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2022
年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（乙卷）數(shù)學（理
科）
一、單選題（本大題共
12
小題，共
60.0
分）
1.設(shè)全集
??={1,2,3,4,5}
，集合
??
滿足
?
??
??={1,3}
，則
()
A.2∈??B.3∈??C.4???D.5???
2.已知
??=1?2??
，且
??+????+??=0
，其中
??
，
??
為實數(shù)，則
()
A.??=1
，
??=?2B.??=?1
，
??=2
C.??=1
，
??=2D.??=?1
，
??=?2
3.已知向量
??
，
??
滿足
|???|=1
，
|??
?
|=
√
3
，
|????2??
?
|=3
，則
???·??
?
=()
A.?2B.?1C.1D.2
4.嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛
行的人造行星
.
為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列
{??
??
}:??
1
=1+1
??
1
，
??
2
=1+1
??
1
+
1
??
2
，，
?
，依此類推，其中
??
??
∈
???(??=1,2,?).
則
()
A.??
1
5
B.??
3
??
C.??
6
2
D.??
4
7
5.設(shè)
??
為拋物線??:??2=4??的焦點，點
??
在
??
上，點
??(3,0)
，若
|????|=|????|
，則
|????|=()
A.2B.
2
√
2
C.3D.
3
√
2
6.執(zhí)行右邊的程序框圖，輸出的
??=()
A.3
B.4
C.5
D.6
7.在正方體
???????????
1
??
1
??
1
??
1
中，
??
，
??
分別為
????
，
????
的中點，則
()
A.平面
??
1
????⊥
平面
??????
1
B.平面
??
1
????⊥
平面
??
1
????
C.平面
??
1
????//
平面
??
1
????D.平面
??
1
????//
平面
??
1
??
1
??
第2頁，共17頁
8.已知等比數(shù)列
{??
??
}
的前
3
項和為
168
，
??
2
???
5
=42
，則
??
6
=()
A.14B.12C.6D.3
9.已知球
??
的半徑為
1
，四棱錐的頂點為
??
，底面的四個頂點均在球
??
的球面上，則當
該四棱錐的體積最大時，其高為
()
A.1
3
B.1
2
C.√
3
3
D.√
2
2
10.某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨立
.
已知該棋手與
甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為
??
1
，
??
2
，
??
3
，且
??
3
>??
2
>??
1
>0.
記該棋手連勝
兩盤的概率為
??
，則
()
A.??
與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)
B.該棋手在第二盤與甲比賽，
??
最大
C.該棋手在第二盤與乙比賽，
??
最大
D.該棋手在第二盤與丙比賽，
??
最大
11.對曲線
??
的兩個焦點為
??
1
，
??
2
，以
??
的實軸為直徑的圓記為
??
，過
??
1
作
??
的切線與
??
交于
??
，
??
兩點，且
cos∠??
1
????
2
=3
5
，則
??
的離心率為
()
A.√
5
2
B.3
2
C.√
13
2
D.√
17
2
12.已知函數(shù)
??(??)
，
??(??)
的定義域均為
??
，且
??(??)+??(2???)=5
，
??(??)???(???4)=7
，
若
??=??(??)
的圖像關(guān)于直線
??=2
對稱，
??(2)=4
，則
∑
??
22
??=1
(??)=(
)
A.?21B.?22C.?23D.?24
二、填空題（本大題共
4
小題，共
20.0
分）
13.從甲、乙等
5
名同學中隨機選
3
名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為．
14.過四點
(0,0)
，
(4,0)
，
(?1,1)
，
(4,2)
中的三點的一個圓的方程為．
15.記函數(shù)
??(??)=cos(????+??)(??>0,0
的最小正周期為
??
，若
??(??)=√
3
2
，
??=
??
9
為
??(??)
的零點，則
??
的最小值為．
16.已知
??=??
1
和
??=??
2
分別是函數(shù)??(??)=2??
???????2(??>0且
??≠1)
的極小值點和極
大值點，若
??
1
2
，則
??
的取值范圍是
三、解答題（本大題共
7
小題，共
80.0
分）
第3頁，共17頁
17.記
????????
的內(nèi)角
??
、
??
、
??
的對邊分別為
??
、
??
、
??
，已知
sin??sin(?????)=sin??sin(?????)
