人教版數學

人教版高中數學知識點（必修＋選修）

高中數學必修1知識點

第一章集合與函數概念

【1.1.1】集合的含義與表示

（1）集合的概念

集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.

（2）常用數集及其記法

N表示自然數集，N?或N

?

表示正整數集，Z表示整數集，Q表示有理數集，R表示實數集.

（3）集合與元素間的關系

對象a與集合M的關系是aM?，或者aM?，兩者必居其一.

（4）集合的表示法

①自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合.

②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內表示集合.

③描述法：{x|x具有的性質}，其中x為集合的代表元素.

④圖示法：用數軸或韋恩圖來表示集合.

（5）集合的分類

①含有有限個元素的集合叫做有限集.②含有無限個元素的集合叫做無限集.③不含有任何元素的集合

叫做空集(?).

【1.1.2】集合間的基本關系

（6）子集、真子集、集合相等

名稱記號意義性質示意圖

子集

BA?

（或

)AB?

A中的任一元素都屬

于B

(1)A?A

(2)A??

(3)若BA?且BC?，則AC?

(4)若BA?且BA?，則AB?

A(B)

或

BA

真子集

A

?

?B

（或

B

?

?A）

BA?，且B中至

少有一元素不屬于A

（1）A

?

??（A為非空子集）

(2)若AB

?

?且BC

?

?，則AC

?

?BA

集合

相等

AB?

A中的任一元素都屬

于B，B中的任一元

素都屬于A

(1)A?B

(2)B?A

A(B)

（7）已知集合A有(1)nn?個元素，則它有2n

個子集，它有21n?個真子集，它有21n?個非空子

集，它有22n?非空真子集.

【1.1.3】集合的基本運算

（8）交集、并集、補集

名稱記號意義性質示意圖

交集

AB

{|,xxA?且

}xB?

（1）AAA?

（2）A???

（3）ABA?

ABB?

BA

并集

AB

{|,xxA?或

}xB?

（1）AAA?

（2）AA??

（3）ABA?

ABB?

B

A

補集

U

A

{|,}xxUxA??且

1

()

U

AA??

2()

U

AAU?

【補充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法

（1）含絕對值的不等式的解法

不等式解集

||(0)xaa??{|}xaxa???

||(0)xaa??|xxa??或}xa?

||,||(0)axbcaxbcc?????

把axb?看成一個整體，化成||xa?，

||(0)xaa??型不等式來求解

（2）一元二次不等式的解法

判別式

24bac???

0??0??0??

二次函數

2(0)yaxbxca????

的圖象

O

一元二次方程

20(0)axbxca????

的根

2

1,2

4

2

bbac

x

a

???

?

（其中

12

)xx?

122

b

xx

a

???無實根

()()()

UUU

ABAB?

()()()

UUU

ABAB?

20(0)axbxca????

的解集

1

{|xxx?或

2

}xx?

{|x}

2

b

x

a

??

R

20(0)axbxca????

的解集

12

{|}xxxx??

??

〖1.2〗函數及其表示

【1.2.1】函數的概念

（1）函數的概念

①設A、B是兩個非空的數集，如果按照某種對應法則f，對于集合A中任何一個數x，在集合

B中都有唯一確定的數()fx和它對應，那么這樣的對應（包括集合A，B以及A到B的對應法

則f）叫做集合A到B的一個函數，記作:fAB?．

②函數的三要素:定義域、值域和對應法則．

③只有定義域相同，且對應法則也相同的兩個函數才是同一函數．

（2）區間的概念及表示法

①設,ab是兩個實數，且ab?，滿足axb??的實數x的集合叫做閉區間，記做[,]ab；滿足

axb??的實數x的集合叫做開區間，記做(,)ab；滿足axb??，或axb??的實數x的

集合叫做半開半閉區間，分別記做[,)ab，(,]ab；滿足,,,xaxaxbxb????的實數x的

集合分別記做[,),(,),(,],(,)aabb????????．

注意：對于集合{|}xaxb??與區間(,)ab，前者a可以大于或等于b，而后者必須

ab?．

（3）求函數的定義域時，一般遵循以下原則：

①()fx是整式時，定義域是全體實數．

②()fx是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數．

③()fx是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合．

④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1．

⑤tanyx?中，()

2

xkkZ

?

????．

⑥零（負）指數冪的底數不能為零．

⑦若()fx是由有限個基本初等函數的四則運算而合成的函數時，則其定義域一般是各基本初等函數

的定義域的交集．

⑧對于求復合函數定義域問題，一般步驟是：若已知()fx的定義域為[,]ab，其復合函數

[()]fgx的定義域應由不等式()agxb??解出．

⑨對于含字母參數的函數，求其定義域，根據問題具體情況需對字母參數進行分類討論．

⑩由實際問題確定的函數，其定義域除使函數有意義外，還要符合問題的實際意義．

（4）求函數的值域或最值

求函數最值的常用方法和求函數值域的方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個

最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的，只是

提問的角度不同．求函數值域與最值的常用方法：

①觀察法：對于比較簡單的函數，我們可以通過觀察直接得到值域或最值．

②配方法：將函數解析式化成含有自變量的平方式與常數的和，然后根據變量的取值范圍確定函數

的值域或最值．

③判別式法：若函數()yfx?可以化成一個系數含有y的關于x的二次方程

2()()()0ayxbyxcy???，則在()0ay?時，由于,xy為實數，故必須有

2()4()()0byaycy?????，從而確定函數的值域或最值．

④不等式法：利用基本不等式確定函數的值域或最值．

⑤換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數函數的最值問題轉化為

三角函數的最值問題．

⑥反函數法：利用函數和它的反函數的定義域與值域的互逆關系確定函數的值域或最值．

⑦數形結合法：利用函數圖象或幾何方法確定函數的值域或最值．

⑧函數的單調性法．

【1.2.2】函數的表示法

（5）函數的表示方法

表示函數的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種．

解析法：就是用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系．列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間

的對應關系．圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系．

（6）映射的概念

①設A、B是兩個集合，如果按照某種對應法則f，對于集合A中任何一個元素，在集合B中都

有唯一的元素和它對應，那么這樣的對應（包括集合A，B以及A到B的對應法則f）叫做集合

A到B的映射，記作:fAB?．

②給定一個集合A到集合B的映射，且,aAbB??．如果元素a和元素b對應，那么我們把元

素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．

〖1.3〗函數的基本性質

【1.3.1】單調性與最大（小）值

（1）函數的單調性

①定義及判定方法

函數的

性質

定義圖象判定方法

y

xo

函數的

單調性

如果對于屬于定義域I內某

個區間上的任意兩個自變量

的值x1、x2,當x

．1

．

．．2

．

時，都

有f(x

．．．1

．

)

．．．．．2

．

)

．

，那么就說

f(x)在這個區間上是增函

．．

數

．

．x

1

x

2

y=f(X)

x

y

f(x)

1

f(x)

2

o

（1）利用定義

（2）利用已知函數的

單調性

（3）利用函數圖象

（在某個區間圖

象上升為增）

（4）利用復合函數

如果對于屬于定義域I內某

個區間上的任意兩個自變量

的值x1、x2，當x

．1

．

．．2

．

時，

都有f(x

．．．1

．

)>f(x

．．．．．2

．

)

．

，那么就說

f(x)在這個區間上是減函

．．

數

．

．

y=f(X)y

x

o

xx

2

f(x)

f(x)2

1

1

（1）利用定義

（2）利用已知函數的

單調性

（3）利用函數圖象

（在某個區間圖

象下降為減）

（4）利用復合函數

②在公共定義域內，兩個增函數的和是增函數，兩個減函數的和是減函數，增函數減去一個減函數

為增函數，減函數減去一個增函數為減函數．

③對于復合函數[()]yfgx?，令()ugx?，若()yfu?為增，()ugx?為增，則

[()]yfgx?為增；若()yfu?為減，()ugx?為減，則[()]yfgx?為增；若()yfu?

為增，()ugx?為減，則[()]yfgx?為減；若()yfu?為減，()ugx?為增，則

[()]yfgx?為減．

（2）打“√”函數()(0)

a

fxxa

x

???的圖象與性質

()fx分別在(,]a???、[,)a??上為增函數，分別在

[,0)a?、(0,]a上為減函數．

（3）最大（小）值定義

①一般地，設函數()yfx?的定義域為I，如果存在實數M滿足：（1）對于任意的

xI?，都有()fxM?；

（2）存在

0

xI?，使得

0

()fxM?．那么，我們稱M是函數()fx

的最大值，記作

max

()fxM?．

②一般地，設函數()yfx?的定義域為I，如果存在實數m滿足：（1）對于任意的

xI?，都有()fxm?；（2）存在

0

xI?，使得

0

()fxm?．那么，我們稱m是函數()fx的

最小值，記作

max

()fxm?．

【1.3.2】奇偶性

（4）函數的奇偶性

①定義及判定方法

函數的

性質

定義圖象判定方法

函數的

奇偶性

如果對于函數f(x)定義域內

任意一個x，都有f(

．．

－

．

x)=

．．．

－

．

f(x)

．．．．

,那么函數f(x)叫做奇函

．．

數

．

．

（1）利用定義（要先

判斷定義域是否關于

原點對稱）

（2）利用圖象（圖象

關于原點對稱）

如果對于函數f(x)定義域內

任意一個x，都有f(

．．

－

．

x)=

．．．

f(x)

．．．．

,那么函數f(x)叫做

偶函數

．．．

．

（1）利用定義（要先

判斷定義域是否關于

原點對稱）

（2）利用圖象（圖象

關于y軸對稱）

②若函數()fx為奇函數，且在0x?處有定義，則(0)0f?．

③奇函數在y軸兩側相對稱的區間增減性相同，偶函數在y軸兩側相對稱的區間增減性相反．

④在公共定義域內，兩個偶函數（或奇函數）的和（或差）仍是偶函數（或奇函數），兩個偶函數

（或奇函數）的積（或商）是偶函數，一個偶函數與一個奇函數的積（或商）是奇函數．

〖補充知識〗函數的圖象

（1）作圖

利用描點法作圖：

①確定函數的定義域；②化解函數解析式；

③討論函數的性質（奇偶性、單調性）；④畫出函數的圖象．

利用基本函數圖象的變換作圖：

要準確記憶一次函數、二次函數、反比例函數、指數函數、對數函數、冪函數、三角函數等各種基本

初等函數的圖象．

①平移變換

0,

0,|

()()hh

hh

yfxyfxh?

