二元一次方程的解法

二元一次方程解法大全

1、直接開平方法:

直接開平方法就是用直接開平方求解二元一次方程的方法。用直接開平方法解形如（x

—m)2=n（n≥0)的方程，其解為x=±根號下n+m.

例1．解方程（1)(3x+1）2=7(2）9x2-24x+16=11

分析:（1）此方程顯然用直接開平方法好做,（2）方程左邊是完全平方式（3x-4）2，

右邊=11〉0，所以此方程也可用直接開平方法解。

（1）解:（3x+1）2=7×

∴(3x+1）2=5

∴3x+1=±（注意不要丟解)

∴x=

∴原方程的解為x1=,x2=

（2）解：9x2—24x+16=11

∴(3x—4）2=11

∴3x—4=±

∴x=

∴原方程的解為x1=,x2=

2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0（a≠0)

先將常數c移到方程右邊：ax2+bx=-c

將二次項系數化為1：x2+x=—

方程兩邊分別加上一次項系數的一半的平方：x2+x+（）2=—+（）2

方程左邊成為一個完全平方式：(x+）2=

當b^2-4ac≥0時,x+=±

∴x=（這就是求根公式）

例2．用配方法解方程3x^2-4x—2=0(注：X^2是X的平方）

解：將常數項移到方程右邊3x^2—4x=2

將二次項系數化為1：x2—x=

方程兩邊都加上一次項系數一半的平方：x2-x+(）2=+(）2

配方:（x-)2=

直接開平方得：x—=±

∴x=

∴原方程的解為x1=，x2=。

3．公式法:把一元二次方程化成一般形式，然后計算判別式△=b2—4ac的值,當b2—4ac

≥0時,把各項系數a,b，c的值代入求根公式x=[—b±(b^2—4ac）^(1/2）]/(2a），(b^2

—4ac≥0）就可得到方程的根。

例3．用公式法解方程2x2—8x=-5

解：將方程化為一般形式：2x2-8x+5=0

∴a=2，b=—8,c=5

b^2—4ac=（-8）2—4×2×5=64—40=24〉0

∴x=［（—b±（b^2-4ac）^(1/2)］/(2a）

∴原方程的解為x1=，x2=。

4．因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式

的積的形式，讓兩個一次因式分別等于零，得到兩個一元一次方程,解這兩個一元一次方程

所得到的根，就是原方程的兩個根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4．用因式分解法解下列方程：

（1)（x+3）（x—6）=-8（2)2x2+3x=0

（3）6x2+5x—50=0（選學）（4）x2—2(+）x+4=0(選學)

(1）解:（x+3)(x-6）=-8化簡整理得

x2—3x—10=0（方程左邊為二次三項式，右邊為零）

(x—5）（x+2）=0（方程左邊分解因式）

∴x—5=0或x+2=0（轉化成兩個一元一次方程）

∴x1=5，x2=—2是原方程的解。

（2）解：2x2+3x=0

x(2x+3)=0(用提公因式法將方程左邊分解因式)

∴x=0或2x+3=0（轉化成兩個一元一次方程）

∴x1=0，x2=—是原方程的解。

注意：有些同學做這種題目時容易丟掉x=0這個解，應記住一元二次方程有兩個解。

（3）解：6x2+5x—50=0

（2x-5）（3x+10)=0(十字相乘分解因式時要特別注意符號不要出錯)

∴2x-5=0或3x+10=0

∴x1=,x2=-是原方程的解。

(4）解：x2-2(+）x+4=0（∵4可分解為2·2，∴此題可用因式分解法)

（x—2）（x-2）=0

∴x1=2，x2=2是原方程的解。

小結：

一般解一元二次方程,最常用的方法還是因式分解法，在應用因式分解法時,一般要先將

方程寫成一般形式，同時應使二次項系數化為正數.

直接開平方法是最基本的方法.

公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用于任何一元二次方程（有人稱之為萬能

法），在使用公式法時，一定要把原方程化成一般形式，以便確定系數，而且在用公式前應

先計算判別式的值，以便判斷方程是否有解。

配方法是推導公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以

一般不用配方法

解一元二次方程。但是,配方法在學習其他數學知識時有廣泛的應用，是初中要求掌握

的三種重要的數學方法之一，一定要掌握好。（三種重要的數學方法：換元法,配方法，待

定系數法).

