兩點的距離公式

8.1兩點間的距離公式及中點公式(教學設計)

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【課題】8．1兩點間的距離公式及中點公式

【教材說明】

本人所用教材為江蘇教育出版社，鳳凰職教《數學·第二冊》。平面解析是用代數方法

研究平面幾何問題的學科，第八章《直線與圓的方程》屬于平面解析幾何學的基礎知識。它

側重于數形結合的方法和形象思維的特征，綜合了平面幾何、代數、三角等知識。

【學情分析】

學生是一年級數控中專班，上課不能長時間集中注意力，計算能力不強，對抽象的知

識理解能力不強，但是對直觀的事物能夠理解，對新事物也有較強的接受能力。

【教學目標】

知識目標：

1.了解平面直角坐標系中的距離公式和中點公式的推導過程．

2.掌握兩點間的距離公式與中點坐標公式．

能力目標：

用“數形結合”的方法，介紹兩個公式．培養學生解決問題的能力與計算能力．

情感目標：

通過觀察、對比體會數學的對稱美和諧美，培養學生的思考能力，學會從已有知識出發

主動探索未知世界的意識及對待新知識的良好情感態度．

【教學重點】

兩點間的距離公式與線段中點的坐標公式的運用．

【教學難點】

兩點間的距離公式的理解．

【教學備品】

三角板．

【教學方法】

討論合作法

【課時安排】

2課時．(90分鐘)

【教學設計】

針對學生的情況，本人在教學中的引入盡量安排多個實例，多講具體的東西，少說抽象

的東西，以激發學生的學習興趣。在例題和練習的安排上多畫圖，努力貫徹數形結合的思想，

讓學生逐步接受和養成畫圖的習慣，用圖形來解決問題。這也恰恰和學生本身的專業比較符

合，學生學過機械制圖，數控需要編程，編程又需要對一些曲線方程有充分的了解。同時在

教學中經常用分組討論法，探究發現法，逐步培養學生的協作能力和獨立思考的能力。

兩點間距離公式和中點坐標公式是解析幾何的基本公式，教材采用“知識回顧”的方式

8.1兩點間的距離公式及中點公式(教學設計)

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給出這兩個公式．講授時可結合剛學過的向量的坐標和向量的模的定義講解，但講解的重點

應放在公式的應用上．

【教學過程】

環節教學內容師生互動設計意圖

復習

回顧

第一課時

1.向量的坐標表示。

2.向量的模的計算。|a

?

|=22yx?

3.平面直角坐標系中，設

111

(,)Pxy，

222

(,)Pxy，則

122121

(,)???PPxxyy．

教師提出問題

學生思考回憶為公式的推

導做鋪墊

探究

引入

1.兩點間距離公式

探究一

大海中有兩個小島，一個

在燈塔東60海里偏北80海里

1

P點處，另一個在燈塔西10

海里偏北55海里

2

P點處，那

么如何確定這兩島之間的距

離呢？

師提問：我們能不能

用已經學過的向量的知識

來解決這個問題。

提出問

題，激發學生

的學習興趣．

新

課

一般地，設點

111

(,)Pxy，

222

(,)Pxy為直接坐標平

面上的任意兩點，我們將向量

12

PP的模，叫做點

1

P、

2

P

之間的距離，記作

12

PP，則

2

12

2

1221

)()(||yyxxPP????

這就是平面上任意兩點間的距離公式。

例1：已知兩點M(8,10)N(12,22)，求線段MN的

長度。

解:根據平面內兩點間的距離公式，得

|MN|=104124)1022()812(2222??????，

師提示：建立適當的

直角坐標系

1.坐標表示兩個小島

的位置。

2.

12

PP如何表示，

是多少？

3.兩個小島的距離能

不能用

12

PP的模表示。

教師在學生探究的基

礎上，投影距離公式，并

讓學生記憶．

教師引導學生探究依

據公式求兩點間的距

離．強調點坐標的對應。

將探究

問題細化為3

個小問題，層

層遞進，降低

了問題的難

度，從而有利

于學生解答．

在探究

過程中，進一

步深化對公

式的理解與

掌握．

通過例

題的解答，使

學生明確兩

點間距離公

式的直接應

2

P

1

P

燈塔

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新

課

即線段MN的長度為4

10

.