?

???????????左移個單位

右移|個單位

0,

0,|

()()kk

kk

yfxyfxk?

?

???????????上移個單位

下移|個單位

②伸縮變換

01,

1,

()()yfxyfx

?

?

???

?

???????伸

縮

01,

1,

()()A

A

yfxyAfx??

?

???????縮

伸

③對稱變換

()()xyfxyfx???????軸

()()

yyfxyfx???????軸

()()yfxyfx????????原點

1()()yxyfxyfx?????????直線

()(||)y

yy

yfxyfx??????????????????去掉軸左邊圖象

保留軸右邊圖象，并作其關于軸對稱圖象

()|()|x

x

yfxyfx????????????保留軸上方圖象

將軸下方圖象翻折上去

（2）識圖

對于給定函數的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數的定義

域、值域、單調性、奇偶性，注意圖象與函數解析式中參數的關系．

（3）用圖

函數圖象形象地顯示了函數的性質，為研究數量關系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途

徑，獲得問題結果的重要工具．要重視數形結合解題的思想方法．

第二章基本初等函數(Ⅰ)

〖2.1〗指數函數

【2.1.1】指數與指數冪的運算

（1）根式的概念

①如果,,,1nxaaRxRn????，且nN

?

?，那么x叫做a的n次方根．當n是奇數

時，a的n次方根用符號

na表示；當n是偶數時，正數a的正的n次方根用符號

na表示，負的

n次方根用符號

na?表示；0的n次方根是0；負數a沒有n次方根．

②式子

na叫做根式，這里n叫做根指數，a叫做被開方數．當n為奇數時，a為任意實數；

當n為偶數時，0a?．

③根式的性質：()n

naa?；當n為奇數時，

n

naa?；當n為偶數時，

(0)

||

(0)

n

n

aa

aa

aa

?

?

??

?

??

?

．

（2）分數指數冪的概念

①正數的正分數指數冪的意義是：(0,,,

m

n

m

naaamnN

?

???且1)n?．0的正分數指數

冪等于0．

②正數的負分數指數冪的意義是：

11

()()(0,,,

mm

m

nn

naamnN

aa

?

?

????且1)n?．0

的負分數指數冪沒有意義．注意口訣：底數取倒數，指數取相反數．

（3）分數指數冪的運算性質

①(0,,)rsrsaaaarsR?????②()(0,,)rsrsaaarsR???

③()(0,0,)rrrabababrR????

【2.1.2】指數函數及其性質

（4）指數函數

函數名稱指數函數

定義

函數(0xyaa??且1)a?叫做指數函數

圖象

1a?01a??

定義域R

xay?

x

y

(0,1)

O

1y?

xay?

x

y

(0,1)

O

1y?

值域(0,)??

過定點圖象過定點(0,1)，即當0x?時，1y?．

奇偶性非奇非偶

單調性

在R上是增函數在R上是減函數

函數值的

變化情況

1(0)

1(0)

1(0)

x

x

x

ax

ax

ax

??

??

??

1(0)

1(0)

1(0)

x

x

x

ax

ax

ax

??

??

??

a變化對圖象的

影響

在第一象限內，a越大圖象越高；在第二象限內，a越大圖象越低．

〖2.2〗對數函數

【2.2.1】對數與對數運算

（1）對數的定義

①若(0,1)xaNaa???且，則x叫做以a為底N的對數，記作log

a

xN?，其中a叫做底

數，N叫做真數．

②負數和零沒有對數．

③對數式與指數式的互化：log(0,1,0)x

a

xNaNaaN??????．

（2）幾個重要的對數恒等式

log10

a

?，log1

a

a?，logb

a

ab?．

（3）常用對數與自然對數

常用對數：lgN，即

10

logN；自然對數：lnN，即log

e

N（其中2.71828e?…）．

（4）對數的運算性質如果0,1,0,0aaMN????，那么

①加法：logloglog()

aaa

MNMN??②減法：logloglog

aaa

M

MN

N

??

③數乘：loglog()n

aa

nMMnR??④

log

a

NaN?

⑤loglog(0,)

b

n

a

a

n

MMbnR

b

???⑥換底公式：

log

log(0,1)

log

b

a

b

N

Nbb

a

???且

【2.2.2】對數函數及其性質

（5）對數函數

函數

名稱

對數函數

定義

函數log(0

a

yxa??且1)a?叫做對數函數

圖象1a?01a??

定義域(0,)??

值域R

過定點圖象過定點(1,0)，即當1x?時，0y?．

奇偶性非奇非偶

單調性

在(0,)??上是增函數在(0,)??上是減函數

函數值的

變化情況

log0(1)

log0(1)

log0(01)

a

a

a

xx

xx

xx

??

??

???

log0(1)

log0(1)

log0(01)

a

a

a

xx

xx

xx

??

??

???

a變化對圖象的

影響

在第一象限內，a越大圖象越靠低；在第四象限內，a越大圖象越靠高．

(6)反函數的概念

設函數()yfx?的定義域為A，值域為C，從式子()yfx?中解出x，得式子

()xy??．如果對于y在C中的任何一個值，通過式子()xy??，x在A中都有唯一確定的值和

它對應，那么式子()xy??表示x是y的函數，函數()xy??叫做函數()yfx?的反函數，記

作

1()xfy??，習慣上改寫成

1()yfx??．

（7）反函數的求法

①確定反函數的定義域，即原函數的值域；②從原函數式()yfx?中反解出

1()xfy??；

③將

1()xfy??改寫成

1()yfx??，并注明反函數的定義域．

（8）反函數的性質

①原函數()yfx?與反函數

1()yfx??的圖象關于直線yx?對稱．

②函數()yfx?的定義域、值域分別是其反函數

1()yfx??的值域、定義域．

③若(,)Pab在原函數()yfx?的圖象上，則

'(,)Pba在反函數

1()yfx??的圖象上．

④一般地，函數()yfx?要有反函數則它必須為單調函數．

〖2.3〗冪函數

（1）冪函數的定義

一般地，函數yx??叫做冪函數，其中x為自變量，?是常數．

（2）冪函數的圖象

x

y

O

(1,0)

1x?

log

a

yx?

x

y

O

(1,0)

1x?

log

a

yx?

（3）冪函數的性質

①圖象分布：冪函數圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象．冪函數是偶函數時，圖象分布在第

一、二象限(圖象關于y軸對稱)；是奇函數時，圖象分布在第一、三象限(圖象關于原點對稱)；是非奇非

偶函數時，圖象只分布在第一象限．

②過定點：所有的冪函數在(0,)??都有定義，并且圖象都通過點(1,1)．

③單調性：如果0??，則冪函數的圖象過原點，并且在[0,)??上為增函數．如果0??，則冪函數

的圖象在(0,)??上為減函數，在第一象限內，圖象無限接近x軸與y軸．

④奇偶性：當?為奇數時，冪函數為奇函數，當?為偶數時，冪函數為偶函數．當

q

p

??（其中,pq

互質，p和qZ?），若p為奇數q為奇數時，則

q

pyx?是奇函數，若p為奇數q為偶數時，則

q

pyx?是偶函數，若p為偶數q為奇數時，則

q

pyx?是非奇非偶函數．

⑤圖象特征：冪函數,(0,)yxx?????，當1??時，若01x??，其圖象在直線yx?下方，

若1x?，其圖象在直線yx?上方，當1??時，若01x??，其圖象在直線yx?上方，若

1x?，其圖象在直線yx?下方．

〖補充知識〗二次函數

（1）二次函數解析式的三種形式

①一般式：

2()(0)fxaxbxca????②頂點式：

2()()(0)fxaxhka????③兩根式：

12

()()()(0)fxaxxxxa????（2）求二次函數解析式的方法

①已知三個點坐標時，宜用一般式．

②已知拋物線的頂點坐標或與對稱軸有關或與最大（小）值有關時，常使用頂點式．

③若已知拋物線與x軸有兩個交點，且橫線坐標已知時，選用兩根式求()fx更方便．

（3）二次函數圖象的性質

①二次函數

2()(0)fxaxbxca????的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為,

2

b

x

a

??頂點坐標是

24

(,)

24

bacb

aa

?

?．

②當0a?時，拋物線開口向上，函數在(,]

2

b

a

???上遞減，在[,)

2

b

a

???上遞增，當

2

b

x

a

??

時，

2

min

4

()

4

acb

fx

a

?

?；當0a?時，拋物線開口向下，函數在(,]

2

b

a

???上遞增，在

[,)

2

b

a

???上遞減，當

2

b

x

a

??時，

2

max

4

()

4

acb

fx

a

?

?．

③二次函數

2()(0)fxaxbxca????當

240bac????時，圖象與x軸有兩個交點

11221212

(,0),(,0),||||

||

MxMxMMxx

a

?

???．

（4）一元二次方程

20(0)axbxca????根的分布

一元二次方程根的分布是二次函數中的重要內容，這部分知識在初中代數中雖有所涉及，但尚

不夠系統和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數關系定理（韋達定理）的運

用，下面結合二次函數圖象的性質，系統地來分析一元二次方程實根的分布．

設一元二次方程

20(0)axbxca????的兩實根為

12

,xx，且

12

xx?．令

2()fxaxbxc???，從以下四個方面來分析此類問題：①開口方向：a②對稱軸位置：

2

b

x

a

??③判別式：?④端點函數值符號．

①k＜x1≤x2?

x

y

1

x

2

x

0?a

O

?

a

b

x

2

??

0)(?kf

k

x

y

1

x

2

x

O

?

a

b

x

2

??

k

0?a

0)(?kf

②x1≤x2＜k?

x

y

1

x

2

x

0?a

O

?

a

b

x

2

??

k

0)(?kf

x

y

1

x

2

x

O

?

a

b

x

2

??

k

0?a

0)(?kf

③x1＜k＜x2?af(k)＜0

0)(?kf

x

y

1

x

2

x

0?a

O

?

k

x

y

1

x

2

x

O

?

k

0?a

0)(?kf

④k1＜x1≤x2＜k2?

x

y

1

x2

x

0?a

O

?

?

1

k

2

k

0)(

1

?kf

0)(

2

?kf

a

b

x

2

??

x

y

1

x

2

x

O

?

0?a

1

k

?

