指數函數運算

1

指數運算與指數函數

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1、理解根式、分數指數冪的概念，掌握有理指數冪的運算性質．

2、掌握指數函數的概念、圖像和性質。

一、有理數指數冪及運算性質

1、有理數指數冪的分類

（1）正整數指數冪()

n

naaaaanN???????

64748

L

個

；（2）零指數冪)0(10??aa；

（3）負整數指數冪??1

0,n

n

aanN

a

?????

（4）0的正分數指數冪等于0,0的負分數指數冪沒有意義。

2、有理數指數冪的性質

（1）??0,,mnmnaaaamnQ????（2）????0,,n

mmnaaamnQ???

（3）????0,0,m

mmabababmQ????

二、根式

1、根式的定義：一般地，如果axn?，那么

x

叫做

a

的

n

次方根，其中?????Nnn,1，na

叫

做根式，

n

叫做根指數，

a

叫被開方數。

2、對于根式記號na

，要注意以下幾點：

（1）nN?，且1n?；（2）當

n

是奇數，則aan

n?；當

n

是偶數，則

?

?

?

??

?

??

0

0

aa

aa

aan

n；

（3）負數沒有偶次方根；（4）零的任何次方根都是零。

3、規定：

（1）??0,,,1

m

n

m

naaamnNn?????；（2）??11

0,,,1

m

n

m

n

m

n

aamnNn

a

a

???????

2

三、對指數函數定義的理解

一般地，函數)10(???aaayx且叫做指數函數。

1、定義域是R。因為指數的概念已經擴充到有理數和無理數，所以在0a?的前提下，

x

可以

是任意實數。

2、規定0a?,且1a?的理由：

（1）若0a?，

00

0

x

x

xa

xa

?

?

?

?

?

?

?

當時，恒等于；

當時，無意義。

（2）若0a?，如(2)xy??，當

1

4

x?、

1

2

等時，在實數范圍內函數值不存在。

（3）若1a?，11xy??，是一個常量，沒有研究的必要性。

為了避免上述各種情況，所以規定0a?,且1a?。

3、式上的嚴格性：

指數函數的定義表達式xya?中，xa前的系數必須是1。自變量

x

在指數的位置上。比如

12,1,xxxyayaya?????等，都不是指數函數；有些函數看起來不像指數函數，實際上卻是，

如xya??(01)aa??且，因為它可以化為

1x

y

a

??

?

??

??

，其中

1

0

a

?，且

1

1

a

?。

四、指數函數的圖象和性質：

1a?01a??

圖象

性

質

定義域：R

值域：??0,??

圖像都過點??0,1

在R上是增函數在R上是減函數

特別提醒：

角坐標系中的圖像的相對位置關系與底數大小的關系有如下規律：

在y軸右側，圖像從下往上相應的底數由小變大；在y軸左側，圖像從上往下相應的底數由小變

大。即不論在y軸右側還是左側，底數按逆時針增大。

五、比較冪值得大小

底數相同：利用函數的單調性進行比較；

指數相同：方法一：可轉化為底數相同進行比較；方法二：可借助函數圖像進行比較。指數函

數在同一直角坐標系中的圖像與底數大小的關系有如下規律：即無論在y軸右側還是在y軸左側底

數按逆時針方向由小變大。

指數、底數都不同：可利用中間量進行比較。

六、指數方程的可解類型，可分為：

形如

??????0,1fxgxaaaa???的方程，化為????fxgx?求解。

形如20xxabac????的方程，可令xta?進行換元，轉化成??200tbtct????一元二次方程

進行求解。

七、指數不等式的解法：

當1a?時，

????fxgxaa?與????fxgx?同解，當01a??時，

????fxgxaa?與

3

????fxgx?同解。

類型一根式與分數指數冪的互化

例1：(1)用根式表示下列各式：a

1

5

；a

3

4

；a－

2

3

；

(2)用分數指數冪表示下列各式：

3

a5；

3

a6；

1

3

a2

.

解析：(1)a

1

5

＝

5

a；a

3

4

＝

4

a3；a－

2

3

＝

1

a

2

3

＝

1

3

a2

.

