基本公式

1/16

1．基本求導公式

⑴0)(?

?

C（C為常數）⑵1)(??

?nnnxx；一般地，1)(??

????xx。

特別地：1)(?

?

x，xx2)(2?

?，

2

1

)

1

(

x

x

??

?，

x

x

2

1

)(?

?。

⑶xxee?

?

)(；一般地，)1,0(ln)(???

?

aaaaaxx。

⑷

x

x

1

)(ln?

?；一般地，)1,0(

ln

1

)(log???

?

aa

ax

x

a

。

2．求導法則⑴四則運算法則

設f(x)，g(x)均在點x可導，則有：（Ⅰ）)()())()((xgxfxgxf

?

?

?

?

?

?；

（Ⅱ）)()()()())()((xgxfxgxfxgxf

?

?

?

?

?，特別)())((xfCxCf

?

?

?（C為常數）；

（Ⅲ）)0)((,

)(

)()()()(

)

)(

)(

(

2

?

?

?

?

?

?

xg

xg

xgxfxgxf

xg

xf

，特別

2

1()

()

()

()

gx

gx

gx

?

?

??。

3．微分函數()yfx?在點x處的微分：()dyydxfxdx

??

??

常用的不定積分公式

（1）

?

????

??

????????

?

??

c

x

dxx

x

dxxc

x

xdxcxdxCxdxx

4

3

,

2

,),1(

1

1

4

3

3

2

2

1?

?

??

；

（2）Cxdx

x

???||ln

1

；Cedxexx???；)1,0(

ln

?????aaC

a

a

dxa

x

x；

（3）???dxxfkdxxkf)()(（k為常數）

5、定積分

()()|()()b

b

a

a

fxdxFxFbFa????

⑴??????b

a

b

a

b

a

dxxgkdxxfkdxxgkxfk)()()]()([

2121

⑵分部積分法

設u(x)，v(x)在[a，b]上具有連續導數)(),(xvxu

??，則

2/16

????b

a

b

a

b

a

xduxvxvxuxdvxu)()()()()()(

6、線性代數

特殊矩陣的概念

（1）、零矩陣,

00

00

22?

?

?

?

?

?

?

?

O（2）、單位矩陣

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

100

010

001

?

????

?

?

n

I二階

,

10

01

22?

?

?

?

?

?

?

?

I

(3)、對角矩陣

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

n

a

a

a

A

000

00

00

2

1

????

?

?

(4)、對稱矩陣

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

????

752

531

212

,Aaa

jiij

(5)、上三角形矩陣

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

nn

n

n

a

aa

aaa

A

000

0

222

11211

????

?

?

下三角形矩陣

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

n

a

a

a

A

000

00

00

2

1

????

?

?

(6)、矩陣轉置

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

?

????

?

?

21

22221

11211

轉置后

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

nnnn

n

n

T

aaa

aaa

aaa

A

?

????

?

?

21

22212

12111

6、矩陣運算

?

?

?

?

?

?

??

??

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

??

hdgc

fbea

hg

fe

dc

ba

BA

?

?

?

?

?

?

??

??

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

dhcfdgce

bhafbgae

hg

fe

dc

ba

AB

7、MATLAB軟件計算題

例6試寫出用MATLAB軟件求函數

)eln(2xxxy???

的二階導數y

??

3/16

的命令語句。

解：>>clear;

>>symsxy;

>>y=log(sqrt(x+x^2)+exp(x));

>>dy=diff(y,2)

例：試寫出用MATLAB軟件求函數

)eln(xxy??的一階導數y

?的命

令語句。

>>clear;

>>symsxy;

>>y=log(sqrt(x)+exp(x));

>>dy=diff(y)

例11試寫出用MATLAB軟件計算定積分?2

1

de

13x

x

x的命令語句。

解：>>clear;

>>symsxy;

>>y=(1/x)*exp(x^3);

>>int(y,1,2)

例試寫出用MATLAB軟件計算定積分?x

x

xde

13的命令語句。

解：>>clear;

>>symsxy;