．
(1)
證明：2??2=??2+??2;
(2)
若
??=5
，
cos??=25
31
，求
????????
的周長．
18.如圖，四面體
????????
中
????⊥????
，
????=????
，
∠??????=∠??????
，
??
為
????
中點．
(1)
證明：平面
??????⊥
平面
??????;
(2)
設(shè)
????=????=2
，∠??????=600
，點
??
在
????
上，當
△??????
的面積最小時，求
????
與
平面
??????
所成角的正弦值．
19.某地經(jīng)過多年的環(huán)填治理，已將就山改造成了綠水青山
.
為估計一林區(qū)某種樹木的
總材積量，隨機選取了
10
棵這種村木，測量每棵村的根部橫截而積
(
心位：??
2)和
材積量(??
3)，得到如下數(shù)據(jù)：
樣本數(shù)號
??
總和
根部橫截面積
??
??
0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6
材積量
??
??
0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9
并計算得
∑
??
??
2
10
??=1
=0.038
，
∑
??
??
210
??=1
=1.6158
，
∑
??
??
10
??=1
??
1
=0.2474
．
(1)
估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量：
(2)
求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)
(
精確到
0.01);
(3)
現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫
截面積總和為186??
2.已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比
.
利用以上數(shù)
據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值．
附：相關(guān)系數(shù)
??=
∑
(
??
??
???
)??
??=1
(
??
??
???
)
√
∑
(
??
??
???
)2
??
??=1
∑
(
??
??
???
)2
??
??=1
，√
1.896≈1.377
．
20.已知橢圓
??
的中心為坐標原點，對稱軸為
??
軸，
??
軸，且過
??(0,?2)
，
??(
3
2
,?1)
兩點
(1)
求
??
的方程
;
(2)
設(shè)過點
??(1,?2)
的直線交
??
于
??
，
??
兩點，過
??
且平行于
??
的直線與線段
????
交于點
??
，點
??
滿足
????
??????
=????
??????
，證明：直線
????
過定點．
21.已知函數(shù)
??(??)=ln(1+??)+?????????
．
(1)
當
??=1
時，求曲線
??(??)
在點
(0,??(0))
處的切線方程：
(2)
若
??(??)
在區(qū)間
(?1,0)
，
(0,+∞)
各恰有一個零點，求
??
的取值范圍．
第4頁，共17頁
22.在直角坐標系
??????
中，曲線
??
的方程為
{
??=
√
3cos2??
??=2sin??
(??
為參數(shù)
).
以坐標原點為極點，
??
軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線
??
的極坐標方程為
??sin(??+??
3
)+??=0
．
(1)
寫出
??
的直角坐標方程：
(2)
若
??
與
??
有公共點，求
??
的取值范圍．
已知
??.??.??
為正數(shù)，且??3
2+??3
2+??3
2=1，證明：
(1)??????≤
1
9
(2)??
??+??
+??
??+??
+??
??+??
≤1
2
√
??????
第5頁，共17頁
答案和解析
1.【答案】
??
【解析】
【分析】
本題考查了元素與集合的關(guān)系，補集的運算，屬于基礎(chǔ)題．
【解答】
解：因為全集
??={1,2,3,4,5}
，
?
??
??={1,3}
，
所以
??={2,4,5}
，
所以
2∈??
，
??
選項正確．
2.【答案】
??
【解析】
【分析】
本題主要考查共軛復數(shù)和復數(shù)相等，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)題干表示
??
，再出列出復數(shù)相等的等式，即可求解
??
，
??
．
【解答】
解：由題設(shè)，
??=1?2??
，
??=1+2??
，代入有
??+??+1+(2???2)??=0
，
故
??=1
，
??=?2
．
3.【答案】
??
【解析】
【分析】
本題考查向量數(shù)量積運算．
【解答】
解：由題設(shè)，
|????2??
?
|=3
，得
|???|?4??????
?
+4|??
?
|2=9
，代入
|???|=1
，
|??
?
|=
√
3
，
有
4??????
?
=4
，故
???·??
?
=1
4.【答案】
??
【解析】
【分析】
第6頁，共17頁
本題考查社會生活中的數(shù)列的比較大小，考查運算推導能力，屬于基礎(chǔ)題．
利用遞推關(guān)系進行大小的比較．
【解答】
解：由已知
??