二元一次方程練習題

一、判斷

1、是方程組的解…………(）

2、方程組的解是方程3x-2y=13的一個解（）

3、由兩個二元一次方程組成方程組一定是二元一次方程組()

4、方程組，可以轉化為（)

5、若（a2—1)x2+(a—1）x+(2a-3）y=0是二元一次方程，則a的值為±1（)

6、若x+y=0,且｜x｜=2，則y的值為2…………(）

7、方程組有唯一的解，那么m的值為m≠-5…………(）

8、方程組有無數多個解…………（）

9、x+y=5且x，y的絕對值都小于5的整數解共有5組…………（）

10、方程組的解是方程x+5y=3的解,反過來方程x+5y=3的解也是方程組的解………()

11、若｜a+5|=5，a+b=1則………（）

12、在方程4x-3y=7里，如果用x的代數式表示y，則（)

二、選擇：

13、任何一個二元一次方程都有（）

（A）一個解;（B）兩個解；

（C)三個解；(D）無數多個解;

14、一個兩位數,它的個位數字與十位數字之和為6，那么符合條件的兩位數的個數有

（)

（A）5個(B）6個（C)7個（D)8個

15、如果的解都是正數，那么a的取值范圍是()

（A）a〈2;（B);（C）；(D）;

16、關于x、y的方程組的解是方程3x+2y=34的一組解，那么m的值是（）

（A）2；(B)-1；（C）1;(D）-2；

17、在下列方程中，只有一個解的是(）

（A）（B）

（C)（D）

18、與已知二元一次方程5x-y=2組成的方程組有無數多個解的方程是(）

（A）15x-3y=6（B）4x—y=7(C）10x+2y=4(D）20x-4y=3

19、下列方程組中，是二元一次方程組的是（）

（A）（B)

(C）（D）

20、已知方程組有無數多個解，則a、b的值等于（）

（A）a=—3，b=—14(B）a=3，b=—7

（C）a=—1,b=9(D)a=—3，b=14

21、若5x—6y=0,且xy≠0，則的值等于（）

（A）（B）(C)1（D)-1

22、若x、y均為非負數，則方程6x=-7y的解的情況是（)

（A)無解（B)有唯一一個解

(C）有無數多個解（D)不能確定

23、若|3x+y+5|+｜2x-2y—2|=0,則2x2—3xy的值是(）

（A）14（B）-4（C)-12（D）12

24、已知與都是方程y=kx+b的解，則k與b的值為(）

（A)，b=-4（B），b=4

（C)，b=4(D），b=—4

三、填空：

25、在方程3x+4y=16中,當x=3時，y=________,當y=—2時，x=_______

若x、y都是正整數，那么這個方程的解為___________；

26、方程2x+3y=10中，當3x—6=0時，y=_________;

27、如果0。4x—0。5y=1。2，那么用含有y的代數式表示的代數式是_____________；

28、若是方程組的解,則;

29、方程|a｜+｜b|=2的自然數解是_____________;

30、如果x=1，y=2滿足方程，那么a=____________；

31、已知方程組有無數多解，則a=______，m=______；

32、若方程x—2y+3z=0，且當x=1時，y=2,則z=______；

33、若4x+3y+5=0，則3（8y-x)-5（x+6y—2）的值等于_________；

34、若x+y=a,x—y=1同時成立,且x、y都是正整數，則a的值為________；

35、從方程組中可以知道，x:z=_______；y：z=________；

36、已知a—3b=2a+b-15=1，則代數式a2—4ab+b2+3的值為__________;

四、解方程組

37、;38、;

39、；40、；

41、;42、；

43、；44、；

45、；46、；

五、解答題：

47、甲、乙兩人在解方程組時，甲看錯了①式中的x的系數，解得;乙看錯了方程②中

的y的系數，解得，若兩人的計算都準確無誤,請寫出這個方程組,并求出此方程組的解;

48、使x+4y=｜a｜成立的x、y的值，滿足(2x+y—1）2+｜3y—x｜=0,又|a｜+a=0，求

a的值；

49、代數式ax2+bx+c中，當x=1時的值是0，在x=2時的值是3，在x=3時的值是28，

試求出這個代數式；

50、要使下列三個方程組成的方程組有解,求常數a的值.

