數學函數公式大全

數學常用公式及常用結論

1.元素與集合的關系

U

xAxCA???,

U

xCAxA???.

2.德摩根公式

();()

UUUUUU

CABCACBCABCACB??????.

3.包含關系

ABAABB?????

UU

ABCBCA????

U

ACB????

U

CABR???

4.容斥原理

()()cardABcardAcardBcardAB?????

()()cardABCcardAcardBcardCcardAB???????

()()()()cardABcardBCcardCAcardABC?????????.

5．集合

12

{,,,}

n

aaa?的子集個數共有2n個；真子集有2n–1個；非空子集有2n–1

個；非空的真子集有2n–2個.

6.二次函數的解析式的三種形式

(1)一般式2()(0)fxaxbxca????;

(2)頂點式2()()(0)fxaxhka????;

(3)零點式

12

()()()(0)fxaxxxxa????.

7.解連不等式()NfxM??常有以下轉化形式

()NfxM???[()][()]0fxMfxN???

?|()|

22

MNMN

fx

??

???

()

0

()

fxN

Mfx

?

?

?

?

11

()fxNMN

?

??

.

8.方程0)(?xf在),(

21

kk上有且只有一個實根,與0)()(

21

?kfkf不等價,前者是后

者的一個必要而不是充分條件.特別地,方程)0(02????acbxax有且只有一個實根在

),(

21

kk內,等價于0)()(

21

?kfkf,或0)(

1

?kf且

22

21

1

kk

a

b

k

?

???,或0)(

2

?kf且

2

21

22

k

a

b

kk

???

?

.

9.閉區間上的二次函數的最值

二次函數)0()(2????acbxaxxf在閉區間??qp,上的最值只能在

a

b

x

2

??處及區

間的兩端點處取得，具體如下：

(1)當a>0時，若??qp

a

b

x,

2

???，則??

minmaxmax

()(),()(),()

2

b

fxffxfpfq

a

???；

??qp

a

b

x,

2

???，??

maxmax

()(),()fxfpfq?，??

minmin

()(),()fxfpfq?.

(2)當a<0時，若??qp

a

b

x,

2

???，則??

min

()min(),()fxfpfq?，若

??qp

a

b

x,

2

???，則??

max

()max(),()fxfpfq?，??

min

()min(),()fxfpfq?.

10.一元二次方程的實根分布

依據：若()()0fmfn?，則方程0)(?xf在區間(,)mn內至少有一個實根.

設qpxxxf???

2

)(，則

（1）方程0)(?xf在區間),(??m內有根的充要條件為0)(?mf或

240

2

pq

p

m

?

??

?

?

??

?

?

；

（2）方程0)(?xf在區間(,)mn內有根的充要條件為()()0fmfn?或2

()0

()0

40

2

fm

fn

pq

p

mn

?

?

?

?

?

?

?

??

?

?

???

?

?

或

()0

()0

fm

afn

?

?

?

?

?

或

()0

()0

fn

afm

?

?

?

?

?

；

（3）方程0)(?xf在區間(,)n??內有根的充要條件為()0fm?或

240

2

pq

p

m

?

??

?

?

??

?

?

.

11.定區間上含參數的二次不等式恒成立的條件依據

(1)在給定區間),(????的子區間

L

（形如????,，???,??，????,?不同）上含參數

的二次不等式(,)0fxt?(t為參數)恒成立的充要條件是

min

(,)0()fxtxL??.

(2)在給定區間),(????的子區間上含參數的二次不等式(,)0fxt?(t為參數)恒成立

的充要條件是(,)0()

man

fxtxL??.

(3)0)(24????cbxaxxf恒成立的充要條件是

0

0

0

a

b

c

?

?

?

?

?

?

?

?

或

2

0

40

a

bac

?

?

?

??

?

.

12.真值表

ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

13.常見結論的否定形式

原結論反設詞原結論反設詞

是不是至少有一個一個也沒有

都是不都是至多有一個至少有兩個

大于不大于至少有n個

至多有（

1n?

）個

小于不小于至多有n個

至少有（

1n?

）個

對所有x，

成立

存在某x，

不成立p

或

qp?

且

q?

對任何x，

不成立

存在某x，

成立p

且

qp?

或

q?

14.四種命題的相互關系

原命題互逆逆命題

若ｐ則ｑ若ｑ則ｐ

互互

互為為互

否否

逆逆

否否

否命題逆否命題

若非ｐ則非ｑ互逆若非ｑ則非ｐ

15.充要條件

（1）充分條件：若pq?，則

p

是q充分條件.

（2）必要條件：若

qp?

，則

p

是

q

必要條件.

（3）充要條件：若

pq?

，且

qp?

，則

p

是

q

充要條件.

注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.

16.函數的單調性

(1)設??

2121

,,xxbaxx???那么

??

1212

()()()0xxfxfx??????baxf

xx

xfxf

,)(0

)()(

21

21在??

?

?

上是增函數；

??

1212

()()()0xxfxfx??????baxf

xx

xfxf

,)(0

)()(

21

21在??

?

?

上是減函數.

(2)設函數)(xfy?在某個區間內可導，如果0)(?

?

xf，則)(xf為增函數；如果

0)(?

?

xf，則)(xf為減函數.

17.如果函數)(xf和)(xg都是減函數,則在公共定義域內,和函數)()(xgxf?也是減

函數;如果函數)(ufy?和)(xgu?在其對應的定義域上都是減函數,則復合函數

)]([xgfy?是增函數.

18．奇偶函數的圖象特征

奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱;反過來，如果一個函數的圖

象關于原點對稱，那么這個函數是奇函數；如果一個函數的圖象關于y軸對稱，那么這個函

數是偶函數．

19.若函數)(xfy?是偶函數，則)()(axfaxf????；若函數)(axfy??是偶函

數，則)()(axfaxf????.

20.對于函數)(xfy?(

Rx?

),)()(xbfaxf???恒成立,則函數)(xf的對稱軸是

函數

2

ba

x

?

?;兩個函數)(axfy??與)(xbfy??的圖象關于直線

2

ba

x

?

?對稱.

21.若)()(axfxf????,則函數)(xfy?的圖象關于點

)0,

2

(

a

對稱;若

)()(axfxf???,則函數)(xfy?為周期為

a2

的周期函數.

22．多項式函數1

10

()nn

nn

Pxaxaxa?

?

?????的奇偶性

多項式函數()Px是奇函數?()Px的偶次項(即奇數項)的系數全為零.

多項式函數()Px是偶函數?()Px的奇次項(即偶數項)的系數全為零.

23.函數()yfx?的圖象的對稱性

(1)函數()yfx?的圖象關于直線xa?對稱()()faxfax????

(2)()faxfx???.

(2)函數()yfx?的圖象關于直線

2

ab

x

?

?對稱()()famxfbmx????

()()fabmxfmx????.