1
=1+1
??
1
，
??
2
=1+1
??
1
+
1
??
2
，
1
??
1
>1
??
1
+
1
??
2
，故
??
1
>??
2
;
同理可得
??
2
<
??
3
，
??
1
>??
3
,
又因為
1
??
2
>1
??
2
+
1
??
3
+
1
??
4
，故
??
2
4
，于是得
??
1
>??
2
>??
3
>??
4
>??
5
>??
6
>
??
7
>...
，排除
??
．
1
??
2
>1
??
2
+
1
??
3
+...
1
??
6
，故
??
2
6
，排除
??
，而
??
1
>??
7
>??
8
，排除
??
．
5.【答案】
??
【解析】
【分析】
本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．
【解答】
解：易知拋物線??:??
2=4??的焦點為
??(1,0)
，于是有
|????|=2
，故
|????|=2
，注
意到拋物線通徑
2??=4
，
通徑為拋物線最短的焦點弦，分析知
????
必為半焦點弦，于是有
????⊥??
軸，
于是有
|????|=
√22+22=2
√
2
．
6.【答案】
??
【解析】
【分析】
本題考查程序框圖，屬于基礎(chǔ)題．
【解答】
解：第一次循環(huán)：
??=1+1×2=3
，
??=3?1=2
，
??=1+1=2
，
|
??2
??2
?2|=
|(3
2
)2?2|=1
4
>0.01
第7頁，共17頁
第二次循環(huán)：
??=3+2×2=7
，
??=7?2=5
，
??=2+1=3
，
|
??2
??2
?2|=
|(7
5
)2?2|=3
25
>0.01
第三次循環(huán)，
??=7+2×5=17
，
??=17?5=12
，
??=3+1=4
，
|
??2
??2
?2|=
|(17
12
)2?2|=1
144
<0.01
故輸出
??=4
7.【答案】
??
【解析】
【分析】
本題考查了面面垂直的判斷，面面垂直的性質(zhì)，屬于中檔題．
【解答】
解：對于
??
選項：在正方體
???????????
1
??
1
??
1
??
1
中，因為
????
分別為
????
，
????
的
中點，易知
????⊥????
，從而
????⊥
平面
??????
1
，又因為
?????
平面
??????
1
，所以平面
??
1
????⊥
平
面
??????
1
，
所以
??
選項正確
;
對于
??
選項：因為平面
??
1
????∩
平面
??????
1
=????
，由上述過程易知平面
??
1
????⊥
平
面
??
1
????
不成立
;
對于
??
選項的直線
????
1
與直線
??
1
??
必相交，故平面
??
1
????//
面
??
1
????
有公共
點，從而
??
的錯誤
;
對于
??
選項：連接
????
，
????
1
，
??
1
??
，易知平面
????
1
??//
平面
??
1
??
1
??
，
又因為平面
????
1
??
與平面
??
1
????
有公共點
??
1
，故平面
????
1
??
與平面
??
1
????
不平行，所以
??
選項錯誤．
第8頁，共17頁
8.【答案】
??
【解析】
【分析】
本題主要考查等比數(shù)列前
??
項和中的基本量計算，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)題干列出等式求得
??
1
與
??
，進而求出
??
6
．
【解答】
解：設(shè)等比數(shù)列
{??
??
}
首項
??
1
，公比
??
．
由題意，
{
??
1
+??
2
+??
3
=168
??
2
???
5
=42
，即
{
??
1
(1+??+??2)=168
??
1
??(1???3)=42
，即
{
??
1
(1+??+??2)=168
??
1
??(1???)(1+??+??2)=42
解得，
??=
1
2
，
??
1
=96
，所以
??
6
=??
1
??5=3
．
9.【答案】
??
【解析】
【分析】
本題考查圓錐體積，最值計算．
【解答】
解：考慮與四棱錐的底面形狀無關(guān)，不失一般性，假設(shè)底面是
邊長為
??
的正方形，底面所在圓面的半徑為
??
，則
??=
√
2
2
??
，
所以該四棱錐的高?=
√
1???2
2
，所以體積
??=1
3
??2√
1???2
2
，設(shè)??2=??