>>y=(1/x)*exp(x^3);

>>int(y)

MATLAB軟件的函數命令

4/16

表1MATLAB軟件中的函數命令

函數axxxe

xln

xlgx

2

log

x

MATLAB

ax^

)(xsqrt)exp(x)log(x)(10logx)(2logx)(xabs

運算符號

運算符+-*/^

功能加減乘除乘方

典型例題

例1設某物資要從產地A

1

，A

2

，A

3

調往銷地B

1

，B

2

，B

3

，B

4

，運輸

平衡表（單位：噸）和運價表（單位：百元/噸）如下表所示：

運輸平衡表與運價表

銷地

產地

B

1

B

2

B

3

B

4

供應

量

B

1

B

2

B

3

B

4

A

1

7311311

A

2

41928

A

3

974105

需求量365620

（1）用最小元素法編制的初始調運方案，

（2）檢驗上述初始調運方案是否最優，若非最優，求最優調運方案，

并計算最低運輸總費用。

解：用最小元素法編制的初始調運方案如下表所示：

運輸平衡表與運價表

5/16

找空格對應的閉回路，計算檢驗數：

11

?＝1，

12

?＝1，

22

?＝0，

24

?＝－2

已出現負檢驗數，方案需要調整，調整量為1

調整后的第二個調運方案如下表：

運輸平衡表與運價表

銷地

產地

B

1

B

2

B

3

B

4

供應

量

B

1

B

2

B

3

B

4

A

1

527311311

A

2

3141928

A

3

63974105

需求量365620

求第二個調運方案的檢驗數：

11

?＝－1

已出現負檢驗數，方案需要再調整，調整量為2

調整后的第三個調運方案如下表：

銷地

產地

B

1

B

2

B

3

B

4

供應

量

B

1

B

2

B

3

B

4

A

1

437311311

A

2

3141928

A

3

63974105

需求量365620

6/16

運輸平衡表與運價表

銷地

產地

B

1

B

2

B

3

B

4

供應

量

B

1

B

2

B

3

B

4

A

1

257311311

A

2

1341928

A

3

63974105

需求量365620

求第三個調運方案的檢驗數：

12

?＝2，

14

?＝1，

22

?＝2，

23

?＝1，

31

?＝9，

33

?＝12

所有檢驗數非負，故第三個調運方案最優，最低運輸總費用為：

2×3＋5×3＋1×1＋3×8＋6×4＋3×5＝85（百元）

例2某物流公司下屬企業經過對近期銷售資料分析及市場預測得知，

該企業生產的甲、乙、丙三種產品，均為市場緊俏產品，銷售量一直

持續上升經久不衰。今已知上述三種產品的單位產品原材料消耗定額

分別為4公斤、4公斤和5公斤；三種產品的單位產品所需工時分別

為6臺時、3臺時和6臺時。另外，三種產品的利潤分別為400元/

件、250元/件和300元/件。由于生產該三種產品的原材料和工時的

供應有一定限制，原材料每天只能供應180公斤，工時每天只有150

臺時。

1．試建立在上述條件下，如何安排生產計劃，使企業生產這三種產

品能獲得利潤最大的線性規劃模型。

2.寫出用MATLAB軟件計算該線性規劃問題的命令語句。

7/16

解：1、設生產甲、乙、丙三種產品分別為x

1

件、x

2

件和x

3

件，顯然

x

1

，x

2

，x

3

≥0

線性規劃模型為

?

?

?

?

?

?

???

???

???

0

150636

180544

300250400max

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

xxxS

，，

2．解上述線性規劃問題的語句為：

>>clear;

>>C=-[400250300];

>>A=[445;636];

>>B=[180;150];

>>LB=[0;0;0];

>>[X,fval,exitflag]=linprog(C,A,B,[],[],LB)

例3已知矩陣

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

21

01

11

14

12

210

101

CBA，，，求：TCAB?

解：

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

??

36

12

20

11

16

01

21

01

11

14

12

210

101

CAB

例4設y＝(1＋x2)lnx，求：y

?