2x+3y=6—6a，3x+7y=6—15a,4x+4y=9a+9

51、當a、b滿足什么條件時，方程（2b2-18)x=3與方程組都無解；

52、a、b、c取什么數值時，x3-ax2+bx+c程（x—1）（x—2)（x—3）恒等？

53、m取什么整數值時,方程組的解：

（1)是正數;

(2）是正整數？并求它的所有正整數解。

54、試求方程組的解.

六、列方程（組）解應用題

55、汽車從甲地到乙地,若每小時行駛45千米,就要延誤30分鐘到達；若每小時行駛

50千米，那就可以提前30分鐘到達，求甲、乙兩地之間的距離及原計劃行駛的時間？

56、某班學生到農村勞動,一名男生因病不能參加，另有三名男生體質較弱,教師安排他

們與女生一起抬土,兩人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁擔，兩只筐），這樣安排勞

動時恰需筐68個，扁擔40根,問這個班的男女生各有多少人?

57、甲、乙兩人練習賽跑，如果甲讓乙先跑10米,那么甲跑5秒鐘就可以追上乙;如果

甲讓乙先跑2秒鐘，那么甲跑4秒鐘就能追上乙，求兩人每秒鐘各跑多少米？

58、甲桶裝水49升，乙桶裝水56升，如果把乙桶的水倒入甲桶，甲桶裝滿后，乙桶剩

下的水，恰好是乙桶容量的一半，若把甲桶的水倒入乙桶，待乙桶裝滿后則甲桶剩下的水恰

好是甲桶容量的，求這兩個水桶的容量。

59、甲、乙兩人在A地，丙在B地,他們三人同時出發，甲與乙同向而行，丙與甲、乙

相向而行,甲每分鐘走100米，乙每分鐘走110米,丙每分鐘走125米,若丙遇到乙后10分鐘

又遇到甲,求A、B兩地之間的距離。

60、有兩個比50大的兩位數,它們的差是10，大數的10倍與小數的5倍的和的是11

的倍數,且也是一個兩位數，求原來的這兩個兩位數。

【參考答案】

一、1、√；2、√；3、×；4、×；5、×;6、×；

7、√；8、√；9、×;10、×；11、×;12、×；

二、13、D；14、B；15、C；16、A;17、C；18、A；

19、C；20、A;21、A；22、B；23、B；24、A;

三、25、，8,；26、2;27、;28、a=3，b=1;

29、30、；31、3，—432、1；33、20；

34、a為大于或等于3的奇數；35、4：3，7：936、0；

四、37、;38、；39、；40、；

41、;42、；43、；44、；

45、；46、；

五、47、,；48、a=-149、11x2—30x+19；

50、;51、,b=±352、a=6,b=11，c=-6；

53、（1）m是大于—4的整數，(2）m=—3，—2，0，,，;

54、或；

六、55、A、B距離為450千米，原計劃行駛9.5小時;

56、設女生x人,男生y人，

57、設甲速x米/秒,乙速y米/秒

58、甲的容量為63升,乙水桶的容量為84升；

59、A、B兩地之間的距離為52875米;

60、所求的兩位數為52和62.

二元一次方程組練習題100道(卷二)

一、選擇題：

1．下列方程中,是二元一次方程的是（）

A．3x－2y=4zB．6xy+9=0C．+4y=6D．4x=

2．下列方程組中，是二元一次方程組的是（）

A．

3．二元一次方程5a－11b=21（)

A．有且只有一解B．有無數解C．無解D．有且只有兩解

4．方程y=1－x與3x+2y=5的公共解是(）

A．

5．若│x－2│+(3y+2）2=0，則的值是（）

A．－1B．－2C．－3D．

6．方程組的解與x與y的值相等，則k等于（)

7．下列各式，屬于二元一次方程的個數有(）

①xy+2x－y=7;②4x+1=x－y;③+y=5;④x=y；⑤x2－y2=2

⑥6x－2y⑦x+y+z=1⑧y（y－1)=2y2－y2+x

A．1B．2C．3D．4

8．某年級學生共有246人，其中男生人數y比女生人數x的2倍少2人，?則下面所列

的方程組中符合題意的有（)