24.兩個函數圖象的對稱性

(1)函數()yfx?與函數()yfx??的圖象關于直線

0x?

(即

y

軸)對稱.

(2)函數()yfmxa??與函數()yfbmx??的圖象關于直線

2

ab

x

m

?

?對稱.

(3)函數)(xfy?和)(1xfy??的圖象關于直線y=x對稱.

25.若將函數)(xfy?的圖象右移a、上移

b

個單位，得到函數baxfy???)(的圖

象；若將曲線0),(?yxf的圖象右移a、上移

b

個單位，得到曲線0),(???byaxf的圖

象.

26．互為反函數的兩個函數的關系

abfbaf????)()(1.

27.若函數)(bkxfy??存在反函數,則其反函數為

])([

1

1bxf

k

y???,并不是

)([1bkxfy???,而函數)([1bkxfy???是

])([

1

bxf

k

y??的反函數.

28.幾個常見的函數方程

(1)正比例函數()fxcx?,()()(),(1)fxyfxfyfc????.

(2)指數函數()xfxa?,()()(),(1)0fxyfxfyfa????.

(3)對數函數()log

a

fxx?,()()(),()1(0,1)fxyfxfyfaaa?????.

(4)冪函數()fxx??,'()()(),(1)fxyfxfyf???.

(5)余弦函數()cosfxx?,正弦函數()singxx?，()()()()()fxyfxfygxgy???，

0

()

(0)1,lim1

x

gx

f

x?

??.

29.幾個函數方程的周期(約定a>0)

（1）)()(axfxf??，則)(xf的周期T=a；

（2）0)()(???axfxf，

或)0)((

)(

1

)(???xf

xf

axf，

或

1

()

()

fxa

fx

???

(()0)fx?,

或??2

1

()()(),(()0,1)

2

fxfxfxafx?????,則)(xf的周期T=2a；

(3))0)((

)(

1

1)(?

?

??xf

axf

xf，則)(xf的周期T=3a；

(4)

)()(1

)()(

)(

21

21

21xfxf

xfxf

xxf

?

?

??且

1212

()1(()()1,0||2)fafxfxxxa??????，則

)(xf的周期T=4a；

(5)()()(2)(3)(4)fxfxafxafxafxa???????

()()(2)(3)(4)fxfxafxafxafxa?????,則)(xf的周期T=5a；

(6))()()(axfxfaxf????，則)(xf的周期T=6a.

30.分數指數冪

(1)

1m

n

n

m

a

a

?（0,,amnN???，且

1n?

）.

(2)

1m

n

m

n

a

a

??（0,,amnN???，且

1n?

）.

31．根式的性質

（1）()n

naa?.

（2）當n為奇數時，n

naa?；

當n為偶數時，

,0

||

,0

n

n

aa

aa

aa

?

?

??

?

??

?

.

32．有理指數冪的運算性質

(1)(0,,)rsrsaaaarsQ?????.

(2)()(0,,)rsrsaaarsQ???.

(3)()(0,0,)rrrabababrQ????.

注：若a＞0，p是一個無理數，則ap表示一個確定的實數．上述有理指數冪的運算性

質，對于無理數指數冪都適用.

33.指數式與對數式的互化式

logb

a

NbaN???(0,1,0)aaN???.

34.對數的換底公式

log

log

log

m

a

m

N

N

a

?(0a?,且1a?,0m?,且1m?,0N?).

推論

loglog

m

n

a

a

n

bb

m

?(0a?,且1a?,,0mn?,且1m?,1n?,0N?).

35．對數的四則運算法則

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則

(1)log()loglog

aaa

MNMN??;

(2)

logloglog

aaa

M

MN

N

??;

(3)loglog()n

aa

MnMnR??.

36.設函數)0)((log)(2????acbxaxxf

m

,記acb42???.若)(xf的定義域為

R

,則

0?a

，且

0??

;若)(xf的值域為

R

,則

0?a

，且

0??

.對于

0?a

的情形,需要

單獨檢驗.

37.對數換底不等式及其推廣

若0a?,0b?,0x?,

1

x

a

?,則函數log()

ax

ybx?

(1)當ab?時,在

1

(0,)

a

和

1

(,)

a

??上log()

ax

ybx?為增函數.

，(2)當ab?時,在

1

(0,)

a

和

1

(,)

a

??上log()

ax

ybx?為減函數.

推論:設1nm??，0p?，0a?，且1a?，則

（1）log()log

mpm

npn

?

??.

（2）2logloglog

2aaa

mn

mn

?

?.

38.平均增長率的問題

如果原來產值的基礎數為N，平均增長率為

p

，則對于時間x的總產值

y

，有

(1)xyNp??.

39.數列的同項公式與前n項的和的關系

1

1

,1

,2n

nn

sn

a

ssn

?

?

?

?

?

??

?

(數列{}

n

a的前n項的和為

12nn

saaa?????).

40.等差數列的通項公式

*

11

(1)()

n

aanddnadnN???????；

其前n項和公式為

1

()

2

n

n

naa

s

?

?

1

(1)

2

nn

nad

?

??

2

1

1

()

22

d

nadn???.

41.等比數列的通項公式

1*

1

1

()nn

n

a

aaqqnN

q

?????；

其前n項的和公式為

1

1

(1)

,1

1

,1

n

n

aq

q

s

q

naq

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

或

1

1

,1

1

,1

n

n

aaq

q

q

s

naq

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

.

42.等比差數列??

n

a:

11

,(0)

nn

aqadabq

?

????的通項公式為

1

(1),1

()

,1

1

nn

n

bndq

a

bqdbqd

q

q

?

???

?

?

?

???

?

?

?

?

?

；

其前n項和公式為

(1),(1)

1

(),(1)

111

n

n

nbnndq

s

dqd

bnq

qqq

???

?

?

?

?

?

???

?

???

?

.

43.分期付款(按揭貸款)

每次還款

(1)

(1)1

n

n

abb

x

b

?

?

??

元(貸款a元,n次還清,每期利率為

b

).

44．常見三角不等式

（1）若

(0,)

2

x

?

?，則

sintanxxx??

.

(2)若(0,)

2

x

?

?，則1sincos2xx???.

(3)|sin||cos|1xx??.

45.同角三角函數的基本關系式

22sincos1????，

tan?=

?

?

cos

sin

，

tan1cot????

.

46.正弦、余弦的誘導公式

2

1

2

(1)sin,

sin()

2

(1)s,

n

n

n

co

?

?

?

?

?

?

?

?

??

?

?

?

?

2

1

2

(1)s,

s()

2

(1)sin,

n

n

co

n

co

?

?

?

?

?

?

?

?

??

?

?

?

?

47.和角與差角公式

sin()sincoscossin?????????;

cos()coscossinsin?????????;

tantan

tan()

1tantan

??

??

??

?

??

?

.