解：

x

x

xxxxxxy

2

22

1

ln2))(ln1(ln)1(

?

??

?

??

?

??

?

例5設

x

y

x

?

?

1

e

，求：y

?

解：

22)1(

e

)1(

)1(e)1()e(

x

x

x

xx

y

xxx

?

?

?

?

???

?

?

?

8/16

例7某廠生產某種產品的固定成本為2萬元，每多生產1百臺產品，

總成本增加1萬元，銷售該產品q百臺的收入為R(q)＝4q－0.5q2（萬

元）。當產量為多少時，利潤最大？最大利潤為多少？

解：產量為q百臺的總成本函數為：C(q)＝q＋2

利潤函數L(q)＝R(q)－C(q)＝－0.5q2＋3q－2

令ML(q)＝－q＋3＝0得唯一駐點q＝3（百臺）

故當產量q＝3百臺時，利潤最大，最大利潤為

L(3)＝－0.5×32＋3×3－2＝2.5（萬元）

例8某物流企業生產某種商品，其年銷售量為1000000件，每批生產

需準備費1000元，而每件商品每年庫存費為0.05元，如果該商品年

銷售率是均勻的，試求經濟批量。

解：庫存總成本函數

q

q

qC

1000000000

40

)(??

令0

1000000000

40

1

)(

2

???

?

q

qC得定義域內的唯一駐點q＝200000件。

即經濟批量為200000件。

例9計算定積分：??1

0

d)e3(xxx

解：

2

5

e3)e3

2

1

(d)e3(|1

0

2

1

0

??????xxxxx

例10計算定積分：??

3

1

2d)

2

(x

x

x

解：3ln2

3

26

|)|ln2

3

1

(d)

2

(|3

1

3

3

1

2??????xxx

x

x

教學補充說明

1.對編程問題，要記住函數ex，lnx，x在MATLAB軟件中相應的

命令函數exp(x)，log(x)，sqrt(x)；

9/16

2對積分問題，主要掌握積分性質及下列三個積分公式：

cx

a

xxaa?

?

???1

1

1

d（a≠－1）

cxxx???ede

cxx

x

???||lnd

1

7.記住兩個函數值：e0＝1，ln1＝0。

模擬試題

一、單項選擇題：（每小題4分，共20分）

1.若某物資的總供應量（C）總需求量，可增設一個虛銷地，其

需求量取總供應量與總需求量的差額，并取各產地到該銷地的單位運

價為0，則可將該不平衡運輸問題化為平衡運輸問題。

(A)等于(B)小于

(C)大于(D)不超過

2．某物流公司有三種化學原料A

1

，A

2

，A

3

。每公斤原料A

1

含B

1

，

B

2

，B

3

三種化學成分的含量

2

含B

1

，B

2

，B

3

的含量

3

含B

1

，B

2

，B

3

的含量A

1

，A

2

，A

3

的成本分別為500元、300元和400元。今需要

B

1

成分至少100公斤，B

2

成分至少50公斤，B

3

成分至少80公斤。

為列出使總成本最小的線性規劃模型，設原料A

1

，A

2

，A

3

的用量分

別為x

1

公斤、x

2

公斤和x

3

公斤，則目標函數為（D）。

(A)maxS＝500x

1

＋300x

2

＋

400x

3

(B)minS＝100x

1

＋50x

2

＋80x

3

(C)maxS＝100x

1

＋50x

2

＋

80x

3

(D)minS＝500x

1

＋300x

2

＋

400x

3

10/16

3.設

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

7

21

,

74

21

x

B

x

A，并且A＝B，則x＝（C）。

(A)4(B)3

(C)2(D)1

4．設運輸某物品q噸的成本（單位：元）函數為C(q)＝q2＋50q＋2000，

則運輸該物品100噸時的平均成本為（A）元/噸。

(A)170(B)250

(C)1700(D)17000

5.已知運輸某物品q噸的邊際收入函數為MR(q)，則運輸該物品從

100噸到300噸時的收入增加量為（D）。

(A))0(d)(

300

100

CqqMR??(B)?100

300

d)(qqMR

(C)?qqMRd)((D)?300

100

d)(qqMR

二、計算題：（每小題7分，共21分）

6．已知矩陣

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

21

01

11

14

12

210

101

CBA，，，求：AB＋C

解：

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

??