2

k

0)(

1

?kf

0)(

2

?kf

a

b

x

2

??

⑤有且僅有一個根x1（或x2）滿足k1＜x1（或x2）＜k2?f(k1)f(k2)?0，并同時考慮

f(k1)=0或f(k2)=0這兩種情況是否也符合

x

y

1

x

2

x

0?a

O

?

?

1

k

2

k

0)(

1

?kf

0)(

2

?kf

x

y

1

x

2

x

O

?

0?a

1

k

?

2

k

0)(

1

?kf

0)(

2

?kf

⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2?

此結論可直接由⑤推出．

（5）二次函數

2()(0)fxaxbxca????在閉區間[,]pq上的最值

設()fx在區間[,]pq上的最大值為M，最小值為

m

，令

0

1

()

2

xpq??．

（Ⅰ）當0a?時（開口向上）

①若

2

b

p

a

??，則()mfp?②若

2

b

pq

a

???，則()

2

b

mf

a

??③若

2

b

q

a

??，則

()mfq?

①若

02

b

x

a

??，則()Mfq?②

02

b

x

a

??，則()Mfp?

(Ⅱ)當0a?時(開口向下)

①若

2

b

p

a

??，則()Mfp?②若

2

b

pq

a

???，則()

2

b

Mf

a

??③若

2

b

q

a

??，則

()Mfq?

①若

02

b

x

a

??，則()mfq?②

02

b

x

a

??，則()mfp?．

第三章函數的應用

一、方程的根與函數的零點

1、函數零點的概念：對于函數))((Dxxfy??，把使0)(?xf成立的實數x叫做函數

))((Dxxfy??的零點。

2、函數零點的意義：函數)(xfy?的零點就是方程0)(?xf實數根，亦即函數)(xfy?

x

?

O

??

f

f

()

2

b

f

a

?

x

?

O

??

f

f

()

2

b

f

a

?

x

?

O

??

f

f()

2

b

f

a

?

x

?

O

??

f

f()

2

b

f

a

?

0

x

x

?

O

??

f

f

()

2

b

f

a

?

0

x

x

?

O

??

f

f

()

2

b

f

a

?

x

?

O

??

f

f

()

2

b

f

a

?

x

?

O

??

f

f

()

2

b

f

a

?

0

x

x

?

O

??

f

f

()

2

b

f

a

?

x

?

O

??

f

f

()

2

b

f

a

?

0

x

的圖象與x軸交點的橫坐標。即：

方程0)(?xf有實數根?函數)(xfy?的圖象與x軸有交點?函數)(xfy?有零

點．

3、函數零點的求法：

求函數)(xfy?的零點：

○

1

（代數法）求方程0)(?xf的實數根；

○

2

（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數)(xfy?的圖象聯系起來，并利

用函數的性質找出零點．

4、二次函數的零點：

二次函數)0(2????acbxaxy．

１）△＞０，方程02???cbxax有兩不等實根，二次函數的圖象與x軸有兩個交點，二次

函數有兩個零點．

２）△＝０，方程02???cbxax有兩相等實根（二重根），二次函數的圖象與x軸有一個

交點，二次函數有一個二重零點或二階零點．

３）△＜０，方程02???cbxax無實根，二次函數的圖象與x軸無交點，二次函數無零

點．

高中數學必修2知識點

第一章空間幾何體

1.1柱、錐、臺、球的結構特征

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1三視圖：

正視圖：從前往后側視圖：從左往右俯視圖：從上往下

2畫三視圖的原則：

長對齊、高對齊、寬相等

3直觀圖：斜二測畫法

4斜二測畫法的步驟：

（1）.平行于坐標軸的線依然平行于坐標軸；

（2）.平行于y軸的線長度變半，平行于x，z軸的線長度不變；

（3）.畫法要寫好。

5用斜二測畫法畫出長方體的步驟：（1）畫軸（2）畫底面（3）畫側棱（4）成圖

1.3空間幾何體的表面積與體積

（一）空間幾何體的表面積

1棱柱、棱錐的表面積：各個面面積之和

2圓柱的表面積3圓錐的表面積

2rrlS????

4圓臺的表面積

22RRlrrlS????????

5球的表面積

24RS??

222rrlS????

（二）空間幾何體的體積

1柱體的體積hSV??

底

2錐體的體積hSV??

底3

1

3臺體的體積hSSSSV????)

3

1

下下

上上

（4球體的體積

3

3

4

RV??

第二章直線與平面的位置關系

2.1空間點、直線、平面之間的位置關系

2.1.1

1平面含義：平面是無限延展的

2平面的畫法及表示

（1）平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成450，且橫邊畫成鄰邊的2倍長

（如圖）

（2）平面通常用希臘字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四邊形的

四個頂點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。

3三個公理：

（1）公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內

符號表示為

A∈L

B∈L=>Lα

A∈α

B∈α

公理1作用：判斷直線是否在平面內

（2）公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。

符號表示為：A、B、C三點不共線=>有且只有一個平面α，

使A∈α、B∈α、C∈α。

公理2作用：確定一個平面的依據。

（3）公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。

符號表示為：P∈α∩β=>α∩β=L，且P∈L

公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據

2.1.2空間中直線與直線之間的位置關系

1空間的兩條直線有如下三種關系：

相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；

平行直線：同一平面內，沒有公共點；

異面直線：不同在任何一個平面內，沒有公共點。

2公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

符號表示為：設a、b、c是三條直線

a∥b

c∥b

DC

BA

α

L

A

·

α

C

·

B

·

A

·

α

P

·

α

L

β

共面直線

=>a∥c

強調：公理4實質上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質都適用。

公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據。

3等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補

4注意點：

①a'與b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與O的選擇無關，為簡便，點O一般取在兩直

線中的一條上；

②兩條異面直線所成的角θ∈(0，)；

③當兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a⊥b；

④兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；

⑤計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角。

2.1.3—2.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關系

1、直線與平面有三種位置關系：

（1）直線在平面內——有無數個公共點

（2）直線與平面相交——有且只有一個公共點

（3）直線在平面平行——沒有公共點

指出：直線與平面相交或平行的情況統稱為直線在平面外，可用aα來表示

aαa∩α=Aa∥α

2.2.直線、平面平行的判定及其性質

2.2.1直線與平面平行的判定

1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

簡記為：線線平行，則線面平行。

符號表示：

aα

bβ=>a∥α

a∥b

2.2.2平面與平面平行的判定

1、兩個平面平行的判定定理：一個平面內的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。

符號表示：

aβ

bβ

a∩b=Pβ∥α

a∥α

2

?

b∥α

2、判斷兩平面平行的方法有三種：

（1）用定義；

（2）判定定理；

（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行。

2.2.3—2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質

1、定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。

簡記為：線面平行則線線平行。

符號表示：

a∥α

aβa∥b

α∩β=b

作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。

2、定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。

符號表示：

α∥β

α∩γ=aa∥b

β∩γ=b

作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行

2.3直線、平面垂直的判定及其性質

2.3.1直線與平面垂直的判定

1、定義

如果直線L與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線L與平面α互相垂直，記作L⊥α，直

線L叫做平面α的垂線，平面α叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時,它們唯一公共點P叫做垂

足。

L

p

α

2、判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；

b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想。

2.3.2平面與平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示從空間一直線出發的兩個半平面所組成的圖形

A

梭lβ

B

α

2、二面角的記法：二面角α-l-β或α-AB-β

3、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。

2.3.3—2.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質

1、定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。

2性質定理：兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直。

本章知識結構框圖

第三章直線與方程

3.1直線的傾斜角和斜率

3.1傾斜角和斜率

1、直線的傾斜角的概念：當直線l與x軸相交時,取x軸作為基準,x軸正向與直線l向上方向之間所

成的角α叫做直線l的傾斜角.特別地,當直線l與x軸平行或重合時,規定α=0°.

2、傾斜角α的取值范圍：0°≤α＜180°.當直線l與x軸垂直時,α=90°.

3、直線的斜率:

一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是k

=tanα

⑴當直線l與x軸平行或重合時,α=0°,k=tan0°=0;

⑵當直線l與x軸垂直時,α=90°,k不存在.

由此可知,一條直線l的傾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.

4、直線的斜率公式:

給定兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用兩點的坐標來表示直線P1P2的斜率：

斜率公式:k=y2-y1/x2-x1

3.1.2兩條直線的平行與垂直

平面（公理1、公理2、公理3、公理

空間直線、平面的位置關系

平面與平面的位置關系直線與平面的位置關系

????22

122221

PPxxyy????

1、兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，

那么它們平行，即

注意:上面的等價是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個前提，結論并不成立．即

如果k1=k2,那么一定有L1∥L2

2、兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜

率互為負倒數；反之，如果它們的斜率互為負倒數，那么它

們互相垂直，即

3.2.1直線的點斜式方程

1、直線的點斜式方程：直線l經過點),(

000

yxP，且斜率為k)(

00

xxkyy???

2、、直線的斜截式方程：已知直線l的斜率為k，且與y軸的交點為),0(bbkxy??

3.2.2直線的兩點式方程

1、直線的兩點式方程：已知兩點),(),,(

222211

yxPxxP其中),(

2121

yyxx??y-y1/y-y2=x-

x1/x-x2

2、直線的截距式方程：已知直線l與x軸的交點為A)0,(a，與y軸的交點為B),0(b，其中

0,0??ba

3.2.3直線的一般式方程

1、直線的一般式方程：關于yx,的二元一次方程0???CByAx（A，B不同時為0）

2、各種直線方程之間的互化。

3.3直線的交點坐標與距離公式

3.3.1兩直線的交點坐標

1、給出例題：兩直線交點坐標

L1：3x+4y-2=0L1：2x+y+2=0

方程組

3420

2220

xy

xy

???

?

?

???

?

解：解

得x=-2，y=2

所以L1與L2的交點坐標為M（-2，2）

3.3.2兩點間距離

兩點間的距離公式

3.3.3點到直線的距離公式

1．點到直線距離公式：

點),(

00

yxP到直線0:???CByAxl的距離為：

22

00

BA

CByAx

d

?

??

?

2、兩平行線間的距離公式：

已知兩條平行線直線

1

l和

2

l的一般式方程為

1

l：0

1

???CByAx，

2

l：0

2

???CByAx，則

1

l與

2

l的距離為

22

21

BA

CC

d

?

