有理數定義

有理數基本概念及運算

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（一）有理數的基本概念

1、正數和負數

（1）、大于0的數叫做正數。

（2）、在正數前面加上負號“-”的數叫做負數。

（3）、數0既不是正數，也不是負數，0是正數與負數的分界。

（4）、在同一個問題中，分別用正數與負數表示的量具有相反的意義。

2、有理數

(1)凡能寫成分數形式的數，都是有理數，整數和分數統稱有理數.

注意：0即不是正數，也不是負數；-a不一定是負數，如：-（-2）=4，這個時候的a=-2。

?不是有理數；

(2)有理數的分類:①

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

負分數

負整數

負有理數

零

正分數

正整數

正有理數

有理數②

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

負分數

正分數

分數

負整數

零

正整數

整數

有理數

(3)自然數＜====＞0和正整數；a＞0＜====＞a是正數；a＜0＜====＞a是負數；

a≥0＜====＞a是正數或0＜====＞a是非負數；a≤0＜====＞a是負數或0＜====

＞a是非正數.

3、數軸【重點】

（1）、用一條直線上的點表示數，這條直線叫做數軸。它滿足以下要求：

①在直線上任取一個點表示數0，這個點叫做原點；

②通常規定直線上從原點向右（或上）為正方向，從原點向左（或下）為負方向；

③選取適當的長度為單位長度，直線上從原點向右，每隔一個單位長度取一個點，依次

表示1,2,3…；從原點向左，用類似的方法依次表示-1,-2，-3…

（2）、數軸的三要素：原點、正方向、單位長度。

（3）、畫數軸的步驟：一畫（畫一條直線并選取原點）；二取（取正反向）；三選（選取單位

長度）；四標（標數字）。數軸的規范畫法：是條直線，數字在下，字母在上。

注意：所有的有理數都可以用數字上的點表示，但是數軸上的所有點并不都表示有理數。

（4）、一般地，設a是一個正數，則數軸上表示數a的點在原點的右邊，與原點的距離是a

個單位長度；表示數-a的點在原點的左邊，與原點的距離是a個單位長度。

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4、相反數

（1）、只有符號不同的兩個數叫做互為相反數。

①注意：a-b+c的相反數是-a+b-c；a-b的相反數是b-a；a+b的相反數是-a-b；

②相反數的商為-1；

③相反數的絕對值相等。

（2）、一般地，設a是一個正數，數軸上與原點的距離是a的點有兩個，他們分別在原點的

兩側，表示a和-a，我們說這兩點關于原點對稱。

（3）、a和-a互為相反數。0的相反數是0，正數的相反數是負數，負數的相反數是正數。

相反數是它本身的數只有0。

（4）、在任意一個數前面添上“-”號，新的數就表示原數的相反數。

（5）、若兩個數a、b互為相反數，就可以得到a+b=0；反過來若a+b=0，則a、b互為相反

數。

（6）、多重符號的相乘由“-”的個數來定：若“-”的個數為偶數，相乘結果為正數；若“-

“的個數為奇數，化簡結果為負數。比如：-2×4×（-3）×（-1）×（-5），因為有4個負

號，所以最終結果是正數，再算絕對值的積，得到120.即：-2×4×（-3）×（-1）×（-5）

=+(2×4×3×1×5)=120.

5、絕對值

（1）、絕對值的定義：一個數a的絕對值就是數軸上表示數a的點與原點的距離。數a的絕

對值記作|a|。

（2）、正數的絕對值等于它本身；0的絕對值是0（或者說0的絕對值是它本身，或者說0

的絕對值是它的相反數）；負數的絕對值等于它的相反數；（注意：絕對值的意義是數軸上表

示某數的點離開原點的距離；）。0是絕對值最小的數。

（3）、絕對值可表示為：

?

?

?

?

?

??

?

?

?

)0(

)0(0

)0(

aa

a

aa

a或

?

?

?

??

?

?

