函數的概念及其表示

第1課時函數的概念及其表示

基本函數解析式圖像定義域值域單調性

常函數

一次函數

二次函數

三次函數

反比例函

數

二次根式

指數函數

對數函數

題型一函數的概念

1．下列各曲線表示的y與x之間的關系中，y不是x的函數的是()

2．下列各組函數相等的是()

A．f(x)＝x2－2x－1(x∈R)，g(s)＝s2－2s－1(s∈Z)B．f(x)＝x－1，g(x)＝

x2－1

x＋1

C．f(x)＝x2，g(x)＝

?

?

?

?

?x，x≥0，

－x，x<0

D．f(x)＝－x3，g(x)＝x－x

3．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列從P到Q的各對應關系f不是函數的是________．(填

序號)

①f：x→y＝

1

2

x；②f：x→y＝

1

3

x；③f：x→y＝

2

3

x；④f：x→y＝x.

題型二求函數的解析式

代入法、配湊法、換元法、方程組法、待定系數法求已知類型的函數，求解析式需要注意定義域．

⑴已知

()21fxx??

，求

(1)fx?

，

2(1)fx?

；

代入法：

22(1)23(1)21fxxfxx??????，

．

⑵已知

2(1)fxxx???

，求

()fx

；

配湊法：

22(1)(1)(1)fxxxxx???????

，于是

2()fxxx??

；

換元法：令

1tx??

，則

1xt??

．∴

22()(1)1fttttt??????

，∴

2()fxxx??

．

⑶已知

242(1)23fxxx????

，求

()fx

．

令21tx??

，則

22()(1)2(1)346fttttt????????

，故

2()46fxxx???

．

注意定義域：

t

是有限制的，

1t≥

，故求出的

()fx

是有定義域的，定義域為

[1)??，

．

⑵已知

??

1

232fxfx

x

??

???

??

??

，求

??fx

．

方程組法：令

xt?

與

1

x

t

?

得到

??

??

??

1

232

2

2

13

22

ftft

t

ftt

t

fft

tt

?

??

???

??

?

???

?????

?

??

?

???

??

?

??

?

∴

??

2

2fxx

x

????

．

例1求下列函數的解析式：

(1)已知f(1－sinx)＝cos2x，求f(x)的解析式；

(2)已知f

?

?

?

?

x＋

1

x

＝x2＋

1

x2

，求f(x)的解析式；

(3)已知f(x)是一次函數且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；

(4)已知

2()1fxx??

，求

(21)fx?

；

(5)已知

2(1)3fxxx????

，求

()fx

；

(5)已知

??32fxxx??

，求

()fx

．

(6)已知????222388fxfxxx?????

，求??fx

．

跟蹤訓練1(1)(2020·濟南模擬)若f

?

?

?

?

1

x

＝

x

1－x

，則f(x)＝________.

題型三分段函數

命題點1求分段函數的函數值

例2已知f(x)＝

?

?

?

?

?cosπx，x≤1，

f?x－1?＋1，x>1，

則f

?

?

?

?

4

3

＋f

?

?

?

?

－

4

3

的值為()

A.

1

2

B．－

1

2

C．－1D．1

命題點2分段函數與方程、不等式問題

例3(1)(2020·長春模擬)已知函數f(x)＝

?

?

?

?

?2x，x>0，

x＋1，x≤0.

若f(a)＋f(1)＝0，則實數a的值等于()

A．－3B．－1C．1D．3

(2)已知函數f(x)＝

?

?

?

?

?log

2

x，x≥1，

1

x

，x<1且x≠0，

則不等式f(x)≤1的解集為()

A．(－∞，2]B．(－∞，0]∪(1,2]

C．[0,2]D．(－∞，0)∪[1,2]

思維升華(1)分段函數的求值問題的解題思路

①求函數值：當出現f(f(a))的形式時，應從內到外依次求值．

②求自變量的值：先假設所求的值在分段函數定義區間的各段上，然后求出相應自變量的值，切記要代入

檢驗．

(2)分段函數與方程、不等式問題的求解思路

依據不同范圍的不同段分類討論求解，最后將討論結果并起來．

跟蹤訓練2(1)(2021·河北冀州一中模擬)設f(x)＝

?

?

?

?

?

x＋

2

x

－3，x≥1，

x2＋1，x<1.

則f(f(－1))＝_______

(2)已知函數f(x)＝

?

?

?

?

?x－2，x≥2，

－2，x<2，

則不等式x·f(x－1)<10的解集是________．

課時精練

1．下列所給圖象是函數圖象的個數為()

A．1B．2C．3D．4

2．下列集合A到集合B的對應關系f是函數的是()

A．A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的數的平方

B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的數求平方根

C．A＝Z，B＝Q，f：A中的數取倒數

D．A＝R，B＝{正實數}，f：A中的數取絕對值

3．已知函數f(x)＝

?

?

?

?

?2x＋1，x≤0，

1－log

2

x，x>0，

則f(f(8))等于()

A．－1B．－

1

2

C.

1

2

D．2

4．設函數f

?

?

?

?

?

?1－x

1＋x

＝x，則f(x)的表達式為()

A.

1＋x

1－x

(x≠－1)B.

1＋x

x－1

(x≠－1)

C.

1－x

1＋x

(x≠－1)D.

2x

x＋1

(x≠－1)

5．已知函數f(x)＝

?

?

?

?

?2x＋1，x≥0，

3x2，x<0，

且f(x

0

)＝3，則實數x

0

的值為()

6.如圖，△AOD是一直角邊長為1的等腰直角三角形，平面圖形OBD是四分之一圓的扇形，點P在線段

AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交弧DB于點Q，設AP＝x(0

APQD)的面積為y，則函數y＝f(x)的大致圖象是()

7．已知f(x5)＝lgx，則f(2)＝________.

8．已知函數f(x)＝

?

?

?

?

?x＋b，x<1，

2x－1，x≥1，

若f(f(－1))＝3，則b＝______.

9．已知函數f(x)＝

?

?

?

?

?－x2－2x＋1，x<0，

2x，x≥0，

則滿足f(a)>1的實數a的取值范圍是________．

10．已知函數f(x)滿足f

?

?

?

?

1

x

＋

1

x

f(－x)＝2x(x≠0)，則f(－2)＝________，f

?

?

?

?

1

2

＝________.

11．已知函數f(x)的解析式為f(x)＝

?

?

?

?

?3x＋5，x≤0，

x＋5，0

－2x＋8，x>1.

(1)求f

?

?

?

?

3

2

，f

?

?

?

?

1

π

，f(－1)的值；

(2)畫出這個函數的圖象；

(3)求f(x)的最大值．

12.行駛中的汽車在剎車時由于慣性作用，要繼續往前滑行一段距離才能停下，這段距離叫做剎車距離．在

某種路面上，某種型號汽車的剎車距離y(m)與汽車的車速x(km/h)滿足下列關系：y＝

x2

200

＋mx＋n(m，n是

常數)．如圖是根據多次實驗數據繪制的剎車距離y(m)與汽車的車速x(km/h)的關系圖．

(1)求出y關于x的函數解析式；

(2)如果要求剎車距離不超過25.2m，求行駛的最大速度．