(
0
)
，
??=1
3
√
??2???3
2
，
(??2???3
2
)
′=2???3??2
2
，當
0
4
3
，
(??2???3
2
)
′>0
，單調(diào)遞增，
當
4
3
，
(??2???3
2
)
′<0
，單調(diào)遞減，所以當
??=4
3
時，
??
取最大，此時
?=
√
1???2
2
=√
3
3
，
第9頁，共17頁
10.【答案】
??
【解析】
【分析】
本題考查相互獨立事件的概率乘法公式的計算，屬于中檔題．
根據(jù)題意計算出
??
甲
，
??
乙
，
??
丙
，然后作差比較大小．
【解答】
解：設(shè)棋手在第二盤與甲比賽連贏兩盤的概率為
??
甲
，在第二盤與乙比賽連贏兩盤的
概率為
??
乙
，在第二盤與丙比賽連贏兩盤的概率為
??
丙
由題意
??
甲
=??
1
[??
2
(1???
3
)+??
3
(1???
2
)]=??
1
??
2
+??
1
??
3
?2??
1
??
2
??
3，
??
乙
=??
2
[??
1
(1???
3
)+??
3
(1???
1
)]=??
1
??
2
+??
2
??
3
?2??
1
??
2
??
3，
??
丙
=??
3
[??
1
(1???
2
)+??
2
(1???
1
)]=??
1
??
3
+??
2
??
3
?2??
1
??
2
??
3，
所以
??
丙
???
甲
=??
2
(??
3
???
1
)>0
，
??
丙
???
乙
=??
1
(??
3
???
2
)>0
，
所以
??
丙
最大．
11.【答案】
??
【解析】
【分析】
本題考查雙曲線的性質(zhì)及直線與圓相切的性質(zhì)，屬于中檔題．
【解答】
解：由題意，點
??
在雙曲線右支
.
記切點為點
??
，連接
????
，則
????⊥????
，
|????|=
??
，
又
|
????
1
|
|=??
，則
|????
1
|=√??2???2=??.
過點
??
2
作
??
2
??⊥????
交直線
????
于點
??
，
連接
??
2
??
，
則
??
2
??//????
，又點
??
為
??
1
??
2
中點，則
|??
2
??|=2|????|=2??
，
|
??
1
??
|
=2|????
1
|=2??
．
由
cos∠??
1
????
2
=3
5
，得
sin∠??
1
????
2
=4
5
，
tan∠??
1
????
2
=4
3
所以
|??
2
??|=|??
2
??|
sin∠??
1
????
2
=5??
2
，
|????|=
|??
2
??|
tan∠??
1
????
2
=3??
2
．
第10頁，共17頁
故
|??
1
??|=|??
1
??|+|????|=2??+3??
2
，由雙曲線定義，
|??
1
??|?|??
2
??|=2??
，
則
2?????=2??
，即
??
??
=3
2
，所以
??=
√
1+
??2
??2
=
√1
+9
4
=√
13
2
.(
此題是否有另外一解，
待官方公布
)
12.【答案】
??
【解析】
【分析】
本題考查函數(shù)的對稱性，周期性，屬于拔高題．
【解答】
解：若
??=??(??)
的圖像關(guān)于直線
??=2
對稱，則
??(2???)=??(2+??)
，因為
??(??)+??(2???)=5
，所以
??(???)+??(2+??)=5
，故
??(???)=??(??)
，
??(??)
為偶
函數(shù)
.
由
??(2)=4
，
??(0)+??(2)=5
，得
??(0)=1.
由
??(??)???(???4)=7
，得
??(2???)=
??(????2)+7
，
代入
??(??)+??(2???)=5
，得
??(??)+??(????2)=?2
，
??(??)
關(guān)于點
(?1,?1)
中
心對稱，所以
??(1)=??(?1)=?1.
由
??(??)+??(????2)=?2
，
??(???)=??(??)
，得
??(??)+??(??+
2)=?2
，所
以
??(??+2)+??(??+4)=?2
，故
??(??+4)=??(??)
，
??(??)
周期為
4.
由
??(0)+
??(2)=?2
，得
??(2)=?3
，又
??(3)=??(?1)=??(1)=?1
，所以
∑
??22
??=1
(??)=6??(1)+6??(2)+
5??(3)+5??(4)=
11×(?1)+5×1+6×(?3)=?24
．
13.【答案】
3
10
第11頁，共17頁
【解析】
【分析】
本題考查了古典概型及其計算，屬于基礎(chǔ)題．
【解答】
解：設(shè)“甲、乙都入選”為事件
??