22sin()sin()sinsin??????????(平方正弦公式);

22cos()cos()cossin??????????.

sincosab???

=22sin()ab????(輔助角?所在象限由點(,)ab的象限決

定,

tan

b

a

??).

48.二倍角公式

sin2sincos????

.

2222cos2cossin2cos112sin???????????.

2

2tan

tan2

1tan

?

?

?

?

?

.

49.三倍角公式

3sin33sin4sin4sinsin()sin()

33

??

???????????.

3cos34cos3cos4coscos()cos()

33

??

???????????.

3

2

3tantan

tan3tantan()tan()

13tan33

????

????

?

?

????

?

.

50.三角函數的周期公式

函數sin()yx????，x∈R及函數cos()yx????，x∈R(A,ω,

?

為常數，且A≠0，

ω＞0)的周期

2

T

?

?

?；函數tan()yx????，,

2

xkkZ

?

????(A,ω,?為常數，且A

≠0，ω＞0)的周期

T

?

?

?.

(n為偶數)

(n為奇數)

(n為偶數)

(n為奇數)

51.正弦定理

2

sinsinsin

abc

R

ABC

???.

52.余弦定理

2222cosabcbcA???;

2222cosbcacaB???;

2222coscababC???.

53.面積定理

（1）

111

222abc

Sahbhch???（

abc

hhh、、分別表示a、b、c邊上的高）.

（2）

111

sinsinsin

222

SabCbcAcaB???.

(3)22

1

(||||)()

2OAB

SOAOBOAOB

?

????

????????????????

.

54.三角形內角和定理

在△ABC中，有()ABCCAB?????????

222

CAB??

???

222()CAB?????.

55.簡單的三角方程的通解

sin(1)arcsin(,||1)kxaxkakZa????????.

s2arccos(,||1)coxaxkakZa???????.

tanarctan(,)xaxkakZaR???????.

特別地,有

sinsin(1)()kkkZ???????????.

scos2()cokkZ??????????.

tantan()kkZ??????????.

56.最簡單的三角不等式及其解集

sin(||1)(2arcsin,2arcsin),xaaxkakakZ???????????.

sin(||1)(2arcsin,2arcsin),xaaxkakakZ???????????.

cos(||1)(2arccos,2arccos),xaaxkakakZ?????????.

cos(||1)(2arccos,22arccos),xaaxkakakZ???????????.

tan()(arctan,),

2

xaaRxkakkZ

?

?????????.

tan()(,arctan),

2

xaaRxkkakZ

?

?????????.

57.實數與向量的積的運算律

設λ、μ為實數，那么

(1)結合律：λ(μa)=(λμ)a;

(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;

(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.

58.向量的數量積的運算律：

(1)a·b=b·a（交換律）;

(2)（

?

a）·b=

?

（a·b）=

?

a·b=a·（

?

b）;

(3)（a+b）·c=a·c+b·c.

59.平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且

只有一對實數λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．

不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．

60．向量平行的坐標表示

設a=

11

(,)xy,b=

22

(,)xy，且b?0，則a?b(b?0)

1221

0xyxy???.

53.a與b的數量積(或內積)

a·b=|a||b|cosθ．

61.a·b的幾何意義

數量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．

62.平面向量的坐標運算

(1)設a=

11

(,)xy,b=

22

(,)xy，則a+b=

1212

(,)xxyy??.

(2)設a=

11

(,)xy,b=

22

(,)xy，則a-b=

1212

(,)xxyy??.

(3)設A

11

(,)xy，B

22

(,)xy,則

2121

(,)ABOBOAxxyy?????

????????????

.

(4)設a=(,),xyR??，則

?

a=(,)xy??.

(5)設a=

11

(,)xy,b=

22

(,)xy，則a·b=

1212

()xxyy?.

63.兩向量的夾角公式

1212

2222

1122

cos

xxyy

xyxy

?

?

?

???

(a=

11

(,)xy,b=

22

(,)xy).

64.平面兩點間的距離公式

,AB

d=

||ABABAB??

????????????

22

2121

()()xxyy????(A

11

(,)xy，B

22

(,)xy).

65.向量的平行與垂直

設a=

11

(,)xy,b=

22

(,)xy，且b?0，則

A||b?b=λa

1221

0xyxy???.

a

?

b(a?0)?a·b=0

1212

0xxyy???.

66.線段的定比分公式

設

111

(,)Pxy，

222

(,)Pxy，(,)Pxy是線段

12

PP的分點,?是實數，且

12

PPPP??

????????

，則

12

12

1

1

xx

x

yy

y

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?12

1

OPOP

OP

?

?

?

?

?

????????

????

?

12

(1)OPtOPtOP???

????????????

（

1

1

t

?

?

?

）.

67.三角形的重心坐標公式

△ABC三個頂點的坐標分別為

11

A(x,y)、

22

B(x,y)、

33

C(x,y),則△ABC的重心的坐

標是123123(,)

33

xxxyyy

G

????

.

68.點的平移公式

''

''

xxhxxh

yykyyk

??

????

??

?

??

????

??

??

''OPOPPP???

????????

????

.

注:圖形F上的任意一點P(x，y)在平移后圖形'F上的對應點為'''(,)Pxy，且'PP

????

的

坐標為(,)hk.

69.“按向量平移”的幾個結論

（1）點(,)Pxy按向量a=(,)hk平移后得到點'(,)Pxhyk??.

(2)函數()yfx?的圖象

C

按向量a=(,)hk平移后得到圖象'C,則'C的函數解析式

為()yfxhk???.

(3)圖象'C按向量a=(,)hk平移后得到圖象

C

,若

C

的解析式()yfx?,則'C的函數

解析式為()yfxhk???.

(4)曲線

C

:(,)0fxy?按向量a=(,)hk平移后得到圖象'C,則'C的方程為

(,)0fxhyk???.

(5)向量m=(,)xy按向量a=(,)hk平移后得到的向量仍然為m=(,)xy.

70.三角形五“心”向量形式的充要條件

設

O

為

ABC?

所在平面上一點，角,,ABC所對邊長分別為,,abc，則

（1）

O

為

ABC?

的外心

222OAOBOC???

????????????

.

（2）

O

為

ABC?

的重心0OAOBOC????

?????????????

.

（3）

O

為

ABC?

的垂心OAOBOBOCOCOA??????

????????????????????????

.

（4）

O

為

ABC?

的內心0aOAbOBcOC????

?????????????

.

（5）

O

為

ABC?

的

A?

的旁心aOAbOBcOC???

????????????

.

71.常用不等式：

（1）,abR??222abab??(當且僅當a＝b時取“=”號)．

（2）,abR???

2

ab

ab

?

?(當且僅當a＝b時取“=”號)．

（3）3333(0,0,0).abcabcabc??????

（4）柯西不等式

22222()()(),,,,.abcdacbdabcdR?????

