三角形內(nèi)切圓性質(zhì)

三角形的內(nèi)切圓——與

內(nèi)切圓半徑有關(guān)的計算

-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-CompanyOne1

2

E

F

D

O

A

B

C

三角形的內(nèi)切圓

——與內(nèi)切圓半徑有關(guān)的計算

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1．理解三角形內(nèi)切圓的有關(guān)概念。

2．掌握三角形的內(nèi)心的位置、數(shù)量特征。

3．會求三角形的內(nèi)切圓半徑，會利用內(nèi)心的相關(guān)性質(zhì)解決計算問題。

【預(yù)備知識】

1.內(nèi)切圓的有關(guān)概念_________________________叫做三角形的內(nèi)切圓，圓心叫做三角形

的內(nèi)心，三角形的內(nèi)心是__________________________的交點。

2.內(nèi)切圓的性質(zhì)

（Ⅰ）內(nèi)心的性質(zhì)：_____________________________的距離相

等。

（Ⅱ）設(shè)S是△ABC面積，a,b，c是三角形三邊長，r為三角形內(nèi)切圓半徑,則三角形面

積與其內(nèi)切圓半徑的關(guān)系為：S=______________

特別地，直角三角形三邊長與內(nèi)切圓半徑關(guān)系為：r=______________

3.切線長定理

經(jīng)過圓外一點的切線，這一點和切點之間的線段長叫做這點到圓的切線

長。從圓外一點引圓的兩條切線，__________________，

________________________________。

b

c

a

r

r

rD

E

F

I

B

A

C

3

4.如何求一個三角形的面積

△ABC中a，b，c是三角形的三邊長，

2

abc

p

??

?

方法①海倫公式()()()Sppapbpc????

方法②

【中考銜接】

(天津中考)已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8。

（Ⅰ）如圖①，若半徑為r

1的⊙O1是Rt△ABC的內(nèi)切圓，求r1；

（Ⅱ）如圖②，若半徑為r

2的兩個等圓⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1與AC、AB

相切，⊙O

2與BC、AB相切，求r2；

（Ⅲ）如圖③，當(dāng)n大于2的正整數(shù)時，若半徑r

n的n個等圓⊙O1、⊙

O2、…、⊙On

依次外切，且⊙O

1與AC、BC相切，⊙On與BC、AB相切，⊙O1、⊙O2、⊙

O3、…、⊙On－1均與AB邊相切，求rn.

拓展路徑1：

C

A

B

D

4

C

B

A

C

B

A

C

B

A

拓展路徑2：

C

B

A

C

B

A

C

B

A

小

結(jié)：類比，由特殊到一般，等面積轉(zhuǎn)化。

【實戰(zhàn)演練】

【練習(xí)1】（2016四川省攀枝花市）如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=3，

AB=5，D為BC邊的中點，以AD上一點O為圓心的⊙O和AB、BC均相切，

則⊙O的半徑為．

【練習(xí)2】（2011年江蘇省南通）如圖，三個半圓依次相外切，它們的圓心

都在x軸上，并與直線y＝

3

3

x相切．設(shè)三個半圓的半徑依次為r1、r2、r3，

則當(dāng)r

1＝1時，r3＝．

【練習(xí)3】（2016年福建龍巖第16題）如圖1～4，在直角邊分別為3和4

的直角三角形中，每多作一條斜邊上的高就增加一個三角形的內(nèi)切圓，依此

O

O1O2O3

x

y

···

5

類推，圖10中有10個直角三角形的內(nèi)切圓，它們的面積分別記為S

1，S2，

S3，…，S10，則S1+S2+S3+…+S10=．

【練習(xí)4】（2014山東省濟(jì)寧市部分）（2）理解應(yīng)用：如圖，在等腰梯形

ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=13，⊙O1與⊙O2分別為△ABD與△

BCD的內(nèi)切圓，設(shè)它們的半徑分別為r1和r2，求

2

1

r

r

的值.

【參考答案】

9

14

2

1?

r

r

.

【練習(xí)5】（2016廣西桂林第23題）已知任意三角形的三邊長，如何求三角

形面積

古希臘的幾何學(xué)家海倫解決了這個問題，在他的著作《度量論》一書中給出

了計算公式﹣﹣海倫公式()()()Sppapbpc????（其中a，b，c是三角形

的三邊長，

2

abc

p

??

?

，S為三角形的面積），并給出了證明

例如：在△ABC中，a=3，b=4，c=5，那么它的面積可以這樣計算：

∵a=3，b=4，c=5∴

2

abc

p

??

?

=6

∴()()()Sppapbpc????==6

6

事實上，對于已知三角形的三邊長求三角形面積的問題，還可用我國南宋時

期數(shù)學(xué)家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解決．

如圖，在△ABC中，BC=5，AC=6，AB=9

（1）用海倫公式求△ABC的面積；（2）求△ABC的內(nèi)切圓半徑r．

【練習(xí)6】（上海市普陀區(qū)中考二模）如圖，Rt△ABC，∠ABC＝90°，圓O

與圓M外切，圓O與線段AC、線段BC、線段AB相切于點E、D、F，圓M

與線段AC、線段BC都相切，其中AB＝5，BC＝12。求：

（1）圓O的半徑r；

（2）

2

tan

C

；（即

DC

OD

）

（3）

2

sin

C

；（即

OC

OD

）

（4）圓M的半徑

M

r

。

圖①

7

圖

②

圖③

8