投入產(chǎn)出模型

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§1.5投入產(chǎn)出模型的基本假設(shè)和求解條件

任何經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型都是都實(shí)際經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的抽象，都是在若干基本假設(shè)下建立的，或者只

有在若干基本假設(shè)下才能成立。關(guān)鍵在于所舍棄的是事物的本質(zhì)方面還是非本質(zhì)方面。

一、投入產(chǎn)出模型的基本假設(shè)

投入產(chǎn)出模型是在如下重要假設(shè)下建立的。

⒈不可替代假設(shè)

投入產(chǎn)出模型假設(shè)一個(gè)部門(mén)只生產(chǎn)一種產(chǎn)品，而且只采用一種技術(shù)生產(chǎn)；同時(shí)，一種產(chǎn)

品只由一個(gè)部門(mén)生產(chǎn)。

為什么要作出該假設(shè)？

實(shí)際經(jīng)濟(jì)活動(dòng)是否滿足這一假設(shè)？

⒉線性假設(shè)

投入產(chǎn)出模型假設(shè)投入量與產(chǎn)出量是成正比的，比例系數(shù)就是直接消耗系數(shù)。

為什么要作出該假設(shè)？

實(shí)際經(jīng)濟(jì)活動(dòng)是否滿足這一假設(shè)？

⒊系數(shù)不變假設(shè)

投入產(chǎn)出模型假設(shè)直接消耗系數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)是不變的。

為什么要作出該假設(shè)？

實(shí)際經(jīng)濟(jì)活動(dòng)是否滿足這一假設(shè)？

⒋關(guān)于生產(chǎn)周期的假設(shè)

投入產(chǎn)出模型假設(shè)每個(gè)部門(mén)的生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)活動(dòng)，從生產(chǎn)要素的投入到產(chǎn)出的分配與使用，

都在一個(gè)周期內(nèi)完成。

為什么要作出該假設(shè)？

實(shí)際經(jīng)濟(jì)活動(dòng)是否滿足這一假設(shè)？如何處理？

二、投入產(chǎn)出模型的求解條件

所謂“投入產(chǎn)出模型的求解條件”，是指投入產(chǎn)出模型能夠求解的條件。

⒈投入產(chǎn)出模型能夠求解的條件

投入產(chǎn)出模型YAIX1)(???能夠求解的條件是矩陣)(AI?有逆，且逆矩陣的元素不

為負(fù)。是從數(shù)學(xué)和經(jīng)濟(jì)意義兩方面提出的。

⒉價(jià)值型投入產(chǎn)出模型求解條件的證明

對(duì)于價(jià)值型投入產(chǎn)出模型，其直接消耗系數(shù)滿足：

nja

n

i

ij

,,2,11

1

????

?

即滿足：

njaa

jj

n

ji

i

ij

,,2,11

1

?????

?

?

而在矩陣)(AI?中，主對(duì)角線元素為

jj

a?1，其它元素為

ij

a?。所以該矩陣是主對(duì)角線元

素占優(yōu)勢(shì)的矩陣。由線性代數(shù)知識(shí)可知，0??AI。所以矩陣)(AI?有逆。

又因?yàn)閷?duì)于矩陣)(AI?，不僅存在

2

njaa

jj

n

ji

i

ij

,,2,11

1

?????

?

?

而且存在

njaa

jj

n

ji

i

ij

,,2,11

1

?????

?

?

所以有

0??AI

對(duì)于矩陣)(AI?的逆矩陣：

AI

C

AI

?

???1)(

其分子為矩陣)(AI?對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式作為元素構(gòu)成的伴隨矩陣，而這些代數(shù)余子式

都是大于0，所以)(AI?的逆矩陣的元素的都大于0。

⒊實(shí)物型投入產(chǎn)出模型求解條件的證明

如果實(shí)物型投入產(chǎn)出模型的劃分與價(jià)值型投入產(chǎn)出模型一致，那么存在：

j

i

p

ij

s

ijp

pa

a?

其中上標(biāo)“s”表示價(jià)值型模型的部門(mén)，上標(biāo)“p”表示實(shí)物型模型的產(chǎn)品，p表示產(chǎn)品的價(jià)

格。該式表示，實(shí)物型直接消耗系數(shù)乘以所在行的產(chǎn)品的價(jià)格，再除以所在列的產(chǎn)品的價(jià)格，

就得到對(duì)應(yīng)的價(jià)值型直接消耗系數(shù)。于是可以推得：

1PAIPAI????

?

)(

?

)(sp

其中帶“＾”者表示對(duì)角陣。也就是說(shuō)，實(shí)物型的)(AI?矩陣經(jīng)過(guò)一系列的初等變換，每

行乘以所在行的產(chǎn)品的價(jià)格，每列除以所在列的產(chǎn)品的價(jià)格，就得到對(duì)應(yīng)的價(jià)值型的)(AI?

矩陣。而初等變換不改變矩陣的秩，原矩陣有逆，變換后的矩陣也有逆。所以，對(duì)于實(shí)物型

投入產(chǎn)出模型，矩陣)(AI?有逆，且逆矩陣的元素不為負(fù)。