（5）bababa?????.

72.極值定理

已知

yx,

都是正數，則有

（1）若積

xy

是定值

p

，則當

yx?

時和

yx?

有最小值p2；

（2）若和

yx?

是定值s，則當

yx?

時積

xy

有最大值2

4

1

s.

推廣已知Ryx?,，則有xyyxyx2)()(22????

（1）若積

xy

是定值,則當||yx?最大時,||yx?最大；

當||yx?最小時,||yx?最小.

（2）若和||yx?是定值,則當||yx?最大時,||xy最??；

當||yx?最小時,||xy最大.

73.一元二次不等式20(0)axbxc????或2(0,40)abac?????，如果a與

2axbxc??同號，則其解集在兩根之外；如果a與2axbxc??異號，則其解集在兩根之

間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間.

121212

()()0()xxxxxxxxx???????；

121212

,()()0()xxxxxxxxxx???????或.

74.含有絕對值的不等式

當a>0時，有

22xaxaaxa???????

.

22xaxaxa?????或xa??.

75.無理不等式

（1）

()0

()()

()0

()()

fx

fxgx

gx

fxgx

?

?

?

??

?

?

?

?

?

.

（2）

2

()0

()0

()()

()0

()0

()[()]

fx

fx

fxgx

gx

gx

fxgx

?

?

?

?

?

??

?

??

?

?

?

?

?

或.

（3）

2

()0

()()

()0

()[()]

fx

fxgx

gx

fxgx

?

?

?

??

?

?

?

?

?

.

76.指數不等式與對數不等式

(1)當

1a?

時,

()()()()fxgxaafxgx???;

()0

log()log()()0

()()

aa

fx

fxgxgx

fxgx

?

?

?

???

?

?

?

?

.

(2)當

01a??

時,

()()()()fxgxaafxgx???;

()0

log()log()()0

()()

aa

fx

fxgxgx

fxgx

?

?

?

???

?

?

?

?

77.斜率公式

21

21

yy

k

xx

?

?

?

（

111

(,)Pxy、

222

(,)Pxy）.

78.直線的五種方程

（1）點斜式

11

()yykxx???(直線

l

過點

111

(,)Pxy，且斜率為

k

)．

（2）斜截式ykxb??(b為直線

l

在y軸上的截距).

（3）兩點式11

2121

yyxx

yyxx

??

?

??

(

12

yy?)(

111

(,)Pxy、

222

(,)Pxy(

12

xx?)).

(4)截距式

1

xy

ab

??(

ab、

分別為直線的橫、縱截距，

0ab?、

)

（5）一般式0AxByC???(其中A、B不同時為0).

79.兩條直線的平行和垂直

(1)若

111

:lykxb??，

222

:lykxb??

①

121212

||,llkkbb???;

②

1212

1llkk????.

(2)若

1111

:0lAxByC???,

2222

:0lAxByC???,且A

1

、A

2

、B

1

、B

2

都不為零,

①111

12

222

||

ABC

ll

ABC

???；

②

121212

0llAABB????；

80.夾角公式

(1)21

21

tan||

1

kk

kk

?

?

?

?

.

(

111

:lykxb??，

222

:lykxb??,

12

1kk??)

(2)1221

1212

tan||

ABAB

AABB

?

?

?

?

.

(

1111

:0lAxByC???,

2222

:0lAxByC???,

1212

0AABB??).

直線

12

ll?時，直線l

1

與l

2

的夾角是

2

?

.

81.

1

l到

2

l的角公式

(1)21

21

tan

1

kk

kk

?

?

?

?

.

(

111

:lykxb??，

222

:lykxb??,

12

1kk??)

(2)1221

1212

tan

ABAB

AABB

?

?

?

?

.

(

1111

:0lAxByC???,

2222

:0lAxByC???,

1212

0AABB??).

直線

12

ll?時，直線l

1

到l

2

的角是

2

?

.

82．四種常用直線系方程

(1)定點直線系方程：經過定點

000

(,)Pxy的直線系方程為

00

()yykxx???(除直線

0

xx?),其中

k

是待定的系數;經過定點

000

(,)Pxy的直線系方程為

00

()()0AxxByy????,其中,AB是待定的系數．

(2)共點直線系方程：經過兩直線

1111

:0lAxByC???,

2222

:0lAxByC???的交點

的直線系方程為

111222

()()0AxByCAxByC???????(除

2

l)，其中λ是待定的系數．

(3)平行直線系方程：直線ykxb??中當斜率k一定而b變動時，表示平行直線

系方程．與直線0AxByC???平行的直線系方程是0AxBy????(

0??

)，λ是

參變量．

(4)垂直直線系方程：與直線0AxByC???(A≠0，B≠0)垂直的直線系方程是

0BxAy????,λ是參變量．

83.點到直線的距離

00

22

||AxByC

d

AB

??

?

?

(點

00

(,)Pxy,直線

l

：0AxByC???).

84.0AxByC???或

0?

所表示的平面區域

設直線:0lAxByC???，則0AxByC???或

0?

所表示的平面區域是：

若

0B?

，當

B

與AxByC??同號時，表示直線

l

的上方的區域；當

B

與AxByC??

異號時，表示直線

l

的下方的區域.簡言之,同號在上,異號在下.

若

0B?

，當

A

與AxByC??同號時，表示直線

l

的右方的區域；當

A

與AxByC??

異號時，表示直線

l

的左方的區域.簡言之,同號在右,異號在左.

85.

111222

()()0AxByCAxByC?????或

0?

所表示的平面區域

設曲線

111222

:()()0CAxByCAxByC?????（

1212

0AABB?），則

111222

()()0AxByCAxByC?????或

0?

所表示的平面區域是：

111222

()()0AxByCAxByC?????所表示的平面區域上下兩部分；

111222

()()0AxByCAxByC?????所表示的平面區域上下兩部分.

86.圓的四種方程

（1）圓的標準方程222()()xaybr????.

（2）圓的一般方程220xyDxEyF?????(224DEF??＞0).

（3）圓的參數方程

cos

sin

xar

ybr

?

?

??

?

?

??

?

.

（4）圓的直徑式方程

1212

()()()()0xxxxyyyy??????(圓的直徑的端點是

11

(,)Axy、

22

(,)Bxy).

87.圓系方程

(1)過點

11

(,)Axy,

22

(,)Bxy的圓系方程是

1212112112

()()()()[()()()()]0xxxxyyyyxxyyyyxx?????????????

1212

()()()()()0xxxxyyyyaxbyc???????????,其中0axbyc???是直線

AB

的方程,λ是待定的系數．

(2)過直線

l

:0AxByC???與圓

C

:220xyDxEyF?????的交點的圓系方程

是22()0xyDxEyFAxByC?????????,λ是待定的系數．

(3)過圓

1

C:22

111

0xyDxEyF?????與圓

2

C:22

222

0xyDxEyF?????的交

點的圓系方程是2222

111222

()0xyDxEyFxyDxEyF???????????,λ是待定的

系數．

88.點與圓的位置關系

點

00

(,)Pxy與圓222)()(rbyax????的位置關系有三種

若22

00

()()daxby????，則

dr??