，則
??(??)=
??
3
1
??
5
3
=3
10
．
14.【答案】(???2)2+(???3)2=13或(???2)2+(???1)2=5或
(???4
3
)2+(???7
3
)2=
65
9
或
(???
8
5
)2+
(
???1
)2=169
25
【解析】
【分析】
本題主要考查求圓的標準方程，屬于基礎(chǔ)題．
圓過其中三點共有四種情況，解題關(guān)鍵是三點中的兩條中垂線的交點為圓心，圓心到任
一點的距離為半徑，每種情況逐一求解即可．
【解答】
解：設(shè)點
??(0,0)
，
??(4,0)
，
??(?1,1)
，
??(4,2)
．
(1)
若圓過
??
、
??
、
??
三圓圓心在直線
??=2
，設(shè)圓心坐標為
(2,??)
，
則4+??
2=9+(???1)2???=3，
??=
√4
+??2=
√
13
，所以圓的方程為(???2)2+
(???3)2=13;
(2)
若圓過
??
、
??
、
??
三點，同
(1)
設(shè)圓心坐標為
(2,??)
，
則4+??
2=4+(???2)2???=1，
??=
√4
+??2=
√
5
，所以圓的方程為(???2)2+
(???1)2=5;
(3)
若圓過
??
、
??
、
??
三點，則線段
????
的中垂線方程為
??=??+1
，線段
????
的
中垂線方程
為
??=?2??+5
，聯(lián)立得
{
??=4
3
??=7
3
???=
√16
9
+49
9
=√
65
3
，所以圓的方程為
(???
4
3
)2+
(???7
3
)2=65
9
;
(4)
若圓過
??
、
??
、
??
三點，則線段
????
的中垂線方程為
??=1
，
線段
????
中垂線方程為
??=5???7
，聯(lián)立得
{
??=8
5
??=1
???=
√
(8
5
?4)
2
+1=13
5
,
所以圓的方程
(???
8
5
)+(???1)2=169
25
．
第12頁，共17頁
15.【答案】
3
【解析】
【分析】
本題考查由余弦函數(shù)值求參．
【解答】
解：
??(??)=??(0)=cos??=
√
3
2
，且
0
，故
??=
??
6
，
??(??
9
)=cos(??
9
??+??
6
)=0???
9
??+??
6
=??
2
+????(??∈??)???=3+9??(??∈??)
，
又
??>0
，故
??
的最小值為
3
．
16.【答案】(
1
??
,1)
【解析】
【分析】
本題考查利用導數(shù)的極值求解參數(shù)，考查轉(zhuǎn)化能力與運算求解能力，屬于較難題．
求導，轉(zhuǎn)化為
??′(??)=2(??
??ln???????)
至少要有兩個零點
??=??
1
和
??=??
2
，構(gòu)造函數(shù)
?
(
??
)
=??′
(
??
)
，分類討論，判斷單調(diào)性，進而求解范圍．
【解答】
解：
??′(??)=2(??
??ln???????)
至少要有兩個零點
??=??
1
和
??=??
2
，
構(gòu)造函數(shù)
?
(
??
)
=??′
(
??
)
=2(??
??ln???????)
，對其求導，?′
(
??
)
=2????(
ln??
)2?2??，
(1)
若
??>1
，則
?′
(
??
)
在
??
上單調(diào)遞增，此時若
?′(??
0
)=0
，則
??′(??)
在
(?∞,??
0
)
上單調(diào)遞減，
在
(??
0
,+∞)
上單調(diào)遞增，此時若有
??=??
1
和
??=??
2
分別是函數(shù)
??(??)=2?????
????2(??>0且
??≠1)
的極小值點和極大值點，則
??
1
>??
2
，不符合題意，
(2)
若
0
，則
?′
(
??
)
在
??
上單調(diào)遞減，此時若
?′(??
0
)=0
，則
??′(??)
在
(?∞,??
0
)
上單調(diào)遞增，在
(??
0
,+∞)
上單調(diào)遞減，令
?′(??
0
)=0
，則
??
0
=??
(ln??)2
，此
時若有
??=??
1
和
??=??