?

?

第四章圓與方程

4.1.1圓的標準方程

1、圓的標準方程：

222()()xaybr????

圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程

2、點

00

(,)Mxy與圓

222()()xaybr????的關系的判斷方法：

（1）

22

00

()()xayb???>

2r，點在圓外（2）

22

00

()()xayb???=

2r，點在圓上

（3）

22

00

()()xayb???<

2r，點在圓內

4.1.2圓的一般方程

1、圓的一般方程：022?????FEyDxyx

2、圓的一般方程的特點：

(1)①x2和y2的系數相同，不等于0．②沒有xy這樣的二次項．

(2)圓的一般方程中有三個特定的系數D、E、F，因之只要求出這三個系數，圓的方程就確定

了．

(3)、與圓的標準方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數特征明顯，圓的標準方程則

指出了圓心坐標與半徑大小，幾何特征較明顯。

4.2.1圓與圓的位置關系

1、用點到直線的距離來判斷直線與圓的位置關系．

設直線l：0???cbyax，圓C：

022?????FEyDxyx，圓的半徑為r，圓心

)

2

,

2

(

ED

??到直線的距離為d，則判別直線與圓的位置關系的依據有以下幾點：

（1）當rd?時，直線l與圓C相離；（2）當rd?時，直線l與圓C相切；

（3）當rd?時，直線l與圓C相交；

4.2.2圓與圓的位置關系

兩圓的位置關系．

設兩圓的連心線長為l，則判別圓與圓的位置關系的依據有以下幾點：

（1）當

21

rrl??時，圓

1

C與圓

2

C相離；（2）當

21

rrl??時，圓

1

C與圓

2

C外切；

（3）當??||

21

rr

21

rrl??時，圓

1

C與圓

2

C相交；

（4）當||

21

rrl??時，圓

1

C與圓

2

C內切；（5）當||

21

rrl??時，圓

1

C與圓

2

C內含；

4.2.3直線與圓的方程的應用

1、利用平面直角坐標系解決直線與圓的位置關系；

2、過程與方法

用坐標法解決幾何問題的步驟：

第一步：建立適當的平面直角坐標系，用坐標和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉化為

代數問題；

第二步：通過代數運算，解決代數問題；

第三步：將代數運算結果“翻譯”成幾何結論．

4.3.1空間直角坐標系

1、點M對應著唯一確定的有序實數組),,(zyx，x、y、z分別是P、Q、R在x、

y、z軸上的坐標

2、有序實數組),,(zyx，對應著空間直角坐標系中的一點

3、空間中任意點M的坐標都可以用有序實數組),,(zyx來表示，該數組叫做點M在此空間直角坐標系

中的坐標，記M),,(zyx，x叫做點M的橫坐標，y叫做點M的縱坐標，z

叫做點M的豎坐標。

4.3.2空間兩點間的距離公式

1、空間中任意一點),,(

1111

zyxP到點),,(

2222

zyxP之間的距離公式

2

21

2

21

2

2121

)()()(zzyyxxPP??????

O

y

x

M

M'

R

P

Q

O

y

z

x

M

P

1

P

2

N

M

1

N

2

N

1

M

2

H

高中數學必修3知識點

第一章算法初步

1.1.1算法的概念

1、算法概念：

在數學上，現代意義上的“算法”通常是指可以用計算機來解決的某一類問題是程序或步驟，這些程序或

步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內完成.

2.算法的特點:

(1)有限性：一個算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無限的.

(2)確定性：算法中的每一步應該是確定的并且能有效地執行且得到確定的結果，而不應當是模棱兩可.

(3)順序性與正確性：算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個步驟只能有一個確定的后繼步

驟，前一步是后一步的前提，只有執行完前一步才能進行下一步，并且每一步都準確無誤，才能完成問題.

(4)不唯一性：求解某一個問題的解法不一定是唯一的，對于一個問題可以有不同的算法.

(5)普遍性：很多具體的問題，都可以設計合理的算法去解決，如心算、計算器計算都要經過有限、事先

設計好的步驟加以解決.

1.1.2程序框圖

1、程序框圖基本概念：

（一）程序構圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規定的圖形、指向線及文字說明來準確、直觀地

表示算法的圖形。

一個程序框圖包括以下幾部分：表示相應操作的程序框；帶箭頭的流程線；程序框外必要文字說明。

（二）構成程序框的圖形符號及其作用

程序框名稱功能

起止框

表示一個算法的起始和結束，是任何流程圖不可

少的。

輸入、輸出框

表示一個算法輸入和輸出的信息，可用在算法中

任何需要輸入、輸出的位置。

處理框

賦值、計算，算法中處理數據需要的算式、公式

等分別寫在不同的用以處理數據的處理框內。

判斷框

判斷某一條件是否成立，成立時在出口處標明

“是”或“Y”；不成立時標明“否”或“N”。

學習這部分知識的時候，要掌握各個圖形的形狀、作用及使用規則，畫程序框圖的規則如下：

1、使用標準的圖形符號。2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。3、除判斷框外，大多數流程圖