37

02

21

01

16

01

21

01

11

14

12

210

101

CAB

7.設

31

ln

x

x

y

?

?，求：y

?

解：

23

2

3

23

33

)1(

ln3

1

)1(

)1()(ln)1()(ln

x

xx

x

x

x

xxxx

y

?

?

?

?

?

?

?????

?

?

?

8.計算定積分：??

1

0

3d)e2(xxx

解：

4

7

e2)e2

4

1

(d)e2(|1

0

4

1

0

3??????xxxxx

三、編程題：（每小題6分，共12分）

11/16

9.試寫出用MATLAB軟件求函數)eln(2xxxy???的二階導數y

??的命

令語句。解：>>clear;

>>symsxy;

>>y=log(sqrt(x+x^2)+exp(x));

>>dy=diff(y,2)

10.試寫出用MATLAB軟件計算定積分?1

0

dexxx的命令語句。

解：>>clear;

>>symsxy;

>>y=x*exp(sqrt(x));

>>int(y,0,1)

四、應用題（第11、12題各14分，第13題19分，共47分）

11.某物流企業生產某種商品，其年銷售量為1000000件，每批生產

需準備費1000元，而每件商品每年庫存費為0.05元，如果該商品年

銷售率是均勻的，試求經濟批量。

解：庫存總成本函數

q

q

qC

1000000000

40

)(??

令0

1000000000

40

1

)(

2

???

?

q

qC得定義域內的惟一駐點q＝200000件。

即經濟批量為200000件。

12.某物流公司下屬企業經過對近期銷售資料分析及市場預測得知，

該企業生產的甲、乙、丙三種產品，均為市場緊俏產品，銷售量一直

持續上升經久不衰。今已知上述三種產品的單位產品原材料消耗定額

分別為4公斤、4公斤和5公斤；三種產品的單位產品所需工時分別

為6臺時、3臺時和6臺時。另外，三種產品的利潤分別為400元/

12/16

件、250元/件和300元/件。由于生產該三種產品的原材料和工時的

供應有一定限制，原材料每天只能供應180公斤，工時每天只有150

臺時。試建立在上述條件下，如何安排生產計劃，使企業生產這三種

產品能獲得利潤最大的線性規劃模型，并寫出用MATLAB軟件計算

該線性規劃問題的命令語句。

解：設生產甲、乙、丙三種產品分別為x

1

件、x

2

件和x

3

件，顯然x

1

，

x

2

，x

3

≥0

線性規劃模型為

?

?

?

?

?

?

???

???

???

0

150636

180544

300250400max

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

xxxS

，，

解上述線性規劃問題的語句為：

>>clear;

>>C=-[400250300];

>>A=[445;636];

>>B=[180;150];

>>LB=[0;0;0];

>>[X,fval,exitflag]=linprog(C,A,B,[],[],LB)

線性規劃習題

1.某物流公司下屬企業生產甲、乙兩種產品，要用A，B，C三種不

同的原料，從工藝資料知道：每生產一件產品甲，需用三種原料分別

為1，1，0單位；生產一件產品乙，需用三種原料分別為1，2，1單

位。每天原料供應的能力分別為6，8，3單位。又知，銷售一件產品

13/16

甲，企業可得利潤3萬元；銷售一件產品乙，企業可得利潤4萬元。

試寫出能使利潤最大的線性規劃模型，并用MATLAB軟件計算（寫

出命令語句，并用MATLAB軟件運行）。

解：設生產甲產品

1

x

噸，乙產品

2

x

噸。

線性規劃模型為：

21

43maxxxS??

?

?

?

?

?

?

?

?

?

??

??