練習一

求兩點之間的距離：

（1）A(6，2)，B(－2，5)；

（2）C(2，－4)，D(7，2)．

例2：已知三角形的頂點分別為)6,2(A，)3,4(?B，

)0,1(C，求ABC?三條邊的長度。

練習二

求證：以點)8,6(?A，)8,6(?B，)6,8(C為頂點的三

角形是等腰三角形。

例3(補充)：已知點A(10,a)，B(4,-2).|AB|=10,求a.

練習

在y軸上有一點P，它有點)6,4(?Q的距離是5，

求點P的坐標。

第二課時

2.中點坐標公式

探究二

如圖所示，若已知線段P

1

P

2

兩個端點的坐標為

111

(,)Pxy，

222

(,)Pxy，設線段P

1

P

2

的中點為P(x,y),那

能不能用P

1

，P

2

的坐標來表示P點的坐標。

有PP

1

=),(

11

yyxx??，

2

PP=),(

22

yyxx??。

因為PP

1

=

2

PP，所以

?

?

?

???

???

yyyy

xxxx

21

21

，

學生練習，教師巡視

指導．

教師引導學生先畫

圖，直觀理解，后使用公

式計算。

三邊長度關系轉化兩

點間的距離。

公式的進一步運用

教師提出要探究的問

題，學生解答以下問題：

（1）向量PP

1

和向量

2

PP方向是否相同？

（2）向量PP

1

和向量

2

PP的模的大小關系如

何？

（3）向量PP

1

和向量

2

PP是相等向量嗎？

用．

檢驗學

生對公式掌

握情況．

畫圖幫助

學生養成數

形結合的思

考習慣。

數形結

合，計算適當

的邊。

培養學

生的逆向思

維。

將問題

細化為3問，

降低難度，學

生容易在解

答過程中得

到公式．

y

O

x

P

1

(x

1

,y

1

)

P(x,y)

P

2

(x

2

,y

2

)

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新

課

解得

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

2

2

21

21

yy

y

xx

x

。

中點P的坐標由點P

1

，P

2

的坐標表示出來，這個公

式叫做中點坐標公式，簡稱中點公式。

例4：已知點)2,9(?A，)3,1(?B，求線段AB的中點

Q的坐標。

例5：已知線段MN，它的中點坐標是)2,3(，端點N

的坐標是)2,1(?，求另一個端點M的坐標。

練習三

1.已知點M

1

（-1,3）和M

2

（5,0），線段M

1

M

2

的中點

坐標是。

2.已知點P（6，-2）和Q（3，-8），線段PQ的中點

坐標是。

3．已知兩點M（-3，m）和N（n，10），且線段MN

的中點坐標是（3，-4），求m，n。

例6：已知ABC?的三個頂點分別為)2,

2

1

(A，

)4,3(?B，)6,2(C，（1）畫出該三角形；（2）求ABC?

的BC邊上的中線AD的長。

練習四

三角形的三個頂點是)1,2(A，)3,2(?B，)1,0(?C，

求三角形三條中線的長度。

教師寫出結論，學生

理解掌握．

例4，例5可以配圖。

學生練習，教師巡視．

教師規范解題步驟．

教師畫圖，學生思考

學生練習，教師巡視．

幫助學生從

數形結合方

面理解題意。

結合兩

點間距離公

式，有一定的

綜合性，注意

在數形結合

中啟發學生。

檢驗例6

的掌握情況．

小

結

1．直角坐標系中兩點間的距離公式．

2．直角坐標系中兩點的中點公式．

教師引導學生回

顧總結本節所學內容．

簡潔明

了地概括本

節課的重要

知識，學生

易于理解記

憶．

作

業

教材P68習題第1、2、3、6題

標記作業．針對學

生實際，對

課后書面作

8.1兩點間的距離公式及中點公式(教學設計)

5/55/5

業實施分層

設置．

教學反思：

開始時的復習引入學生反應不是很好，前面的向量知識學生掌握不熟練，后面的公式推

導不是很順暢。所以在前面向量部分講到這個知識點一定要強調，注重前后章節的聯系。

教學中能夠畫圖的，盡量畫圖，不斷灌輸數形結合的思想，讓學生養成畫圖解決問題的習慣。