符號只有一個進入點和一個退出點。判斷框具有超過一個退出點的唯一符號。4、判斷框分兩大類，一類

判斷框“是”與“否”兩分支的判斷，而且有且僅有兩個結果；另一類是多分支判斷，有幾種不同的結

果。5、在圖形符號內描述的語言要非常簡練清楚。

（三）、算法的三種基本邏輯結構：順序結構、條件結構、循環結構。

1、順序結構：順序結構是最簡單的算法結構，語句與語句之間，框與框之間是按從上到下的順序進行

的，它是由若干個依次執行的處理步驟組成的，它是任何一個算法都離不開的一種基本算法結構。

順序結構在程序框圖中的體現就是用流程線將程序框自上而

下地連接起來，按順序執行算法步驟。如在示意圖中，A框和B

框是依次執行的，只有在執行完A框指定的操作后，才能接著執

行B框所指定的操作。

2、條件結構：

條件結構是指在算法中通過對條件的判斷

根據條件是否成立而選擇不同流向的算法結構。

條件P是否成立而選擇執行A框或B框。無論P條件是否成立，只能執行A框或B框之一，不可能

同時執行A框和B框，也不可能A框、B框都不執行。一個判斷結構可以有多個判斷框。

3、循環結構：在一些算法中，經常會出現從某處開始，按照一定條件，反復執行某一處理步驟的情況，

這就是循環結構，反復執行的處理步驟為循環體，顯然，循環結構中一定包含條件結構。循環結構又稱重

復結構，循環結構可細分為兩類：

（1）、一類是當型循環結構，如下左圖所示，它的功能是當給定的條件P成立時，執行A框，A框執行

完畢后，再判斷條件P是否成立，如果仍然成立，再執行A框，如此反復執行A框，直到某一次條件P

不成立為止，此時不再執行A框，離開循環結構。

（2）、另一類是直到型循環結構，如下右圖所示，它的功能是先執行，然后判斷給定的條件P是否成

A

B

立，如果P仍然不成立，則繼續執行A框，直到某一次給定的條件P成立為止，此時不再執行A框，離

開循環結構。

當型循環結構直到型循環結構

注意：1循環結構要

在某個條件下終止循環，這就需要條件結構來判斷。因此，循環結構中一定包含條件結

構，但不允許“死循環”。2在循環結構中都有一個計數變量和累加變量。計數變量用于記

錄循環次數，累加變量用于輸出結果。計數變量和累加變量一般是同步執行的，累加一次，計數一次。

1.2.1輸入、輸出語句和賦值語句

1、輸入語句

（1）輸入語句的一般格式

（2）輸入語句的作用是實現算法的輸入信息功能；（3）“提示內容”提示用戶輸入什么樣的信息，變量是

指程序在運行時其值是可以變化的量；（4）輸入語句要求輸入的值只能是具體的常數，不能是函數、變量

或表達式；（5）提示內容與變量之間用分號“；”隔開，若輸入多個變量，變量與變量之間用逗號“，”隔

開。

2、輸出語句

（1）輸出語句的一般格式

（2）輸出語句的作用是實現算法的輸出結果功能；（3）“提示內容”提示用戶輸入什么樣的信息，表達式

是指程序要輸出的數據；（4）輸出語句可以輸出常量、變量或表達式的值以及字符。

3、賦值語句

（1）賦值語句的一般格式

（2）賦值語句的作用是將表達式所代表的值賦給變量；（3）賦值語句中的“＝”稱作賦值號，與數學中

的等號的意義是不同的。賦值號的左右兩邊不能對換，它將賦值號右邊的表達式的值賦給賦值號左邊的變

A

成立

不成立

P

不成立

P

成立

A

圖形計算器

格式

INPUT“提示內容”；變量INPUT“提示內容”，變量

PRINT“提示內容”；表達

圖形計算器

格式Disp“提示內容”，變量

變量＝表達式

圖形計算器

格式

表達式?變量

量；（4）賦值語句左邊只能是變量名字，而不是表達式，右邊表達式可以是一個數據、常量或算式；（5）

對于一個變量可以多次賦值。

注意：①賦值號左邊只能是變量名字，而不能是表達式。如：2=X是錯誤的。②賦值號左右不能對換。

如“A=B”“B=A”的含義運行結果是不同的。③不能利用賦值語句進行代數式的演算。（如化簡、因式

分解、解方程等）④賦值號“=”與數學中的等號意義不同。

1．2．2條件語句

1、條件語句的一般格式有兩種：（1）IF—THEN—ELSE語句；（2）IF—THEN語句。2、IF—THEN—

ELSE語句

IF—THEN—ELSE語句的一般格式為圖1，對應的程序框圖為圖2。

圖1圖2

分析：在IF—THEN—ELSE語句中，“條件”表示判斷的條件，“語句1”表示滿足條件時執行的操作內

容；“語句2”表示不滿足條件時執行的操作內容；ENDIF表示條件語句的結束。計算機在執行時，首先

對IF后的條件進行判斷，如果條件符合，則執行THEN后面的語句1；若條件不符合，則執行ELSE后面

的語句2。

3、IF—THEN語句

IF—THEN語句的一般格式為圖3，對應的程序框圖為圖4。

注意：“條件”表示判斷的條件；“語句”表示滿足條件時執行的操作內容，條件

不滿足時，結束程序；ENDIF表示條件語句的結束。計算機在執行時首先對IF后的條件進行判斷，如果

條件符合就執行THEN后邊的語句，若條件不符合則直接結束該條件語句，轉而執行其它語句。

1．2．3循環語句

循環結構是由循環語句來實現的。對應于程序框圖中的兩種循環結構，一般程序設計語言中也有當

型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）兩種語句結構。即WHILE語句和UNTIL語句。

1、WHILE語句

（1）WHILE語句的一般格式是對應的程序框圖是

IF條件THEN

語句1

ELSE

語句2

ENDIF

否

是

滿足條件？

語句1

語句2

IF條件THEN

語句

ENDIF

（圖

3）

滿足條件？

語句

是

否

（圖

4）

滿足條件？

循環體

是

（2）當計算機遇到WHILE語句時，先判斷條件的真假，如果條件符合，就執行WHILE與WEND之間

的循環體；然后再檢查上述條件，如果條件仍符合，再次執行循環體，這個過程反復進行，直到某一次條

件不符合為止。這時，計算機將不執行循環體，直接跳到WEND語句后，接著執行WEND之后的語

句。因此，當型循環有時也稱為“前測試型”循環。

2、UNTIL語句

（1）UNTIL語句的一般格式是對應的程序框圖是

（2）直到型循環又稱為“后測試型”循環，從UNTIL型循環結構分析，計算機執行該語句時，先執行一

次循環體，然后進行條件的判斷，如果條件不滿足，繼續返回執行循環體，然后再進行條件的判斷，這個

過程反復進行，直到某一次條件滿足時，不再執行循環體，跳到LOOPUNTIL語句后執行其他語句，是先

執行循環體后進行條件判斷的循環語句。

分析：當型循環與直到型循環的區別：（先由學生討論再歸納）

（1）當型循環先判斷后執行，直到型循環先執行后判斷；

在WHILE語句中，是當條件滿足時執行循環體，在UNTIL語句中，是當條件不滿足時執行循環

1.3.1輾轉相除法與更相減損術

1、輾轉相除法。也叫歐幾里德算法，用輾轉相除法求最大公約數的步驟如下：

（1）：用較大的數m除以較小的數n得到一個商0

S

和一個余數0

R

；（2）：若0

R

＝0，則n為m，n的最

大公約數；若0

R

≠0，則用除數n除以余數0

R

得到一個商1

S

和一個余數1

R

；（3）：若1

R

＝0，則1

R

為

m，n的最大公約數；若1

R

≠0，則用除數0

R

除以余數1

R

得到一個商2

S

和一個余數2

R

；……依

次計算直至n

R

＝0，此時所得到的1n

R

?即為所求的最大公約數。

2、更相減損術

WHILE條件

循環體

WEND

滿足條件？

循環體

是

否

DO

循環體

LOOPUNTIL條件

我國早期也有求最大公約數問題的算法，就是更相減損術。在《九章算術》中有更相減損術求最大公約數

的步驟：可半者半之，不可半者，副置分母?子之數，以少減多，更相減損，求其等也，以等數約之。

翻譯為：（1）：任意給出兩個正數；判斷它們是否都是偶數。若是，用2約簡；若不是，執行第二步。

（2）：以較大的數減去較小的數，接著把較小的數與所得的差比較，并以大數減小數。繼續這個操作，直

到所得的數相等為止，則這個數（等數）就是所求的最大公約數。

例2用更相減損術求98與63的最大公約數.

分析：（略）

3、輾轉相除法與更相減損術的區別：

（1）都是求最大公約數的方法，計算上輾轉相除法以除法為主，更相減損術以減法為主，計算次數上輾

轉相除法計算次數相對較少，特別當兩個數字大小區別較大時計算次數的區別較明顯。

（2）從結果體現形式來看，輾轉相除法體現結果是以相除余數為0則得到，而更相減損術則以減數與差

相等而得到

1.3.2秦九韶算法與排序

1、秦九韶算法概念：

f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0求值問題

f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=(anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0=((anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0

=......=(...(anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0

求多項式的值時，首先計算最內層括號內依次多項式的值，即v

1

=a

n

x+a

n-1

然后由內向外逐層計算一次多項式的值，即

v2=v1x+an-2v3=v2x+an-3......vn=vn-1x+a0

這樣，把n次多項式的求值問題轉化成求n個一次多項式的值的問題。

2、兩種排序方法：直接插入排序和冒泡排序

1、直接插入排序

基本思想：插入排序的思想就是讀一個，排一個。將第１個數放入數組的第１個元素中，以后讀入的數與

已存入數組的數進行比較，確定它在從大到小的排列中應處的位置．將該位置以及以后的元素向后推移一

個位置，將讀入的新數填入空出的位置中．（由于算法簡單，可以舉例說明）

2、冒泡排序

基本思想：依次比較相鄰的兩個數,把大的放前面,小的放后面.即首先比較第1個數和第2個數,大數放前,

小數放后.然后比較第2個數和第3個數......直到比較最后兩個數.第一趟結束,最小的一定沉到最后.重

復上過程,仍從第1個數開始,到最后第2個數......由于在排序過程中總是大數往前,小數往后,相當氣

泡上升,所以叫冒泡排序.

1.3.3進位制

1、概念：進位制是一種記數方式，用有限的數字在不同的位置表示不同的數值。可使用數字符號的個數

稱為基數，基數為n，即可稱n進位制，簡稱n進制。現在最常用的是十進制，通常使用10個阿拉伯數

字0-9進行記數。對于任何一個數，我們可以用不同的進位制來表示。比如：十進數57，可以用二進制

表示為111001，也可以用八進制表示為71、用十六進制表示為39，它們所代表的數值都是一樣的。

一般地，若k是一個大于一的整數，那么以k為基數的k進制可以表示為：

110()110

...(0,0,...,,)

nnknn

aaaaakaaak

??

????，

而表示各種進位制數一般在數字右下腳加注來表示,如111001(2)表示二進制數,34(5)表示5進制數

第二章統計

2.1.1簡單隨機抽樣

1．總體和樣本

在統計學中,把研究對象的全體叫做總體．

把每個研究對象叫做個體．

把總體中個體的總數叫做總體容量．

為了研究總體的有關性質，一般從總體中隨機抽取一部分：，，，

研究，我們稱它為樣本．其中個體的個數稱為樣本容量．

2．簡單隨機抽樣，也叫純隨機抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊等，完全隨

機地抽取調查單位。特點是：每個樣本單位被抽中的可能性相同（概率相等），樣本的每個單位完全獨

立，彼此間無一定的關聯性和排斥性。簡單隨機抽樣是其它各種抽樣形式的基礎。通常只是在總體單位之

間差異程度較小和數目較少時，才采用這種方法。

3．簡單隨機抽樣常用的方法：

（1）抽簽法；⑵隨機數表法；⑶計算機模擬法；⑷使用統計軟件直接抽取。

在簡單隨機抽樣的樣本容量設計中，主要考慮：①總體變異情況；②允許誤差范圍；③概率保

證程度。

4．抽簽法:

（1）給調查對象群體中的每一個對象編號；

（2）準備抽簽的工具，實施抽簽

（3）對樣本中的每一個個體進行測量或調查

例：請調查你所在的學校的學生做喜歡的體育活動情況。

5．隨機數表法：

例：利用隨機數表在所在的班級中抽取10位同學參加某項活動。

2.1.2系統抽樣

1．系統抽樣（等距抽樣或機械抽樣）：

把總體的單位進行排序，再計算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個樣本

采用簡單隨機抽樣的辦法抽取。

K（抽樣距離）=N（總體規模）/n（樣本規模）

前提條件：總體中個體的排列對于研究的變量來說，應是隨機的，即不存在某種與研究變量相關的規

則分布。可以在調查允許的條件下，從不同的樣本開始抽樣，對比幾次樣本的特點。如果有明顯差別，說

明樣本在總體中的分布承某種循環性規律，且這種循環和抽樣距離重合。

2．系統抽樣，即等距抽樣是實際中最為常用的抽樣方法之一。因為它對抽樣框的要求較低，實施也比較

簡單。更為重要的是，如果有某種與調查指標相關的輔助變量可供使用，總體單元按輔助變量的大小順序

排隊的話，使用系統抽樣可以大大提高估計精度。

2.1.3分層抽樣

1．分層抽樣（類型抽樣）：

先將總體中的所有單位按照某種特征或標志（性別、年齡等）劃分成若干類型或層次，然后再在各

個類型或層次中采用簡單隨機抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個子樣本，最后，將這些子樣本合起來構成總

體的樣本。

兩種方法：

1．先以分層變量將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。

2．先以分層變量將總體劃分為若干層，再將各層中的元素按分層的順序整齊排列，最后用系統抽樣

的方法抽取樣本。

2．分層抽樣是把異質性較強的總體分成一個個同質性較強的子總體，再抽取不同的子總體中的樣本分別

代表該子總體，所有的樣本進而代表總體。

分層標準：

（1）以調查所要分析和研究的主要變量或相關的變量作為分層的標準。

（2）以保證各層內部同質性強、各層之間異質性強、突出總體內在結構的變量作為分層變量。

（3）以那些有明顯分層區分的變量作為分層變量。

3．分層的比例問題：

（1）按比例分層抽樣：根據各種類型或層次中的單位數目占總體單位數目的比重來抽取子樣本的方法。

（2）不按比例分層抽樣：有的層次在總體中的比重太小，其樣本量就會非常少，此時采用該方法，主

要是便于對不同層次的子總體進行專門研究或進行相互比較。如果要用樣本資料推斷總體時，則需要先對

各層的數據資料進行加權處理，調整樣本中各層的比例，使數據恢復到總體中各層實際的比例結構。

2.2.2用樣本的數字特征估計總體的數字特征

1、本均值：

n

xxx

xn

???

?

?

21

2、．樣本標準差：

n

xxxxxx

ssn

22

2

2

1

2

)()()(??????

??

?