2
分別是函數(shù)??(??)=2?????????2(??>0且
??≠1)
的極小值
點和極大值點，且
??
1
2
，則需滿足
??′(??
0
)>0
，即
??′
(
??
0
)
=2(2
(
????
0ln???????
0
)
=2
(??
ln??
?????
0
)
>0,??
0
<1
ln??
,??
0
ln??>1,
故
ln????
0=??
0
ln??=ln??
(
ln??
)2
>1
，所以
??∈
(
1
??
,1)
．
第13頁，共17頁
17.【答案】解：
(1)
證明：已知
sin??sin(?????)=sin??sin(?????)
可化簡為
sin??sin??cos???sin??cos??sin??=sin??sin??cos???sin??cos??sin??
，
由正弦定理可得
????cos???????cos??=????cos???????cos??
，即
????cos??=2????cos???????cos??
，
由余弦定理可得
????
??2+??2???2
2????
=2??????2+??2???2
2????
???????2+??2???2
2????
，即證2??
2=??2+??2
，
(2)
由
(1)
可知??2+??2=2??2=50，
cos??=??2+??2???2
2????
=50?25
2????
=25
2????
=25
31
，
∴2????=31
，∵??2+??2+2????=(??+??)2=81，
∴??+??=9
，
∴??+??+??=14
，
∴????????
的周長為
14
．
【解析】本題考查正余弦定理，屬中檔題目．
(1)
利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理角化邊，化簡得證；
(2)
由余弦定理求出
??+??
即可得出三角形的周長．
18.【答案】解：
(1)∵????=????
，
∠??????=∠??????
且
????
為公共邊
∴△??????
與
△??????
全等，
∴????=????
．
又
∵??
為
????
中點且
????=????
，
∴????⊥????
，同理
????⊥????
．
又
∵????∩????=??
，且均含于平面
??????
，
∴????⊥
平面
??????
．
又
∵?????
平面
??????
，
∴
平面
??????⊥
平面
??????
．
(2)
在
????????
中，
????=2
，∠??????=600
，
????=????∴????=2
，
????=
√
3
．
在
△??????
中，，
????⊥????
，
????=????
，
????=2
，
??
為
????
中點，
∴????⊥????
，
????=1
．
又
∵????=2
，∴????
2+????2=????2
，即
????⊥????
．
∴
直線
????
、直線
????
、直線
????
兩兩互相垂直．
由點
??
在
????
上且
△??????
與
△??????
全等，
∴????=????
，
由于
??
為
????
中點
∴????⊥????
當
????????
的面積最小時
∴????⊥????
在
????????????
中，
∵????=
√
3
，
????=1∴????=
√
3
2
，
????=
3
2
如圖，以點
??
為坐標原點，直線
????
、
????
、
????
分別為
??
、
??
、
??
軸建立空間直角坐標系．
??(?1,0,0)
、
??(1,0,0)
、
??(0,
√
3,0)
、
??(0,0,1)
、
??(0,√
3
4
,3
4
)
????
??????
=(0,?
√
3,1)
、
????
??????
=(?1,0,1)
、
????
?????
=(?1,?
√
3,0)
∵????
?????
=????
?????
?????
?????
=
3
4
????
??????
?????
?????
=(1,
√
3
4
,
3
4
)
設(shè)平面
??????
的法向量為
?????=(??,??,??)
可得
{
????
??????
??????=0
????
??????
??????=0
設(shè)
??=1∴?????=(
√
3,1,
√
3)
第14頁，共17頁
設(shè)
?????
與
????
?????
所成的角為
??
，
????
與平面
??????
所成角的為
??
∴sin??=|cos??|=|
?????·????
?????
|
?????
|
·|????
?????
|
|=
4
√
3
7
所以
????
與平面
??????
所成角的正弦值為
4
√
3
7
．
【解析】本題考查面面垂直的判定，及線面角的求解，屬于中檔題．
19.【答案】解：
(1)
設(shè)這種樹木平均一課的根部橫截面積為
??
，平均一個的材積量為
??
，
則
??=
0.6
10
=0.06
，
??=3.9
10
=0.39
．
(2)??=
∑
??
??
??
??=1
??
??
????????
√(∑
??
??
2
??
??=1
?????
2
)(∑
??
??
2
??
??=1
?????