點

P

在圓外;

dr??

點

P

在圓上;

dr??

點

P

在圓內.

89.直線與圓的位置關系

直線0???CByAx與圓222)()(rbyax????的位置關系有三種:

0?????相離rd;

0?????相切rd;

0?????相交rd.

其中

22BA

CBbAa

d

?

??

?

.

90.兩圓位置關系的判定方法

設兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，dOO?

21

條公切線外離4

21

????rrd;

條公切線外切3

21

????rrd;

條公切線相交2

2121

??????rrdrr;

條公切線內切1

21

????rrd;

無公切線內含?????

21

0rrd.

91.圓的切線方程

(1)已知圓220xyDxEyF?????．

①若已知切點

00

(,)xy在圓上，則切線只有一條，其方程是

00

00

()()

0

22

DxxEyy

xxyyF

??

?????.

當

00

(,)xy圓外時,00

00

()()

0

22

DxxEyy

xxyyF

??

?????表示過兩個切點

的切點弦方程．

②過圓外一點的切線方程可設為

00

()yykxx???，再利用相切條件求k，這時必

有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線．

③斜率為k的切線方程可設為ykxb??，再利用相切條件求b，必有兩條切線．

(2)已知圓222xyr??．

①過圓上的

000

(,)Pxy點的切線方程為2

00

xxyyr??;

②斜率為

k

的圓的切線方程為21ykxrk???.

92.橢圓

22

22

1(0)

xy

ab

ab

????的參數方程是

cos

sin

xa

yb

?

?

?

?

?

?

?

.

93.橢圓

22

22

1(0)

xy

ab

ab

????焦半徑公式

)(

2

1c

a

xePF??，)(

2

2

x

c

a

ePF??.

94．橢圓的的內外部

（1）點

00

(,)Pxy在橢圓

22

22

1(0)

xy

ab

ab

????的內部

22

00

22

1

xy

ab

???.

（2）點

00

(,)Pxy在橢圓

22

22

1(0)

xy

ab

ab

????的外部

22

00

22

1

xy

ab

???.

95.橢圓的切線方程

(1)橢圓

22

22

1(0)

xy

ab

ab

????上一點

00

(,)Pxy處的切線方程是00

22

1

xxyy

ab

??.

（2）過橢圓

22

22

1(0)

xy

ab

ab

????外一點

00

(,)Pxy所引兩條切線的切點弦方程是

00

22

1

xxyy

ab

??.

（3）橢圓

22

22

1(0)

xy

ab

ab

????與直線0AxByC???相切的條件是

22222AaBbc??.

96.雙曲線

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

????的焦半徑公式

2

1

|()|

a

PFex

c

??，

2

2

|()|

a

PFex

c

??.

97.雙曲線的內外部

(1)點

00

(,)Pxy在雙曲線

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

????的內部

22

00

22

1

xy

ab

???.

(2)點

00

(,)Pxy在雙曲線

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

????的外部

22

00

22

1

xy

ab

???.

98.雙曲線的方程與漸近線方程的關系

(1）若雙曲線方程為1

2

2

2

2

??

b

y

a

x

?漸近線方程：

22

22

0

xy

ab

???

x

a

b

y??.

(2)若漸近線方程為x

a

b

y???0??

b

y

a

x

?雙曲線可設為???

2

2

2

2

b

y

a

x

.

(3)若雙曲線與1

2

2

2

2

??

b

y

a

x

有公共漸近線，可設為???

2

2

2

2

b

y

a

x

（

0??

，焦點在x

軸上，

0??

，焦點在y軸上）.

99.雙曲線的切線方程

(1)雙曲線

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

????上一點

00

(,)Pxy處的切線方程是00

22

1

xxyy

ab

??.

（2）過雙曲線

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

????外一點

00

(,)Pxy所引兩條切線的切點弦方程是

00

22

1

xxyy

ab

??.

（3）雙曲線

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

????與直線0AxByC???相切的條件是

22222AaBbc??.

100.拋物線pxy22?的焦半徑公式

拋物線22(0)ypxp??焦半徑

02

p

CFx??.

過焦點弦長

pxx

p

x

p

xCD???????

212122

.

101.拋物線pxy22?上的動點可設為P),

2

(

2

?

?y

p

y

或或)2,2(2ptptPP(,)xy

??

，其中

22ypx?

??

.

102.二次函數

2

22

4

()

24

bacb

yaxbxcax

aa

?

??????

(0)a?的圖象是拋物線：（1）頂

點坐標為

24

(,)

24

bacb

aa

?

?；（2）焦點的坐標為

241

(,)

24

bacb

aa

??

?；（3）準線方程是

241

4

acb

y

a

??

?.

103.拋物線的內外部

(1)點

00

(,)Pxy在拋物線22(0)ypxp??的內部22(0)ypxp???.

點

00

(,)Pxy在拋物線22(0)ypxp??的外部22(0)ypxp???.

(2)點

00

(,)Pxy在拋物線22(0)ypxp???的內部22(0)ypxp????.

點

00

(,)Pxy在拋物線22(0)ypxp???的外部22(0)ypxp????.

(3)點

00

(,)Pxy在拋物線22(0)xpyp??的內部22(0)xpyp???.

點

00

(,)Pxy在拋物線22(0)xpyp??的外部22(0)xpyp???.

(4)點

00

(,)Pxy在拋物線22(0)xpyp??的內部22(0)xpyp???.

點

00

(,)Pxy在拋物線22(0)xpyp???的外部22(0)xpyp????.

104.拋物線的切線方程

(1)拋物線pxy22?上一點

00

(,)Pxy處的切線方程是

00

()yypxx??.

（2）過拋物線pxy22?外一點

00

(,)Pxy所引兩條切線的切點弦方程是

00

()yypxx??.

（3）拋物線22(0)ypxp??與直線0AxByC???相切的條件是22pBAC?.

105.兩個常見的曲線系方程

(1)過曲線

1

(,)0fxy?,

2

(,)0fxy?的交點的曲線系方程是

12

(,)(,)0fxyfxy???(?為參數).

(2)共焦點的有心圓錐曲線系方程

22

22

1

xy

akbk

??

??

,其中22max{,}kab?.當

22min{,}kab?時,表示橢圓;當2222min{,}max{,}abkab??時,表示雙曲線.

106.直線與圓錐曲線相交的弦長公式22

1212

()()ABxxyy????或

2222

211212

(1)()||1tan||1tABkxxxxyyco???????????（弦端點

A),(),,(

2211

yxByx，由方程

?

?

?

?

??