3．用樣本估計總體時，如果抽樣的方法比較合理，那么樣本可以反映總體的信息，但從樣本得到的信息

會有偏差。在隨機抽樣中，這種偏差是不可避免的。

雖然我們用樣本數據得到的分布、均值和標準差并不是總體的真正的分布、均值和標

準差，而只是一個估計，但這種估計是合理的，特別是當樣本量很大時，它們確實反映了總體

的信息。

4．（1）如果把一組數據中的每一個數據都加上或減去同一個共同的常數，標準差不變

（2）如果把一組數據中的每一個數據乘以一個共同的常數k，標準差變為原來的k倍

（3）一組數據中的最大值和最小值對標準差的影響，區間)3,3(sxsx??的應用；

“去掉一個最高分，去掉一個最低分”中的科學道理

2.3.2兩個變量的線性相關

1、概念:

（1）回歸直線方程

（2）回歸系數

2．最小二乘法

3．直線回歸方程的應用

（1）描述兩變量之間的依存關系；利用直線回歸方程即可定量描述兩個變量間依存的數量關系

（2）利用回歸方程進行預測；把預報因子（即自變量x）代入回歸方程對預報量（即因變量Y）進行

估計，即可得到個體Y值的容許區間。

（3）利用回歸方程進行統計控制規定Y值的變化，通過控制x的范圍來實現統計控制的目標。如已經

得到了空氣中NO

2

的濃度和汽車流量間的回歸方程，即可通過控制汽車流量來控制空氣中

NO2的濃度。

4．應用直線回歸的注意事項

（1）做回歸分析要有實際意義；

（2）回歸分析前,最好先作出散點圖；

（3）回歸直線不要外延。

第三章概率

3.1.1—3.1.2隨機事件的概率及概率的意義

1、基本概念：

（1）必然事件：在條件S下，一定會發生的事件，叫相對于條件S的必然事件；

（2）不可能事件：在條件S下，一定不會發生的事件，叫相對于條件S的不可能事件；

（3）確定事件：必然事件和不可能事件統稱為相對于條件S的確定事件；

（4）隨機事件：在條件S下可能發生也可能不發生的事件，叫相對于條件S的隨機事件；

（5）頻數與頻率：在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現，稱n次試驗中事件A出

現的次數nA為事件A出現的頻數；稱事件A出現的比例fn(A)=

n

n

A

為事件A出現的概

率：對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數的增加，事件A發生的頻率fn(A)穩定在某

個常數上，把這個常數記作P（A），稱為事件A的概率。

（6）頻率與概率的區別與聯系：隨機事件的頻率，指此事件發生的次數nA與試驗總次數n的比值

n

n

A

，它具有一定的穩定性，總在某個常數附近擺動，且隨著試驗次數的不斷增多，這種擺

動幅度越來越小。我們把這個常數叫做隨機事件的概率，概率從數量上反映了隨機事件發生

的可能性的大小。頻率在大量重復試驗的前提下可以近似地作為這個事件的概率

3.1.3概率的基本性質

1、基本概念：

（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件

（2）若A∩B為不可能事件，即A∩B=ф，那么稱事件A與事件B互斥；

（3）若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件；

（4）當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；若事件A與B為對立事件，則A∪B

為必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)

2、概率的基本性質：

1）必然事件概率為1，不可能事件概率為0，因此0≤P(A)≤1；

2）當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；

3）若事件A與B為對立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1—

P(B)；

4）互斥事件與對立事件的區別與聯系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗中不會同時發生，

其具體包括三種不同的情形：（1）事件A發生且事件B不發生；（2）事件A不發生且事件B發生；

（3）事件A與事件B同時不發生，而對立事件是指事件A與事件B有且僅有一個發生，其包括兩種

情形；（1）事件A發生B不發生；（2）事件B發生事件A不發生，對立事件互斥事件的特殊情形。

3.2.1—3.2.2古典概型及隨機數的產生

1、（1）古典概型的使用條件：試驗結果的有限性和所有結果的等可能性。

（2）古典概型的解題步驟；

①求出總的基本事件數；

②求出事件A所包含的基本事件數，然后利用公式P（A）=

總的基本事件個數

包含的基本事件數A

3.3.1—3.3.2幾何概型及均勻隨機數的產生

1、基本概念：

（1）幾何概率模型：如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度（面積或體積）成比例，則

稱這樣的概率模型為幾何概率模型；

（2）幾何概型的概率公式：

P（A）=

積）的區域長度（面積或體試驗的全部結果所構成

積）的區域長度（面積或體構成事件A

；

（2）幾何概型的特點：1）試驗中所有可能出現的結果（基本事件）有無限多個；2）每個基本事件出

現的可能性相等．

高中數學必修4知識點

第一章三角函數

?

?

?

?

?

正角:按逆時針方向旋轉形成的角

1、任意角負角:按順時針方向旋轉形成的角

零角:不作任何旋轉形成的角

2、角?的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱?為第幾象限

角．

第一象限角的集合為??36036090,kkk?????????

第二象限角的集合為??36090360180,kkk????????

第三象限角的集合為??36,kkk??????????

第四象限角的集合為??36,kkk??????????

終邊在x軸上的角的集合為??180,kk??????

終邊在y軸上的角的集合為??18090,kk???????

終邊在坐標軸上的角的集合為??90,kk??????

P

x

y

A

OM

T

3、與角?終邊相同的角的集合為??360,kk????????

4、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度．

5、半徑為r的圓的圓心角?所對弧的長為l，則角?的弧度數的絕對值是

l

r

??．

6、弧度制與角度制的換算公式：2360??，1

180

?

?，

180

157.3

?

??

??

??

??

．

7、若扇形的圓心角為????為弧度制，半徑為r，弧長為l，周長為C，面積為S，則lr??，

2Crl??，

2

11

22

Slrr???．

8、設?是一個任意大小的角，?的終邊上任意一點?的坐標是??,xy，它與原點的距離是

?

?220rrxy???，則sin

y

r

??，cos

x

r

??，??tan0

y

x

x

???．

9、三角函數在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，

第三象限正切為正，第四象限余弦為正．

10、三角函數線：sin????，cos????，tan????．

11、角三角函數的基本關系：

??221sincos1??????2222sin1cos,cos1sin????????；

??

sin

2tan

cos

?

?

?

?

sin

sintancos,cos

tan

?

????

?

??

??

??

??

．

12、函數的誘導公式：

????1sin2sink?????，??cos2cosk?????，????tan2tankk???????．

????2sinsin??????，??coscos??????，??tantan?????．

????3sinsin?????，??coscos????，??tantan?????．

????4sinsin?????，??coscos??????，??tantan??????．

口訣：函數名稱不變，符號看象限．

??5sincos

2

?

??

??

??

??

??

，cossin

2

?

??

??

??

??

??

．??6sincos

2

?

??

??

??

??

??

，

cossin

2

?

??

??

???

??

??

．

口訣：正弦與余弦互換，符號看象限．

13、①的圖象上所有點向左（右）平移?個單位長度，得到函數??sinyx???的圖象；再將函數

??sinyx???的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的

1

?

倍（縱坐標不變），得到函數

??sinyx????的圖象；再將函數??sinyx????的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來

的?倍（橫坐標不變），得到函數??sinyx?????的圖象．

②數sinyx?的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的

1

?

倍（縱坐標不變），得到函數

sinyx??的圖象；再將函數sinyx??的圖象上所有點向左（右）平移

?

?

個單位長度，得到函數

??sinyx????的圖象；再將函數??sinyx????的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來

的?倍（橫坐標不變），得到函數??sinyx?????的圖象．

14、函數????sin0,0yx?????????的性質：

①振幅：?；②周期：

2?

?

??；③頻率：

1

2

f

?

?

??

?

；④相位：x???；⑤初相：?．

函數??sinyx???????，當

1

xx?時，取得最小值為

min

y；當

2

xx?時，取得最大值為

max

y，則??

maxmin

1

2

yy???，??

maxmin

1

2

yy???，??

21122

xxxx

?

???．

15、正弦函數、余弦函數和正切函數的圖象與性質：

sinyx?

cosyx?

tanyx?

圖

象

定

義

域

RR

,

2

xxkk

?

?

??

????

??

??

值

域

??1,1???1,1?

R

最

值

當2

2

xk

?

?????k??當??2xkk????時，

max

1y?；當2xk????

既無最大值也無最小值

函

數

性

質

時，

max

1y?；當

2

2

xk

?

???

??k??時，

min

1y??．

??k??時，

min

1y??．

周

期

性

2?2?

?

奇

偶

性

奇函數偶函數奇函數

單

調

性

在2,2

22

kk

??

??

??

??

??

??

??k??上是增函數；在

3

2,2

22

kk

??

??

??

??

??

??

??k??上是減函數．

在????2,2kkk??????上

是增函數；在??2,2kk????

??k??上是減函數．

在,

22

kk

??

??

??

??

??

??

??k??上是增函數．

對

稱

性

對稱中心????,0kk???

對稱軸??

2

xkk

?

?????

對稱中心

??,0

2

kk

?

?

??

???

??

??

對稱軸??xkk????

對稱中心??,0

2

k

k

?

??

??

??

??

無對稱軸

第二章平面向量

16、向量：既有大小，又有方向的量．數量：只有大小，沒有方向的量．

有向線段的三要素：起點、方向、長度．零向量：長度為0的向量．

單位向量：長度等于1個單位的向量．

平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量與任一向量平行．

相等向量：長度相等且方向相同的向量．

17、向量加法運算：

⑴三角形法則的特點：首尾相連．

⑵平行四邊形法則的特點：共起點．

⑶三角形不等式：ababab?????．

⑷運算性質：①交換律：abba???；

②結合律：????abcabc?????；③00aaa????．

⑸坐標運算：設??

11

,axy?，??

22

,bxy?，則??

1212

,abxxyy????．

18、向量減法運算：

⑴三角形法則的特點：共起點，連終點，方向指向被減向量．

⑵坐標運算：設??

11

,axy?，??

22

,bxy?，則??

1212

,abxxyy????．

b

a

C

?

?

abCC????????

設?、?兩點的坐標分別為??

11

,xy，??

22

,xy，則??

1212

,xxyy?????．

19、向量數乘運算：

⑴實數?與向量a的積是一個向量的運算叫做向量的數乘，記作a?．

①aa???；

②當0??時，a?的方向與a的方向相同；當0??時，a?的方向與a的方向相反；當0??時，

0a??．

⑵運算律：①????aa?????；②??aaa???????；③??abab??????．

⑶坐標運算：設??,axy?，則????,,axyxy??????．

20、向量共線定理：向量??0aa?與b共線，當且僅當有唯一一個實數?，使ba??．

設??

11

,axy?，??

22

,bxy?，其中0b?，則當且僅當

1221

0xyxy??時，向量a、??0bb?