A．

二、填空題

9．已知方程2x+3y－4=0，用含x的代數式表示y為：y=_______;用含y的代數式表示

x為：x=________．

10．在二元一次方程－x+3y=2中，當x=4時，y=_______；當y=－1時，x=______．

11．若x3m－3－2yn－1=5是二元一次方程，則m=_____,n=______．

12．已知是方程x－ky=1的解，那么k=_______．

13．已知│x－1│+(2y+1）2=0,且2x－ky=4,則k=_____．

14．二元一次方程x+y=5的正整數解有______________．

15．以為解的一個二元一次方程是_________．

16．已知的解，則m=_______，n=______．

三、解答題

17．當y=－3時,二元一次方程3x+5y=－3和3y－2ax=a+2（關于x，y的方程)?有相同

的解，求a的值．

18．如果（a－2）x+（b+1）y=13是關于x,y的二元一次方程,則a,b滿足什么條件？

19．二元一次方程組的解x，y的值相等，求k．

20．已知x，y是有理數，且（│x│－1）2+（2y+1）2=0，則x－y的值是多少？

21．已知方程x+3y=5,請你寫出一個二元一次方程，?使它與已知方程所組成的方程組

的解為．

22．根據題意列出方程組:

（1）明明到郵局買0.8元與2元的郵票共13枚，共花去20元錢，?問明明兩種郵票各

買了多少枚？

（2)將若干只雞放入若干籠中，若每個籠中放4只,則有一雞無籠可放；?若每個籠里放

5只，則有一籠無雞可放，問有多少只雞，多少個籠？

23．方程組的解是否滿足2x－y=8？滿足2x－y=8的一對x，y的值是否是方程組的解?

24．(開放題）是否存在整數m,使關于x的方程2x+9=2－(m－2）x在整數范圍內有解，

你能找到幾個m的值?你能求出相應的x的解嗎?

答案：

一、選擇題

1．D解析:掌握判斷二元一次方程的三個必需條件:①含有兩個未知數；②含有未知數

的項的次數是1；③等式兩邊都是整式．

2．A解析：二元一次方程組的三個必需條件：①含有兩個未知數，②每個含未知數的

項次數為1;③每個方程都是整式方程．

3．B解析:不加限制條件時,一個二元一次方程有無數個解．

4．C解析:用排除法，逐個代入驗證．

5．C解析:利用非負數的性質．

6．B

7．C解析：根據二元一次方程的定義來判定,?含有兩個未知數且未知數的次數不超過1

次的整式方程叫二元一次方程，注意⑧整理后是二元一次方程．

8．B

二、填空題

9．10．－10

11．，2解析：令3m－3=1,n－1=1,∴m=，n=2．

12．－1解析：把代入方程x－ky=1中,得－2－3k=1,∴k=－1．

13．4解析：由已知得x－1=0,2y+1=0，

∴x=1，y=－，把代入方程2x－ky=4中，2+k=4，∴k=1．

14．解:

解析：∵x+y=5，∴y=5－x，又∵x,y均為正整數，

∴x為小于5的正整數．當x=1時,y=4;當x=2時，y=3;

當x=3，y=2；當x=4時，y=1．

∴x+y=5的正整數解為

15．x+y=12解析:以x與y的數量關系組建方程，如2x+y=17,2x－y=3等,

此題答案不唯一．

16．14解析：將中進行求解．

三、解答題

17．解：∵y=－3時，3x+5y=－3,∴3x+5×(－3)=－3，∴x=4，

∵方程3x+5y=?－?3?和3x－2ax=a+2有相同的解，

∴3×(－3)－2a×4=a+2，∴a=－．

18．解:∵（a－2）x+（b+1）y=13是關于x，y的二元一次方程，

∴a－2≠0，b+1≠0,?∴a≠2，b≠－1

解析:此題中,若要滿足含有兩個未知數,需使未知數的系數不為0．

（?若系數為0，則該項就是0）

19．解：由題意可知x=y，∴4x+3y=7可化為4x+3x=7，

∴x=1，y=1．將x=1，y=?1?代入kx+（k－1)y=3中得k+k－1=3，

∴k=2解析:由兩個未知數的特殊關系，可將一個未知數用含另一個未知數的代數式代

替，化“二元”為“一元”，從而求得兩未知數的值．

20．解:由(│x│－1）2+（2y+1）2=0，可得│x│－1=0且2y+1=0，∴x=±1，y=－．

當x=1，y=－時，x－y=1+=；

當x=－1，y=－時，x－y=－1+=－．

解析:任何有理數的平方都是非負數,且題中兩非負數之和為0，

則這兩非負數(│x│－1）2與（2y+1）2都等于0，從而得到│x│－1=0，2y+1=0．

21．解:經驗算是方程x+3y=5的解，再寫一個方程，如x－y=3．

22．（1）解：設0．8元的郵票買了x枚，2元的郵票買了y枚,根據題意得．

（2)解：設有x只雞，y個籠,根據題意得．

23．解:滿足，不一定．

解析：∵的解既是方程x+y=25的解,也滿足2x－y=8，?