0)y,x(F

bkxy

消去y得到02???cbxax，

0??

,?為直線

AB

的傾斜角，k為直線的斜率）.

107.圓錐曲線的兩類對稱問題

（1）曲線(,)0Fxy?關于點

00

(,)Pxy成中心對稱的曲線是

00

(2-,2)0Fxxyy??.

（2）曲線(,)0Fxy?關于直線0AxByC???成軸對稱的曲線是

2222

2()2()

(,)0

AAxByCBAxByC

Fxy

ABAB

????

???

??

.

108.“四線”一方程

對于一般的二次曲線220AxBxyCyDxEyF??????，用

0

xx代2x，用

0

yy代2y，

用00

2

xyxy?

代

xy

，用0

2

xx?

代x，用0

2

yy?

代

y

即得方程

0000

00

0

222

xyxyxxyy

AxxBCyyDEF

???

?????????，曲線的切線，切點弦，中點

弦，弦中點方程均是此方程得到.

109．證明直線與直線的平行的思考途徑

（1）轉化為判定共面二直線無交點；

（2）轉化為二直線同與第三條直線平行；

（3）轉化為線面平行；

（4）轉化為線面垂直；

（5）轉化為面面平行.

110．證明直線與平面的平行的思考途徑

（1）轉化為直線與平面無公共點；

（2）轉化為線線平行；

（3）轉化為面面平行.

111．證明平面與平面平行的思考途徑

（1）轉化為判定二平面無公共點；

（2）轉化為線面平行；

（3）轉化為線面垂直.

112．證明直線與直線的垂直的思考途徑

（1）轉化為相交垂直；

（2）轉化為線面垂直；

（3）轉化為線與另一線的射影垂直；

（4）轉化為線與形成射影的斜線垂直.

113．證明直線與平面垂直的思考途徑

（1）轉化為該直線與平面內任一直線垂直；

（2）轉化為該直線與平面內相交二直線垂直；

（3）轉化為該直線與平面的一條垂線平行；

（4）轉化為該直線垂直于另一個平行平面；

（5）轉化為該直線與兩個垂直平面的交線垂直.

114．證明平面與平面的垂直的思考途徑

（1）轉化為判斷二面角是直二面角；

（2）轉化為線面垂直.

115.空間向量的加法與數乘向量運算的運算律

(1)加法交換律：a＋b=b＋a．

(2)加法結合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．

(3)數乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．

116.平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣

始點相同且不在同一個平面內的三個向量之和，等于以這三個向量為棱的平行六面體的

以公共始點為始點的對角線所表示的向量.

117.共線向量定理

對空間任意兩個向量a、b(b≠0)，a∥b?存在實數λ使a=λb．

PAB、、

三點共線?||APAB?APtAB?

????????

?(1)OPtOAtOB???

????????????

.

||ABCD?AB

????

、CD

????

共線且

ABCD、

不共線?ABtCD?

????????

且

ABCD、

不共線.

118.共面向量定理

向量p與兩個不共線的向量a、b共面的?存在實數對

,xy

,使paxby??．

推論空間一點P位于平面MAB內的?存在有序實數對

,xy

,使MPxMAyMB??

????????????

，

或對空間任一定點O，有序實數對

,xy

，使OPOMxMAyMB???

?????????????????

.

119.對空間任一點

O

和不共線的三點A、B、C，滿足OPxOAyOBzOC???

????????????????

（xyzk???），則當

1k?

時，對于空間任一點

O

，總有P、A、B、C四點共面；當

1k?

時，若

O?

平面ABC，則P、A、B、C四點共面；若

O?

平面ABC，則P、A、B、C四點不共

面．

CAB、、、D

四點共面?AD

????

與AB

????

、AC

????

共面?ADxAByAC??

????????????

?

(1)ODxyOAxOByOC?????

????????????????

（

O?

平面ABC）.

120.空間向量基本定理

如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序實數組x，

y，z，使p＝xa＋yb＋zc．

推論設O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的三個有序實

數x，y，z，使OPxOAyOBzOC???

????????????????

.

121.射影公式

已知向量AB

????

=a和軸

l

，e是

l

上與

l

同方向的單位向量.作A點在

l

上的射影'A，作B

點在

l

上的射影'B，則

''||cosABAB?

????

〈a，e〉=a·e

122.向量的直角坐標運算

設a＝

123

(,,)aaa，b＝

123

(,,)bbb則

(1)a＋b＝

112233

(,,)ababab???；

(2)a－b＝

112233

(,,)ababab???；

(3)λa＝

123

(,,)aaa???(λ∈R)；

(4)a·b＝

112233

ababab??；

123.設A

111

(,,)xyz，B

222

(,,)xyz，則

ABOBOA??

????????????

=

212121

(,,)xxyyzz???.

124．空間的線線平行或垂直

設

111

(,,)axyz?

r

，

222

(,,)bxyz?

r

，則

ab

rr

P?(0)abb???

rrrr

?

12

12

12

xx

yy

zz

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

；

ab?

rr

?0ab??

rr

?

121212

0xxyyzz???.

125.夾角公式

設a＝

123

(,,)aaa，b＝

123

(,,)bbb，則

cos〈a，b〉=112233

222222

123123

ababab

aaabbb

??

????

.

推論2222222

3

()()()abababaaabbb???????，此即三維柯西不等式.

126.四面體的對棱所成的角

四面體

ABCD

中,

AC

與

BD

所成的角為

?

,則

2222|()()|

cos

2

ABCDBCDA

ACBD

?

???

?

?

.

127．異面直線所成角

cos|cos,|ab??

rr

=121212

222222

111222

||

||

||||

xxyyzz

ab

ab

xyzxyz

??

?

?

?

?????

rr

rr

（其中

?

（090???oo）為異面直線

ab,

所成角，,ab

rr

分別表示異面直線

ab,

的方向向量）

128.直線

AB

與平面所成角

sin

||||

ABm

arc

ABm

?

?

?

??????

??????(m

??

為平面?的法向量).

129.若

ABC?

所在平面若?與過若

AB

的平面?成的角

?

,另兩邊

AC

,

BC

與平面

?成的角分別是

1

?、

2

?,

AB、

為

ABC?

的兩個內角，則

22222

12

sinsin(sinsin)sinAB??????.

特別地,當90ACB???時,有

222

12

sinsinsin?????.

130.若

ABC?

所在平面若?與過若

AB

的平面?成的角

?

,另兩邊

AC

,

BC

與平面?

成的角分別是

1

?、

2

?,''AB、為

ABO?

的兩個內角，則

222'2'2

12

tantan(sinsin)tanAB??????.

特別地,當90AOB???時,有

222

12

sinsinsin?????.

131.二面角l????的平面角

cos

||||

mn

arc

mn

?

?

?

???

???或cos

||||

mn

arc

mn

?

?

?

???

???（m

??

，n

?