共線．

21、平面向量基本定理：如果

1

e、

2

e是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量

a，有且只有一對實數

1

?、

2

?，使

1122

aee????．（不共線的向量

1

e、

2

e作為這一平面內所有向

量的一組基底）

22、分點坐標公式：設點?是線段

12

??上的一點，

1

?、

2

?的坐標分別是??

11

,xy，??

22

,xy，當

12

??????時，點?的坐標是

1212,

11

xxyy??

??

??

??

??

??

??

．（當時，就為中點公式。）1??

23、平面向量的數量積：

⑴??cos0,0,0180ababab????????．零向量與任一向量的數量積為0．

⑵性質：設a和b都是非零向量，則①0abab????．②當a與b同向時，abab??；當

a與b反向時，abab???；

2

2aaaa???或aaa??．③abab??．

⑶運算律：①abba???；②??????ababab????????；③??abcacbc??????．

⑷坐標運算：設兩個非零向量??

11

,axy?，??

22

,bxy?，則

1212

abxxyy???．

若??,axy?，則

2

22axy??，或

22axy??．設??

11

,axy?，??

22

,bxy?，則

1212

0abxxyy????．

設a、b都是非零向量，??

11

,axy?，??

22

,bxy?，?是a與b的夾角，則

1212

2222

1122

cos

xxyy

ab

ab

xyxy

?

?

?

??

??

．

第三章三角恒等變換

24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：

⑴??coscoscossinsin?????????；⑵??coscoscossinsin?????????；

⑶??sinsincoscossin?????????；⑷??sinsincoscossin?????????；

⑸??

tantan

tan

1tantan

??

??

??

?

??

?

?（????tantantan1tantan??????????）；

⑹??

tantan

tan

1tantan

??

??

??

?

??

?

?（????tantantan1tantan??????????）．

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑴

sin22sincos????．

222)cos(sincossin2cossin2sin1??????????????

⑵

2222cos2cossin2cos112sin???????????

?升冪公式

2

sin2cos1,

2

cos2cos122

?

?

?

?????

?降冪公式

2

cos21

cos

2

?

?

?

?，

2

1cos2

sin

2

?

?

?

?．

⑶

2

2tan

tan2

1tan

?

?

?

?

?

．

26、

?（后兩個不用判斷符號，更加好用）

27、合一變形?把兩個三角函數的和或差化為“一個三角函數，一個角，一次方”的

BxAy???)sin(??形式。??22sincossin????????????，其中tan?

?

?

?

．

28、三角變換是運算化簡的過程中運用較多的變換，提高三角變換能力，要學會創設條件，靈活運用三角

公式，掌握運算，化簡的方法和技能．常用的數學思想方法技巧如下：

α

α

α

α

α

αα

αααα

半角公式

sin

cos1

cos1

sin

cos1

cos1

2

tan

2

cos1

2

sin;

2

cos1

2

cos

:

?

?

?

?

?

?

??

?

??

?

??

2

tan1

2

tan1

cos;

2

tan1

2

tan2

sin

:

2

2

2

α

α

α

α

α

α

萬能公式

?

?

?

?

?

（1）角的變換：在三角化簡，求值，證明中，表達式中往往出現較多的相異角，可根據角與角之間的和

差，倍半，互補，互余的關系，運用角的變換，溝通條件與結論中角的差異，使問題獲解，對角的

變形如：

①?2是?的二倍；?4是?2的二倍；?是

2

?

的二倍；

2

?

是

4

?

的二倍；

②

2

30

4560304515

o

ooooo?????；問：?

12

sin

?

；?

12

cos

?

；

③???????)(；④)

4

(

24

?

??

?

?

????；

⑤)

4

()

4

()()(2?

?

?

?

?????????????；等等

（2）函數名稱變換：三角變形中，常常需要變函數名稱為同名函數。如在三角函數中正余弦是基礎，通

常化切為弦，變異名為同名。

（3）常數代換：在三角函數運算，求值，證明中，有時需要將常數轉化為三角函數值，例如常數“1”的

代換變形有：

oo45tan90sincottancossin122?????????

（4）冪的變換：降冪是三角變換時常用方法，對次數較高的三角函數式，一般采用降冪處理的方法。常

用降冪公式有：；。降冪并非絕對，有時需要升冪，如對無理式?cos1?常

用升冪化為有理式，常用升冪公式有：；；

（5）公式變形：三角公式是變換的依據，應熟練掌握三角公式的順用，逆用及變形應用。

如：_______________

tan1

tan1

?

?

?

?

?

；______________

tan1

tan1

?

?

?

?

?

；

____________tantan????；___________tantan1????；

____________tantan????；___________tantan1????；

??tan2；???2tan1；

???oooo40tan20tan340tan20tan；

????cossin=；

????cossinba=；（其中??tan；）

???cos1；???cos1；

（6）三角函數式的化簡運算通常從：“角、名、形、冪”四方面入手；

基本規則是：見切化弦，異角化同角，復角化單角，異名化同名，高次化低次，無理化有理，特殊

值與特殊角的三角函數互化。

如：??)10tan31(50sinoo

；

????cottan。

?

?

?

無窮數列

有窮數列

按項數

2

2

21,2

1

(1)2

n

n

a

ana

an

an

?

?

?

???

?

?

???

?

?

???

?

n

nn

n

n

常數列:

遞增數列:

按單調性

遞減數列:

擺動數列:

高中數學必修5知識點

（一）解三角形：

1、正弦定理：在C???中，a、b、c分別為角?、?、C的對邊，，則有

2

sinsinsin

abc

R

C

???

??

(R為C???的外接圓的半徑)

2、正弦定理的變形公式：①2sinaR??，2sinbR??，2sincRC?；

②sin

2

a

R

??，sin

2

b

R

??，sin

2

c

C

R

?；③::sin:sin:sinabcC???；

3、三角形面積公式：

111

sinsinsin

222C

SbcabCac

???

?????

．

4、余弦定理：在C???中，有

2222cosabcbc????，推論：

222

cos

2

bca

bc

??

??

（二）數列：

1.數列的有關概念：

（1）數列：按照一定次序排列的一列數。數列是有序的。數列是定義在自然數N*或它的有限子

集{1,2,3,…,n}上的函數。

（2）通項公式：數列的第n項a

n

與n之間的函數關系用一個公式來表示，這個公式即是該數列

的通項公式。如:

221

n

an??。

（3）遞推公式：已知數列{a

n

}的第1項（或前幾項），且任一項a

n

與他的前一項a

n-1

（或前幾

項）可以用一個公式來表示，這個公式即是該數列的遞推公式。

如:

12

1,2,aa??

12

(2)

nnn

aaan

??

???。

2．數列的表示方法：

（1）列舉法：如1，3，5，7，9，…（2）圖象法：用（n,a

n

）孤立點表示。

（3）解析法：用通項公式表示。（4）遞推法：用遞推公式表示。

3．數列的分類：

4．數列{an}及前n項和之間的關系:

123nn

Saaaa?????1

1

,(1)

,(2)n

nn

Sn

a

SSn

?

?

?

?

?

??

?

5．等差數列與等比數列對比小結：

等差數列等比數列

一、定

義

1

(2)

nn

aadn

?

???

1

(2)n

n

a

qn

a

?

??

二、公

式

1．??

1

1

n

aand???

????,

nm

aanmdnm????

2．

??

1

2

n

n

naa

S

?

?

??

1

1

2

nn

nad

?

??

1．1

1

n

n

aaq??

,()nm

nm

aaqnm???

2．

??

??

??

1

1

1

1

1

1

11

n

n

n

naq

S

aq

aaq

q

qq

?

?

?

?

?

?

?

??

?

??

?

三、性

質

1．,,2abcbac???成等差，

稱b為a與c的等差中項

2．若mnpq???（m、n、p、

*q??），則

mnpq

aaaa???

3．

n

S，

2nn

SS?，

32nn

SS?成等差數列

1．

2,,abcbac??成等比，

稱b為a與c的等比中項

2．若mnpq???（m、n、p、

*q??），則

mnpq

aaaa???

3．

n

S，

2nn

SS?，

32nn

SS?成等比數列

（三）不等式

1、0abab????；0abab????；0abab????．

2、不等式的性質：①abba???；②,abbcac????；③abacbc?????；

④,0abcacbc????，,0abcacbc????；⑤,abcdacbd??????；

⑥0,0abcdacbd??????；⑦??0,1nnababnn???????；

⑧??0,1nnababnn???????．

小結：代數式的大小比較或證明通常用作差比較法：作差、化積（商）、判斷、結論。

在字母比較的選擇或填空題中，常采用特值法驗證。

3、一元二次不等式解法：

（1）化成標準式：

20,(0)axbxca????；（2）求出對應的一元二次方程的根；

（3）畫出對應的二次函數的圖象；（4）根據不等號方向取出相應的解集。

線性規劃問題：

1．了解線性約束條件、目標函數、可行域、可行解、最優解

2．線性規劃問題：求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值問題．

3．解線性規劃實際問題的步驟：

（1）將數據列成表格；（2）列出約束條件與目標函數；（3）根據求最值方法：①畫：畫可行域；②移：

移與目標函數一致的平行直線；③求：求最值點坐標；④答；求最值；（4）驗證。

兩類主要的目標函數的幾何意義:

①zaxby??-----直線的截距；②

22()()zxayb????-----兩點的距離或圓的半徑；

4、均值定理：若0a?，0b?，則2abab??，即

2

ab

ab

?

?．??2

0,0

2

ab

abab

?

??

???

??

??

；

2

ab?

稱為正數a、b的算術平均數，ab稱為正數a、b的幾何平均數．

5、均值定理的應用：設x、y都為正數，則有

⑴若xys??（和為定值），則當xy?時，積xy取得最大值

2

4

s

．

⑵若xyp?（積為定值），則當xy?時，和xy?取得最小值2p．

注意：在應用的時候，必須注意“一正二定三等”三個條件同時成立。

選修1-1,1-2知識點

第一部分簡單邏輯用語

1、命題：用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句.

真命題：判斷為真的語句.假命題：判斷為假的語句.

2、“若p，則q”形式的命題中的p稱為命題的條件，q稱為命題的結論.

3、原命題：“若

p

，則

q

”逆命題：“若

q

，則

p

”

否命題：“若

p?

，則

q?

”逆否命題：“若

q?

，則

p?