2
)
=0.2474?10×0.06×0.39
√0.038?10×0.062√1.6158?10×039)2
=0.0134
√
0.002×0.0948
=
0.0134
0.01×
√
1.896
=0.0134
0.01377
=0.97
；
(3)
設(shè)從根部面積總和為
??
，總材積量為
??
，則
??
??
=??
??
，故
??=
3.9
0.6
×186=1209(??3).
【解析】本題考查了用樣本估計總體，樣本的相關(guān)系數(shù)，屬于中檔題．
20.【答案】解：
(1)
設(shè)
??
的方程為
??2
??2
+??2
??2
=1
，將
??(0,?2)
，
??(3
2
,?1)
兩點代入得
{
4
??2
=1
9
4??2
+1
??2
=1
，解得??
2=3，??2=4，故
E
的方程為??2
3
+??2
4
=1
．
(2)
由
??(0,?2)
，
??(3
2
,?1)
可得直線
????:??=2
3
???2
?①
若過
??(1,?2)
的直線的斜率不存在，直線為
??=1.
代入??2
3
+??2
4
=1
，可得
??(1,2
√
6
3
)
，
??(1,?2
√
6
3
)
，將
??=2
√
6
3
代入
????:??=
2
3
???2
，可得
??(
√
6+3,2
√
6
3
)
，由
????
??????
=????
??????
，
得
??(2
√
6+5,
2
√
6
3
).
易求得此時直線
????:??=(2?2
√
6
3
)???2.
過點
(0,?2)
；
?②
若過
??(1,?2)
的直線的斜率存在，設(shè)
????????(??+2)=0
，
??(??
1
,??
1
)
，
??(??
2
,??
2
)
。
聯(lián)立
{
????????(??+2)=0
??2
3
+??2
4
=1
，得(3??
2+4)??2?6??(2+??)??+3??(??+4)=0，
第15頁，共17頁
故有
{
??
1
+??
2
=6??(2+??)
3??2+4
??
1
??
2
=3??(4+??)
3??2+4
,{
??
1
+??
2
=?8(2+??)
3??2+4
??
1
??
2
=4(4+4???2??2)
3??2+4
，且
??
1
??
2
+??
2
??
1
=?24??
3??2+4
(?)
聯(lián)立
{
??=??
1
??=2
3
???2
，可得
??(
3??
1
2
+3,??
1
)
，
??(3??
1
+6???
1
,??
1
)
，
可求得此時
????:?????
2
=??
1
???
2
3??
1
+6???
1
???
2
(?????
2
)
將
(0,?2)
代入整理得
2(??
1
+??
2
)?6(??
1
+??
2
)+??
1
??
2
+??
2
??
1
?3??
1
??
2
?12=0
將
(?)
式代入，得24??+12??
2+96+48???24???48?48??+24??2?36??2?48=0，
顯然成立．
綜上，可得直線
????
過定點
(0,?2)
．
【解析】本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于較難題．
(1)
根據(jù)點在橢圓上，坐標滿足橢圓方程，求出橢圓的標準方程；
(2)
分類討論過點
??
的直線斜率是否存在，再根據(jù)題干依次表示出
??
，
??
坐標，表示出直
線
????
方程，判斷直線過定點即可．
21.【答案】解：
(1)
當
??=1
時，
??′(??)=
1
??+1
+
(
1???
)
?????
，
??=0
，
??′(??)=2
，又
??=0
時，
??(0)=0
，
所以曲線
??(??)
在點
(0,??(0))
處的切線方程為
???0=2(???0)
，即
??=2??
．
(2)
令
??(??)=????ln(??+1)+????(??>?1)=??????(??)
，有
??(0)=0
，
??(??)
在區(qū)間
(?1,0)
，
(0,+∞)
各恰有一個零點，也即
??(??)
在區(qū)間
(?1,0)
，
(0,+∞)
各恰有
一個零點，
則
??′(??)=??
??[ln(??+1)+1
1+??
]+??
，
(
Ⅰ
)
若
??≥?1
時，則
??′(??)=????[ln(??+1)+1
1+??
]+??
令
??
(
??
)
=ln(??+1)+
1
1+??
，
??′
(
??
)
=??
(
??+1
)2
，
??
(
??
)
分別在
(?1,0)
和
(0,+∞)
單調(diào)遞減和單
調(diào)遞增，易知當
??=0
時，
??