)0(

)0(

aa

aa

a；

（4）、

01???a

a

a

；

01????a

a

a

；

（5）、任何數的絕對值總是非負數（非負數是正數或0），即|a|≥0。

（6）、互為相反數的兩個數的絕對值相等。絕對值相等的兩個數可能是互為相反數或者相等。

（7）、有理數比大小：

①正數比0大，0大于負數，正數大于負數；

②兩個負數比較，絕對值大的反而小；

③數軸上的兩個數，右邊的數總比左邊的數大；

（8）、比較兩個負數的大小的步驟如下：

①先求出兩個數負數的絕對值；

②比較兩個絕對值的大小；

③根據“兩個負數，絕對值大的反而小”做出正確的判斷。

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（二）有理數的基本運算

6、有理數的加法

（1）、有理數加法法則【原創】：

①同號相同號，絕對值相加；

②異號取大號，絕對值相減；

③數與0相加，仍得這個數.

④一對相反數，其和等于0.

（2）、加法計算步驟：先定符號，再算絕對值。

（3）、有理數加法的運算律：

①加法的交換律：a+b=b+a；

②加法的結合律：（a+b）+c=a+（b+c）.

（4）、為了計算簡便，往往會采取以下方法：

①互為相反的兩個數，可以先相加；

②符號相同的數，可以先相加；

③分母相同的數，可以先相加；

④幾個數相加能得到整數，可以先相加。

7、有理數的減法

（1）、有理數減法法則：減去一個數，等于加上這個數的相反數；即a-b=a+（-b）.（有理

數減法運算時注意兩“變”：①減法變加法；②把減數變為它的相反數.）

注：有理數的減法實質就是把減法變加法。

8、有理數的乘法

（1）、有理數乘法法則：

①兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；

②任何數同零相乘都得零；

（2）、一個數同1相乘，結果是原數；一個數同-1相乘，結果是原數的相反數。

（3）、乘積為1的兩個數互為倒數；

注意：0沒有倒數；若ab=1<====>a、b互為倒數。

（4）、幾個不是偶的數相乘，積的符號由負因式的個數決定。負因數的個數是偶數時，積是

正數；負因數的個數是奇數是，積是負數。

（5）、有理數乘法的運算律：

①乘法的交換律：ab=ba；

②乘法的結合律：（ab）c=a（bc）；

③乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac.

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9、有理數的除法

（1）、有理數除法法則：除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數。

（2）、有理數除法符號法則：兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。0除以任

何一個不等于0的數，都得0。

（3）、乘除混合運算的步驟：①先把除法轉化為乘法；②確定積的符號；③運用乘法運算律

和乘法法則進行計算得出結果。

10、有理數的乘方

（1）、求n個相同因數的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做冪。在an中，a叫做底數，

n叫做指數。

（2）、an表示的意義是n個a相乘。如：23=2×2×2=8

（3）、分數的乘方，在書寫時一定要把整個分數用小括號括起來。如：（1/2）2

（4）、負數的乘方，在書寫時一定要把整個負數（連同負號）用小括號括起來。

（5）、10的幾次方，冪的結果中1后面就有幾個0。如：105=100000

（6）、負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數。顯然，正數的任何次冪都是正數，0的

任何正整數次冪都是0。1的任何次冪都是1。-1的奇數次冪是-1，-1的偶數次冪是1。

11、科學記數法

（1）、把一個大于10數表示成a×10n的形式（其中a是整數數位只有一位的數，而且

1≤︱a︱＜10，n是正整數），使用的是科學計數法。

（2）、用科學記數法表示一個n位整數，其中10的指數是n-1。

例：240000000用科學計數法記為2.4×108

12、近似數

（1）、接近實際數字，但是與實際數字還是有差別，這個數是一個近似數。

（2）、精確度：近似數與準確數的接近程度可以用精確度表示。

（3）、利用四舍五入法得到的近似數，四舍五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位。

（4）、從一個數的左邊的第一個非0數字起，到末尾數字止，所有的數字都是這個數的有效

數字。

（5）、解題技巧：①近似數精確到哪一位，只需看這個數的最末一位在原數的哪一位。

②當四舍五入到十位或十位以上時，應先用科學記數法表示這個數，再按要求取近似數。

（6）、a×10n中有效數字是指a的有效數字。

13、等于本身的數匯總：

①相反數等于本身的數：0

②倒數等于本身的數：1，-1

③絕對值等于本身的數：正數和0

④平方等于本身的數：0,1

⑤立方等于本身的數：0,1，-1.