∴方程組的解一定滿足其中的任一個方程，但方程2x－y=8的解有無數組,

如x=10，y=12,不滿足方程組．

24．解:存在,四組．∵原方程可變形為－mx=7,

∴當m=1時，x=－7;m=－1時,x=7；m=?7時，x=－1；m=－7時x=1．

二元一次方程應用題

題型一：配套問題

1．某服裝廠生產一批某種款式的秋裝，已知每2米的某種布料可做上衣的衣身3個或

衣袖5只。現計劃用132米這種布料生產這批秋裝（不考慮布料的損耗)，應分別用多少布

料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？

題型二：年齡問題

2．甲對乙說：“當我的歲數是你現在的歲數時，你才4歲”．乙對甲說:“當我的歲數

是你現在的歲數時，你將61歲"．請你算一算，甲、乙現在各多少歲？

題型三：百分比問題

3．有甲乙兩種銅和銀的合金，甲種合金含銀25％，乙種合金含銀37。5%，現在要熔制

含銀30％的合金100千克，甲、乙兩種合金各應取多少?

題型四：數字問題

4．有一個兩位數，個位上的數字比十位上的數字大5,如果把這兩個數字的位置對換，

那么所得的新數與原數的和是143，求這個兩位數.

題型五：古算術問題

5．巍巍古寺在山林，不知寺內幾多僧。364只碗，看看用盡不差爭。三人共食一碗飯，

四人共吃一碗羹.請問先生明算者，算來寺內幾多僧。詩句的意思是：寺內有三百六十四只

碗，如果三個和尚共吃一碗飯，四個和尚共吃一碗羹，剛好夠用,寺內共有和尚多少個？

題型六：行程問題

6．甲乙兩地相距160千米,一輛汽車和一輛拖拉機從兩地同時出發相向而行,1小時20

分后相遇。相遇后，拖拉機繼續前進，汽車在相遇處停留1小時后原速返回，在汽車再次出

發半小時后追上了拖拉機,這時汽車、拖拉機從開始到現在各自行駛了多少千米？

題型七：工程問題

7．某城市為了緩解缺水狀況，實施了一項飲水工程，就是把200千米以外的的一條大

河的水引到城市中來，把這個工程交給了甲乙兩個施工隊，工期為50天，甲、乙兩隊合作

了30天后，乙隊因另有任務需要離開10天，于是甲隊加快速度，每天多修了0.6千米,10

天后乙隊回來，為了保證工期，甲隊保持現在的速度不變，乙隊也比原來多修0。4千米，

結果如期完成。問甲乙兩隊原計劃每天各修多少千米？

題型八:方案決策問題

8．已知某電腦公司有A型、B型、C型三種型號的電腦，其價格分別為A型每臺6000

元，B型每臺4000元，C型每臺2500元，我市東坡中學計劃將100500元錢全部用于從該電

腦公司購進其中兩種不同型號的電腦共36臺,請你設計出幾種不同的購買方案供該校選擇，

并說明理由.

9．某地生產的一種綠色蔬菜，若在市場上直接銷售,每噸利潤為1000元，經粗加工后

銷售，每噸利潤可達4500元，經精加工后銷售，每噸利潤漲至7500元．當地一家農工商公

司收獲這種蔬菜140噸．該公司加工廠的生產能力是：如果對蔬菜進行粗加工,每天可加工

16噸；如果進行精加工,每天可加工6噸，但兩種加工方式不能同時進行．受季節等條件限

制，公司必須在15天之內將這批蔬菜全部銷售或加工完畢．為此,公司研制了三種加工方案:

方案一：將蔬菜全部進行粗加工．方案二:盡可能多地對蔬菜進行精加工，沒來得及進行加

工的蔬菜在市場上直接銷售．方案三：將部分蔬菜進行精加工，其余蔬菜進行粗加工,并恰

好用15天完成．你認為選擇哪種方案獲利最多？為什么?