”

4、四種命題的真假性之間的關系：

（1）兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；

（2）兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．

5、若pq?，則p是q的充分條件，q是p的必要條件．

若pq?，則p是q的充要條件（充分必要條件）．

利用集合間的包含關系：例如：若BA?，則A是B的充分條件或B是A的必要條

件；若A=B，則A是B的充要條件；

6、邏輯聯結詞：⑴且(and)：命題形式pq?；⑵或（or）：命題形式pq?；

⑶非（not）：命題形式p?.

pqpq?

pq?

p?

真真真真假

真假假真假

假真假真

真

假假假

假真

7、⑴全稱量詞——“所有的”、“任意一個”等，用“?”表示；

全稱命題p：)(,xpMx??；全稱命題p的否定?p：)(,xpMx???。

⑵存在量詞——“存在一個”、“至少有一個”等，用“?”表示；

特稱命題p：)(,xpMx??；特稱命題p的否定

?

p：)(,xpMx???；

第二部分圓錐曲線

1、平面內與兩個定點

1

F，

2

F的距離之和等于常數（大于

12

FF）的點的軌跡稱為橢

圓．

即：|)|2(,2||||

2121

FFaaMFMF???。

這兩個定點稱為橢圓的焦點，兩焦點的距離稱為橢圓的焦距．

2、橢圓的幾何性質：

焦點的位置焦點在

x

軸上

焦點在y軸上

圖形

標準方程??22

22

10

xy

ab

ab

??????22

22

10

yx

ab

ab

????

范圍

axa???且byb???bxb???且aya???

頂點

??

1

,0a??、??

2

,0a?

??

1

0,b??、??

2

0,b?

??

1

0,a??、??

2

0,a?

??

1

,0b??、??

2

,0b?

軸長

短軸的長2b?長軸的長2a?

焦點??

1

,0Fc?、??

2

,0Fc??

1

0,Fc?、??

2

0,Fc

焦距??222

12

2FFccab???

對稱性

關于

x

軸、y軸、原點對稱

離心率??2

2

101

cb

ee

aa

?????

3、平面內與兩個定點

1

F，

2

F的距離之差的絕對值等于常數（小于

12

FF）的點的軌跡

稱為雙曲線．即：|)|2(,2||||||

2121

FFaaMFMF???。

這兩個定點稱為雙曲線的焦點，兩焦點的距離稱為雙曲線的焦距．

4、雙曲線的幾何性質：

焦點的位置焦點在

x

軸上

焦點在y軸上

圖形

標準方程??22

22

10,0

xy

ab

ab

??????22

22

10,0

yx

ab

ab

????

范圍

xa??或xa?，yR?

ya??或ya?，xR?

頂點??

1

,0a??、??

2

,0a???

1

0,a??、??

2

0,a?

軸長

虛軸的長2b?實軸的長2a?

焦點??

1

,0Fc?、??

2

,0Fc??

1

0,Fc?、??

2

0,Fc

焦距??222

12

2FFccab???

對稱性

關于

x

軸、y軸對稱，關于原點中心對稱

離心率??2

2

11

cb

ee

aa

????

漸近線方程

b

yx

a

??

a

yx

b

??

5、實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線．

6、平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡稱為拋物線．定點F稱

為拋物線的焦點，定直線l稱為拋物線的準線．

7、拋物線的幾何性質：

標準方程

22ypx?

??0p?

22ypx??

??0p?

22xpy?

??0p?

22xpy??

??0p?

圖形

頂點??0,0

對稱軸

x

軸

y軸

焦點

,0

2

p

F

??

??

??

,0

2

p

F

??

?

??

??

0,

2

p

F

??

??

??

0,

2

p

F

??

?

??

??

準線方程

2

p

x??

2

p

x?

2

p

y??

2

p

y?

離心率1e?

范圍0x?0x?

0y?0y?

8、過拋物線的焦點作垂直于對稱軸且交拋物線于?、?兩點的線段??，稱為拋物線的

“通徑”，即2p???．

9、焦半徑公式：

若點??

00

,xy?在拋物線??220ypxp??上，焦點為F，則

02

p

Fx???；

若點??

00

,xy?在拋物線??220xpyp??上，焦點為F，則

02

p

Fy???；

第三部分導數及其應用

1、函數??fx從

1

x到

2

x的平均變化率：

????

21

21

fxfx

xx

?

?

2、導數定義：??fx在點

0

x處的導數記作

x

xfxxf

xfy

x

xx?

???

?

?

?

?

??

?

)()(

lim)(00

0

0

0

；．

3、函數??yfx?在點

0

x處的導數的幾何意義是曲線

??yfx?

在點

????00

,xfx?

處的切

線的斜率．

4、常見函數的導數公式：

①'C0?；②1')(??nnnxx；③xxcos)(sin'?；④xxsin)(cos'??；

⑤

aaaxxln)('?；⑥xxee?')(；⑦

ax

x

aln

1

)(log'?；⑧

x

x

1

)(ln'?

5、導數運算法則：

??1????????fxgxfxgx

?

??

???

??

??

；

??2????????????fxgxfxgxfxgx

?

??

???

??

??

；

??3

??

??

????????

??

????

2

0

fxfxgxfxgx

gx

gx

gx

?

??

??

?

??

??

??

??

??

．

6、在某個區間??,ab內，若??0fx

?

?，則函數??yfx?在這個區間內單調遞增；

若??0fx

?

?，則函數??yfx?在這個區間內單調遞減．

7、求函數??yfx?的極值的方法是：解方程??0fx

?

?．當??

0

0fx

?

?時：

??1如果在

0

x附近的左側??0fx

?

?，右側??0fx

?

?，那么??

0

fx是極大值；

??2如果在

0

x附近的左側??0fx

?

?，右側??0fx

?

?，那么??

0

fx是極小值．

8、求函數??yfx?在??,ab上的最大值與最小值的步驟是：

??1求函數??yfx?在??,ab內的極值；

??2將函數??yfx?的各極值與端點處的函數值??fa，??fb比較，其中最大的一個是

最大值，最小的一個是最小值．

9、導數在實際問題中的應用：最優化問題。

第四部分復數

1．概念：

(1)z=a+bi∈R?b=0(a,b∈R)

?

z=

z

?z2≥0；

(2)z=a+bi是虛數?b≠0(a,b∈R)；

(3)z=a+bi是純虛數

?

a=0且b≠0(a,b∈R)?z＋z＝0（z≠0）?z2<0；

(4)a+bi=c+di?a=c且c=d(a,b,c,d∈R)；

2．復數的代數形式及其運算：設z

1

=a+bi,z

2

=c+di(a,b,c,d∈R)，則：

(1)z

1

±z

2

=(a+b)±(c+d)i；

(2)z

1

.z

2

=(a+bi)·(c+di)＝（ac-bd）+(ad+bc)i；

(3)z

1

÷z

2

=?

??

??

))((

))((

dicdic

dicbia

i

dc

adbc

dc

bdac

2222?

?

?

?

?

(z

2

≠0);

3．幾個重要的結論：

(1)

ii2)1(2???

；⑷

;

1

1

;

1

1

i

i

i

i

i

i

??

?

?

?

?

?

(2)i性質：T=4；iiiiiinnnn?????????3424144,1,,1；

;03424144???????nnniiii

(3)

z

zzzz

1

11?????。

4．運算律：（1）

);,())(3(;))(2(;

2121

Nnmzzzzzzzzzmm

mmnnmnmnm???????

5．共軛的性質：⑴

2121

)(zzzz???；⑵

2121

zzzz??；⑶

2

1

2

1)(

z

z

z

z

?；⑷

zz?。

6．模的性質：⑴||||||||||||

212121

zzzzzz?????；⑵||||||

2121

zzzz?；⑶

||

||

||

2

1

2

1

z

z

z

z

?；⑷nnzz||||?；

第五部分統計案例

1．線性回歸方程

①變量之間的兩類關系：函數關系與相關關系；

②制作散點圖，判斷線性相關關系

③線性回歸方程：

abxy??

?

（最小二乘法）

1

2

2

1

n

ii

i

n

i

i

xynxy

b

xnx

aybx

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

??

?

?

?

?注意：線性回歸直線經過定點),(yx。

2．相關系數（判定兩個變量線性相關性）：

??

?

??

?

??

??

?

n

i

n

i

ii

n

i

ii

yyxx

yyxx

r

11

22

1

)()(

))((

注：⑴r>0時，變量yx,正相關；r<0時，變量yx,負相關；

⑵①||r越接近于1，兩個變量的線性相關性越強；②||r接近于0時，兩個變量之

間幾乎不存在線性相關關系。

3．回歸分析中回歸效果的判定：

⑴總偏差平方和：?

?

?

n

i

i

yy

1

2)(⑵殘差：

??

??

iii

yye；⑶殘差平方和：

2

1

)(?

?

?

?

n

i

yiyi；⑷回歸平方和：?

?

?

n

i

i

yy

1

2)(－2

1

)(?

?

?

?

n

i

yiyi；⑸相關指數

?

?

?

?

?

?

?

??

n

i

ii

n

i

ii

yy

yy

R

1

2

1

2

2

)(

)(

1。

注：①2R得知越大，說明殘差平方和越小，則模型擬合效果越好；

②2R越接近于1，，則回歸效果越好。

4．獨立性檢驗（分類變量關系）：

隨機變量2K越大，說明兩個分類變量，關系越強，反之，越弱。

第六部分推理與證明

一．推理：

⑴合情推理：歸納推理和類比推理都是根據已有事實，經過觀察、分析、比較、聯想，在

進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們稱為合情推理。

①歸納推理：由某類食物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些

特征的推理，或者有個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理，簡稱歸納。

注：歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理。

②類比推理：由兩類對象具有類似和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具

有這些特征的推理，稱為類比推理，簡稱類比。

注：類比推理是特殊到特殊的推理。

⑵演繹推理：從一般的原理出發，推出某個特殊情況下的結論，這種推理叫演繹推理。

注：演繹推理是由一般到特殊的推理。

“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：⑴大前提---------已知的一般結論；⑵小前提----

-----所研究的特殊情況；⑶結論---------根據一般原理，對特殊情況得出的判斷。

二．證明

⒈直接證明

⑴綜合法

一般地，利用已知條件和某些數學定義、定理、公理等，經過一系列的推理論證，最后推

導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法。綜合法又叫順推法或由因導果法。