k＜1

（2）∵k為非負整數，∴k=0

∴直線x-2y=-k+6即為：y=x

2

1

-3

設P（a，b）為直線y=x

2

1

-3上一點，作PE⊥x軸，垂足為E，若使PO=PA，則應有OE=AE，

即E（1，0）

∵a=1,∴b=-

2

5

∴P

1

(1,-

2

5

)

若使PO=OA=2，則a2+b2=4,a2+(

2

1

a-3)2=4,

4

5

a2-3a+5=0,△=9-25＜0此方程無解.

若使PA=OA=2，則（2-a）2+b2=4,(2-a)2+(

2

1

a-3)2=4,∴

4

5

a2-7a+9=0,a

1

=2,a

2

=

5

18

,當

a

1

=2時，b

1

=-2，當a

2

=

5

18

時,b

2

=-

5

6

.

∴P

2

(2,-2)或P

3

（

5

18

，

5

6

）

綜合上所述，點P的坐標為（1，-

2

5

），（2，-2），（

5

18

，-

5

6

）如圖13-25.

【同步達綱練習】（時間：45分鐘，滿分：100分）

一、選擇題（10分×6=60分）

（1）一次函數y=kx+b的圖像經過點(m,-1)和點(1,m)，其中，m＜-1,則k和b滿足的

條件是（）

A.k＜0,b＜0B.k＞0,b＞0C.k＜0,b＞0D.k＞0,b＜0

（2）若一次函數y=(1-2k)x-k（x為自變量）的函數值y隨x的增大而增大，且此函數

的圖像不經過第二像限，則k的取值范圍是（）

A.k＜

2

1

B.k＞0C.0＜k＜

2

1

D.k＜0或k＞

2

1

（3）當mn＜0mp＞0時，一次函數y=

m

n

x

p

m

?

的圖像不經過的像限是（）

A.第一像限B.第二像限C.第三像限D.第四像限

（4）一次函數y=kx+b的圖像如圖13-26,那么k、b應滿足的條件是（）

A.k＞0,b＞0B.k＞0,b＜0C.k＜0,b＞0D.k＜0,b＜0

（5）已知函數y=

x

k

的圖像經過點（-1，1），則函數y=kx+3的圖像是（）

（6）直線y=kx+b與直線y=-x垂直，并且經過點（-1，1），那么直線y=kx+b的解析

式為（）

A.y=-x-2B.y=x+2C.y=x-2D.y=-x+2

三、解答題（10分×3=30分）

（7）已知一次函數y=(3-k)x+2k+1.①如果它的圖像經過（-1，2）點，求k的值；②

如果它的圖像經過第一、二、四像限，求k的取值范圍.

（8）已知y+b與x-1（其中b是常數）成正比例.①證明：y是x的一次函數；②若這

個一次函數的圖像經過點（

2

5

，0），且與坐標軸在第一像限內圍成的三角形的面積為

4

25

，

求這個一次函數，并畫出它的圖像.

（9）已知一次函數y=(p+3)x+(2-q).①p為什么實數時y隨x的增大而增大？②q為什

么實數時，函數圖像與y軸的交點在x軸的上方；③p、q為什么實數時，函數的圖像過原

點？

（10）如圖13-27，在直角坐標系中，點A（x

1

，-3）在第三像限，點B（x

2

,-1）在第

四像限，線段AB與y軸交于點D，∠AOB=90°，①當x

2

=1時，求圖像經過A、B的一次函數

的解析式；②當△OAB的面積等于9時，設∠AOD=α，求sinα·cosα的值.

【素質優化訓練】

一個水池的容積是100m3,現存水20m3,今要灌滿水池，已知進水管的流量是每小時8m3,

寫出水池的水量υ與進水時間t之間的函數關系式，并畫出圖像.

【生活實際應用】

某商場計劃投入一筆資金采購一批緊俏商品，經過市場調查發現，如果月初出貨，可獲

利15%，并可用本和利再投資其它商品，到月末又可獲利10%；如果月末出售可獲利30%，

但要付出倉儲費用200元，請問根據商場的資金狀況，如何購銷獲利最多？

【知識探究學習】

求直線方程的幾種方法：

1.如圖1，若l與x軸的夾角為α（0＜α＜90），直線與y軸交于點（0，b）,則直線l

方程即為：

y=tgα·x+b

2.若l與x的夾角為α（0＜α＜90），且經過點M（x

1

,y

1

），如圖2，則直線l的方程即

可寫為：

?tg

xx

yy

?

?

?

1

1

3.若l經過A（x

1

,y

1

），B（x

2

,y

2

）,則直線l的方程即可寫為：

12

2

12

2

xx

xx

yy

yy

?

?

?

?

?

參考答案：

【同步達綱練習】

一、ACDDCB

二、（7）k=

3

4

,k＞3,(8)①y=kx-(k+b)(k≠0)；②y=-2x+5;(9)①P＞-3,②q＜2,③p≠3且

q=2;(10)①y=

2

1

x-

3

2

;②sinα·cosα=

6

1

【素質優化訓練】

1．v=20+8t(0≤t≤10)

【生活實際應用】

設商場投資x元，在月初出售，到月末可獲得y

1

元，在月末出售可獲利y

2

元.

y

1

=0.265x，y2

=0.3x-700

（1）當y

1

=y

2

時,x=20000

（2）y

1

＜y

2

時，x＞20000

（3）y

1

＞y

2

時，x＜2000