為平面?，?的法向量）.

132.三余弦定理

設AC是α內的任一條直線，且BC⊥AC，垂足為C，又設AO與AB所成的角為

1

?，AB與

AC所成的角為

2

?，AO與AC所成的角為?．則

12

coscoscos????.

133.三射線定理

若夾在平面角為

?

的二面角間的線段與二面角的兩個半平面所成的角是

1

?,

2

?,與二面

角的棱所成的角是θ，則有2222

1212

sinsinsinsin2sinsincos??????????;

1212

||180()???????????(當且僅當90???時等號成立).

134.空間兩點間的距離公式

若A

111

(,,)xyz，B

222

(,,)xyz，則

,AB

d=

||ABABAB??

????????????

222

212121

()()()xxyyzz??????.

135.點Q到直線

l

距離

22

1

(||||)()

||

habab

a

???(點

P

在直線

l

上，直線

l

的方向向量a=PA

????

，向量

b=PQ

????

).

136.異面直線間的距離

||

||

CDn

d

n

?

?

???????

?(

12

,ll是兩異面直線，其公垂向量為n

?

，

CD、

分別是

12

,ll上任一點，

d

為

12

,ll間的距離).

137.點

B

到平面?的距離

||

||

ABn

d

n

?

?

???????

?（n

?

為平面?的法向量，

AB

是經過面?的一條斜線，

A??

）.

138.異面直線上兩點距離公式

2222cosdhmnmn?????.

222'2cos,dhmnmnEAAF????

????

????

.

2222cosdhmnmn?????

（'EAAF????）.

(兩條異面直線a、b所成的角為θ，其公垂線段'AA的長度為h.在直線a、b上分別取兩

點E、F，'AEm?,

AFn?

,

EFd?

).

139.三個向量和的平方公式

222

2()222abcabcabbcca???????????

????????????

2222||||cos,2||||cos,2||||cos,abcababbcbccaca?????????

???????????????

140.長度為

l

的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為

123

lll、、，夾角分

別為

123

???、、,則有

2222

123

llll???222

123

coscoscos1???????222

123

sinsinsin2???????.

（立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例）.

141.面積射影定理

'

cos

S

S

?

?.

(平面多邊形及其射影的面積分別是

S

、'S，它們所在平面所成銳二面角的為?).

142.斜棱柱的直截面

已知斜棱柱的側棱長是

l

,側面積和體積分別是S

斜棱柱側

和V

斜棱柱

,它的直截面的周長和

面積分別是

1

c和

1

S,則

①

1

Scl?

斜棱柱側

.

②

1

VSl?

斜棱柱

.

143．作截面的依據

三個平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線交于一點或互相平行.

144．棱錐的平行截面的性質

如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積

的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比（對應角相等，對應邊對應成比例的多邊形是相

似多邊形，相似多邊形面積的比等于對應邊的比的平方）；相應小棱錐與小棱錐的側面積的

比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比．

145.歐拉定理(歐拉公式)

2VFE???

(簡單多面體的頂點數V、棱數E和面數F).

（1）

E

=各面多邊形邊數和的一半.特別地,若每個面的邊數為n的多邊形，則面數F

與棱數E的關系：

1

2

EnF?；

（2）若每個頂點引出的棱數為m，則頂點數V與棱數E的關系：

1

2

EmV?.

146.球的半徑是R，則

其體積3

4

3

VR??,

其表面積24SR??．

147.球的組合體

(1)球與長方體的組合體:

長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.

(2)球與正方體的組合體:

正方體的內切球的直徑是正方體的棱長,正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線

長,正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.

(3)球與正四面體的組合體:

棱長為a的正四面體的內切球的半徑為

6

12

a,外接球的半徑為

6

4

a.

148．柱體、錐體的體積

1

3

VSh?

柱體

（

S

是柱體的底面積、

h

是柱體的高）.

1

3

VSh?

錐體

（

S

是錐體的底面積、

h

是錐體的高）.

149.分類計數原理（加法原理）

12n

Nmmm?????.

150.分步計數原理（乘法原理）

12n

Nmmm?????.

151.排列數公式

m

n

A=)1()1(???mnnn?=

！

！

)(mn

n

?

.(n，m∈N*，且

mn?

)．

注:規定

1!0?

.

152.排列恒等式

(1）1(1)mm

nn

AnmA????;

（2）

1

mm

nn

n

AA

nm?

?

?

;

（3）1

1

mm

nn

AnA?

?

?;

（4）1

1

nnn

nnn

nAAA?

?

??;

（5）1

1

mmm

nnn

AAmA?

?

??.

(6)1!22!33!!(1)!1nnn???????????.

153.組合數公式

m

n

C=

m

n

m

m

A

A

=

m

mnnn

???

???

?

?

21

)1()1(

=

！！

！

)(mnm

n

??

(n∈N*，

mN?

，且

mn?

).

154.組合數的兩個性質

(1)m

n

C=mn

n

C?;

(2)m

n

C+1?m

n

C=m

n

C

1?

.

注:規定10?

n

C.

155.組合恒等式

（1）1

1

mm

nn

nm

CC

m

?

??

?;

（2）

1

mm

nn

n

CC

nm?

?

?

;

（3）1

1

mm

nn

n

CC

m

?

?

?;

（4）?

?

n

r

r

n

C

0

=n2;

（5）1

121

?

???

?????r

n

r

n

r

r

r

r

r

r

CCCCC?.

(6)nn

n

r

nnnn

CCCCC2210?????????.

(7)14205312????????n

nnnnnn

CCCCCC??.

(8)1321232??????nn

nnnn

nnCCCC?.

(9)r

nm

r

n

r

mn

r

mn

r

m

CCCCCCC

?

?????0110?.

(10)n

n

n

nnnn

CCCCC

2

2222120)()()()(??????.

156.排列數與組合數的關系

mm

nn

AmC??！.

157．單條件排列

以下各條的大前提是從n個元素中取m個元素的排列.

（1）“在位”與“不在位”

①某（特）元必在某位有1

1

?

?

m

n

A種；②某（特）元不在某位有1

1

?

?

?m

n

m

n

AA（補集思想）

1

1

1

1

?

??

?m

nn

AA（著眼位置）1

1

1

11

?

???

??m

nm

m

n

AAA（著眼元素）種.

（2）緊貼與插空（即相鄰與不相鄰）

①定位緊貼：)(nmkk??個元在固定位的排列有km

kn

k

k

AA?

?

種.

②浮動緊貼：n個元素的全排列把k個元排在一起的排法有k

k

kn

kn

AA1

1

??

??

種.注：此類問題

常用捆綁法；

③插空：兩組元素分別有k、h個（

1??hk

），把它們合在一起來作全排列，k個的一

組互不能挨近的所有排列數有k

h

h

h

AA

1?

種.