0,

3

82

6

21

2

21

21

xx

x

xx

xx

用MATLAB軟件計算該線性規劃模型的命令語句為：

>>clear;

>>C=-[34];

>>A=[11;12;01];

>>B=[6;8;3];

>>LB=[0;0];

>>[X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)

2.某物流公司有三種化學產品A

1

，A

2

，A

3

都含有三種化學成分B

1

，

B

2

，B

3

，每種產品成分含量及價格(元/斤)如下表，今需要B

1

成分至

少100斤，B

2

成分至少50斤，B

3

成分至少80斤，試列出使總成本

最小的線性規劃模型。

相關情況表

產品含每斤產品的成分含量

14/16

量

成分

A

1

A

2

A

3

B

1

B

2

B

2

0.7

0.2

0.1

0.1

0.3

0.6

0.3

0.4

0.3

產品價格(元/斤)500300400

解：設生產

1

A產品

1

x公斤,生產

2

A產品

2

x公斤,生產

3

A產品

3

x公斤,

?

?

?

?

?

?

?

?

???

???

???

???

0,,

803.06.01.0

504.03.02.0

1003.01.07.0

400300500min

321

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

xxx

xxxS

3.某物流企業下屬家具廠生產桌子和椅子，產品的銷路挺好。生產

每X桌子的利潤為12元，每X椅子的利潤為10元。生產每X桌子

在該廠的裝配中心需要10分鐘，在精加工中心需要20分鐘；生產每

X椅子在裝配中心需要14分鐘，在精加工中心需要12分鐘。該廠裝

配中心一天可利用的時間不超過1000分鐘，精加工中心一天可利用

的時間不超過880分鐘。假設生產桌子和椅子的材料能保證供給。試

寫出使企業獲得最大利潤的線性規劃模型，并用MATLAB軟件計算

（寫出命令語句，并用MATLAB軟件運行出結果）

解：設生產桌子

1

xX，生產椅子

2

xX

?

?

?

?

?

?

??

??

??

0,

8801220

10001410

1012max

21

21

21

21

xx

xx

xx

xxS

MATLAB軟件的命令語句為：

15/16

>>clear;

>>C=-[1210];

>>A=[1014;2012];

>>B=[1000；880];

>>LB=[0;0];

>>[X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)

4、某物流企業在一個生產周期內生產甲、乙兩種產品，這兩種產品

分別需要A,B,C,D四種不同的機床加工，這四種機床的可用工時分別

為1500，1200，1800，1400.每件甲產品分別需要A,B,C機床加工4

工時、2工時、5工時；每件乙產品分別需要A,B,D機床加工3工時、

3工時、2工時。又知甲產品每件利潤6元，乙產品每件利潤8元。

試寫出能獲得最大利潤的線性規劃問題。

解：設生產甲產品

1

x

件，乙產品

2

x

件。

線性規劃模型為：

21

86maxxxS??

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

??

??

0,

14002

18005

120032

150034

21

2

1

21

21

xx

x

x

xx

xx

用MATLAB軟件計算該線性規劃模型的命令語句為：

>>clear;

>>C=-[68];

>>A=[43;23;50；02];

16/16

>>B=[1500；1200；1800；1400];

>>LB=[0;0];

>>[X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)

某物流企業用甲、乙兩種原材料生產A,B,C三種產品。企業現有甲原

料30噸，乙原料50噸。每噸A產品需要甲原料2噸；每噸B產品

需要甲原料1噸，乙原料2噸；每噸C產品需要乙原料4噸。又知

每噸A,B,C產品的利潤分別為3萬元、2萬元和0.5萬元。試寫出能

獲得最大利潤的線性規劃問題。

解：設生產A產品

1

x

噸，B產品

2

x

噸，C產品

3

x

噸。

線性規劃模型為：

321

5.023maxxxxS???

?

?

?

?

?

?

?

?

??

??

0,,

5042

302

321

32

21

xxx

xx

xx

用MATLAB軟件計算該線性規劃模型的命令語句為：

>>clear;

>>C=-[320.5];

>>A=[21;24];

>>B=[30；50];

>>LB=[0;0；0];

>>[X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)