(
??
)
取得最小值
1
，
所以
??
??[ln(??+1)+1
1+??
]?1>?????1
，
當
??>0
時，
??
???1>0
，于是
??(??)
在
(0,+∞)
遞增，
??(??)>??(0)=0
與
??(??)
在
(0,+∞)
上
有一個零點矛盾．
(
Ⅱ
)
若
??
時，令
??(??)=??′(??)
則
??′(??)=????[ln(??+1)+
2
1+??
?
1
(1+??)2
]=?????(??)
?′(??)=
1
1+??
?
2
(1+??)2
+
2
(1+??)3
=
??2+1
(1+??)3
>0
第16頁，共17頁
所以
?(??)
在
(?1,+∞)
遞增，又
?(?
1
2
)=?ln2<0
，
?(0)=1
，
即
???
0
∈(?1
2
,0)
，
?(??)=0
，且當
?1
0
時，
?(??)<0
，
??′(??)
單調(diào)遞減
;
當
??>??
0
時，
?(??)>0
，
??′(??)
單調(diào)遞增，
??′(??
0
)
，
??′(???)=?????+??>1???+??=1>0
???
1
∈(?1,??
0
)
，
??
2
∈(0,???)
，
??′(??
1
)=??′(??
2
)=0
且
??(??)
在
(?1,??
1
)
上遞增，在
(??
1
,??
2
)
上遞減，在
(??
2
,+∞)
上遞增．
又
??(0)=0
，故
??(??
1
)>0
，
??(??
2
)<0
，于是
???
3
∈(?1,0)
，
??
4
∈(0,+∞)
，
??(??
3
)=??(??
4
)=0
綜上，
??
．
【解析】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)切線，利用導數(shù)證明函數(shù)零點．
22.【答案】解：
(1)
由
??sin(??+
??
3
)+??=0
可得，
??(sin??cos??
3
+cos??sin??
3
)+??=0
，
即
??(
1
2
sin??+√
3
2
cos??)+??=0
，1
2
??+√
3
2
??+??=0
，
故
??
的方程為：√
3??+??+2??=0
．
(2)
由
??=
√
3cos2??
，得
??=
√
3(1?2sin2??)=
√
3
[1
?2
(??
2
)
2
]
=
√
3?√
3
2
??2
，
聯(lián)立
{
??=
√
3?√
3
2
??2
√
3??+??+2??=0
，3??
2?2???4???6=0，
即3??
2?2???6=4??(?2≤??≤2)，
?3≤4??
√
3
≤6
，
即
?
19
3
≤4??≤10
，
?19
12
≤??≤5
2
，
故
??
的范圍是
?
19
12
≤??≤5
2
．
【解析】本題考查極坐標，極坐標的直線方程，求解參數(shù)，屬于中檔題．
(1)
根據(jù)題意，求出直線方程；
(1)
求出
??
的方程，聯(lián)立求解參數(shù)范圍．
23.【答案】解：
(1)
證明：因為
??
，
??
，
??
為正數(shù)，
所以
??3
2+??3
2+??3
2≥3
√
??3
2??3
2??3
2
3
=3
√
??????
，
當且僅當??=??=??=3?
2
3
時取等號，
所以
3
√
??????≤1
，即
??????≤
1
9
，得證．
第17頁，共17頁
(2)
要證
??
??+??
+??
??+??
+??
??+??
≤1
2
√
??????
成立，
只需證??
3
2√
????
??+??
+??
3
2√
????
??+??
+??
3
2√
????
??+??
≤1
2
，
又因為
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√
????
，
??+??≥2
√
????
，
??+??≥2
√
????
，當且僅當??=??=??=3?
2
3
時，同
時取等，
所以??
3
2√
????
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+??
3
2√
????
??+??
+??
3
2√
????
??+??
???
3
2√
????
2
√
????
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3
2√
????
2
√
????
+??
3
2√
????
2
√
????
=1
2
，得證
.
【解析】本題考查了不等式的證明，掌握均值不等式是關(guān)鍵，屬于中檔題．
(1)
由均值不等式即可證；
(2)
先對不等式進行轉(zhuǎn)化，再由均值不等式進行放縮可證
.
本文發(fā)布于:2023-03-11 11:57:41，感謝您對本站的認可！
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