（3）兩組元素各相同的插空

m個大球n個小球排成一列，小球必分開，問有多少種排法？

當

1??mn

時，無解；當

1??mn

時，有n

m

n

n

n

mC

A

A

1

1

?

??種排法.

（4）兩組相同元素的排列：兩組元素有m個和n個，各組元素分別相同的排列數為n

nm

C

?

.

158．分配問題

（1）(平均分組有歸屬問題)將相異的m、n個物件等分給m個人，各得n件，其分配

方法數共有

m

n

n

n

n

n

nmn

n

nmn

n

mnn

mn

CCCCCN

)!(

)!(

22

???????

??

?.

（2）(平均分組無歸屬問題)將相異的m·n個物體等分為無記號或無順序的m堆，其

分配方法數共有

m

n

n

n

n

n

nmn

n

nmn

n

mn

nm

mn

m

CCCCC

N

)!(!

)!(

!

...

22?

????

???.

（3）(非平均分組有歸屬問題)將相異的)?

12m

P(P=n+n++n個物體分給m個人，物件

必須被分完，分別得到

1

n，

2

n，?，

m

n件，且

1

n，

2

n，?，

m

n這m個數彼此不相等，則

其分配方法數共有

!!...!

!!

!...

21

2

1

1

m

n

n

n

np

n

pnnn

mp

mCCCNm

m

????

?

.

（4）(非完全平均分組有歸屬問題)將相異的)?

12m

P(P=n+n++n個物體分給m個人，

物件必須被分完，分別得到

1

n，

2

n，?，

m

n件，且

1

n，

2

n，?，

m

n這m個數中分別有a、

b、c、?個相等，則其分配方法數有

!...!!

!...2

1

1

cba

mCCC

Nm

m

n

n

n

np

n

p

??

??

12

!!

!!...!(!!!...)

m

pm

nnnabc

?.

（5）(非平均分組無歸屬問題)將相異的)?

12m

P(P=n+n++n個物體分為任意的

1

n，

2

n，?，

m

n件無記號的m堆，且

1

n，

2

n，?，

m

n這m個數彼此不相等，則其分配方法數

有

!!...!

!

21m

nnn

p

N?.

（6）(非完全平均分組無歸屬問題)將相異的)?

12m

P(P=n+n++n個物體分為任意的

1

n，

2

n，?，

m

n件無記號的m堆，且

1

n，

2

n，?，

m

n這m個數中分別有a、b、c、?個相等，

則其分配方法數有

!...)!!(!!...!

!

21

cbannn

p

N

m

?.

（7）(限定分組有歸屬問題)將相異的

p

（

2m

pnnn??

1

+++）個物體分給甲、乙、丙，??

等m個人，物體必須被分完，如果指定甲得

1

n件，乙得

2

n件，丙得

3

n件，?時，則無論

1

n，

2

n，?，

m

n等m個數是否全相異或不全相異其分配方法數恒有

!!...!

!

...

21

2

1

1

m

n

n

n

np

n

pnnn

p

CCCNm

m

???

?

.

159．“錯位問題”及其推廣

貝努利裝錯箋問題:信n封信與n個信封全部錯位的組合數為

1111

()![(1)]

2!3!4!!

nfnn

n

???????.

推廣:n個元素與n個位置,其中至少有m個元素錯位的不同組合總數為

1234(,)!(1)!(2)!(3)!(4)!

(1)()!(1)()!

mmmm

ppmm

mm

fnmnCnCnCnCn

CnpCnm

?????????

??????????

1234

1224

![1(1)(1)]

pm

pm

mmmmmm

pm

nnnnnn

CCCCCC

n

AAAAAA

?????????????.

160．不定方程

2n

xxxm??

1

+++的解的個數

(1)方程

2n

xxxm??

1

+++（,nmN??）的正整數解有

1

1

m

nC

?

?個.

(2)方程

2n

xxxm??

1

+++（,nmN??）的非負整數解有

1

1

nm

nC

??

?個.

(3)方程

2n

xxxm??

1

+++（,nmN??）滿足條件

i

xk?(kN??,

21in???

)

的非負整數解有

1

1

(2)(1)

m

n

nk

C

?

?

???

個.

(4)方程

2n

xxxm??

1

+++（,nmN??）滿足條件

i

xk?(kN??,

21in???

)

的正整數解有

12222321(2)

11121221(1)

nmnmnknmnknmnk

nnnnnnCCCCCCC

??????????????

????????????個.

161.二項式定理

nn

n

rrnr

n

n

n

n

n

n

n

nbCbaCbaCbaCaCba?????????????222110)(;

二項展開式的通項公式

rrnr

nr

baCT?

?

?

1

)210(nr，，，??.

162.等可能性事件的概率

()

m

PA

n

?.

163.互斥事件A，B分別發生的概率的和

P(A＋B)=P(A)＋P(B)．

164.n個互斥事件分別發生的概率的和

P(A

1

＋A

2

＋?＋A

n

)=P(A

1

)＋P(A

2

)＋?＋P(A

n

)．

165.獨立事件A，B同時發生的概率

P(A·B)=P(A)·P(B).

166.n個獨立事件同時發生的概率

P(A

1

·A

2

·?·A

n

)=P(A

1

)·P(A

2

)·?·P(A

n

)．

167.n次獨立重復試驗中某事件恰好發生k次的概率

()(1).kknk

nn

PkCPP???

168.離散型隨機變量的分布列的兩個性質

（1）0(1,2,)

i

Pi???;

（2）

12

1PP????.

169.數學期望

1122nn

ExPxPxP????????

170.數學期望的性質

（1）()()EabaEb?????.

（2）若?～(,)Bnp,則Enp??.

(3)若?服從幾何分布,且1()(,)kPkgkpqp?????，則

1

E

p

??.

171.方差

??????222

1122nn

DxEpxEpxEp?????????????????

172.標準差

??=?D.

173.方差的性質

(1)??2DabaD????；

(2）若?～(,)Bnp，則(1)Dnpp???.

(3)若?服從幾何分布,且1()(,)kPkgkpqp?????，則

2

q

D

p

??.

174.方差與期望的關系

??2

2DEE?????

.

175.正態分布密度函數

??

??

??2

226

1

,,

26

x

fxex

?

?

?

?

??????，式中的實數μ，?（?>0）是參數，分別表

示個體的平均數與標準差.

176.標準正態分布密度函數

????2

2

1

,,

26

x

fxex

?

???????.

177.對于2(,)N??，取值小于x的概率

??

x

Fx

?

?

?

??

??

??

??

.

??????

12201

xxPxxPxxxP??????

????

21

FxFx??

21

xx??

??

??

????

????

????

????

.

178.回歸直線方程

?

yabx??，其中

????

??

11

2

22

11

nn

iiii

ii

nn

ii

ii

xxyyxynxy

b

xxxnx

aybx

??

??

?

???

?

?

??

?

??

?

?

??

?