(2)

3

a5＝a

5

3

；

3

a6＝a

6

3

＝a2；

1

3

a2

＝

1

a

2

3

＝a－

2

3

.

答案：見解析

練習1：把根式化為分數指數冪的形式：

4

a2b3＝__________.

答案：a

1

2

b

3

4

練習2：用根式表示下列各式：x

3

5

；x－

1

3

.

答案：x

3

5

＝

5

x3.x－

1

3

＝

1

3

x

.

類型二根式與分數指數冪的混合運算

例2：計算：1.5－

1

3

＋80.25×

4

2＋(2×3)4－－

2

3

2

3

.

解析：原式＝(

3

2

)－

1

3

＋(23)

1

4

×2

1

4

＋(6

1

2

)4－

4

9

1

3

＝(

2

3

)

1

3

＋2

3

4

×2

1

4

＋62－(

2

3

)

1

3

＝2＋36

＝38.

答案：38

練習1：化簡：1.5

1

3

×

?

?

?

?

?

?

－

7

6

0＋80.25×

4

2＋(

3

2×3)6－

?

?

?

?

?

?

－

3

2

2

3

；

答案：110

練習2：(2014～2015學年度西藏拉薩中學高一上學期月考)化簡3－π2＋

3

－π－33

＝()

A．－2πB．6C．2πD．－6

4

答案：D

類型三指數函數的定義

例3：下列函數中，哪些是指數函數？

①y＝10x；②y＝10x＋1；③y＝10x＋1；④y＝2·10x；

⑤y＝(－10)x；⑥y＝(10＋a)x(a>－10，且a≠－9)；

⑦y＝x10.

解析：①y＝10x符合定義，是指數函數；

②y＝10x＋1是由y＝10x和y＝10這兩個函數相乘得到的復合函數，不是指數函數；

③y＝10x＋1是由y＝10x和y＝1這兩個函數相加得到的復合函數；

④y＝2·10x是由y＝2和y＝10x這兩個函數相乘得到的復合函數，不是指數函數；

⑤y＝(－10)x的底數是負數，不符合指數函數的定義；

⑥由于10＋a>0，且10＋a≠1，即底數是符合要求的常數，故y＝(10＋a)x(a>－10，且a≠－

9)是指數函數；

⑦y＝x10的底數不是常數，故不是指數函數．

綜上可知，①、⑥是指數函數．

答案:①、⑥

練習1：若函數y＝(a－3)·(2a－1)x是指數函數，求a的值．

答案:4

練習2：(2014～2015學年度武漢二中、龍泉中學高一上學期期中測試)函數y＝(a2－3a＋3)ax

是指數函數，則有()

A．a＝1或a＝2B．a＝1

C．a＝2D．a>0且a≠1

答案：C

類型四指數函數的圖象和性質

例4：函數f(x)＝ax－b的圖象如圖所示，其中a、b為常數，則下列結論正確的是()

A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．00D．0

解析：由圖象呈下降趨勢可知0

b>0，∴b<0.

答案：D

練習1：若函數y＝ax＋m－1(a>0)的圖象經過第一、三和第四象限，則()

A．a>1B．a>1，且m<0C．00D．0

答案：B

練習2：(2014～2015學年度山西太原市高一上學期期中測試)在同一坐標系中，函數y＝2x與y

5

＝

?

?

?

?

?

?1

2

x的圖象之間的關系是()

A．關于原點對稱B．關于x軸對稱C．關于y軸對稱D．關于直線y＝x對稱

答案:C

類型五指數函數性質的應用

例5:比較下列各組數的大小：

(1)1.72.5,1.73；

(2)0.8－0.1,0.8－0.2；

(3)1.70.3,0.93.1；

解析：(1)考察指數函數y＝1.7x，

由于底數1.7>1，所以指數函數y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函數．

∵2.5<3，∴1.72.5<1.73.

(2)考察函數y＝0.8x，由于0<0.8<1，

所以指數函數y＝0.8x在(－∞，＋∞)上為減函數．

∵－0.1>－0.2，∴0.8－0.1<0.8－0.2.

(3)由指數函數的性質得

1．70.3>1.70＝1，0.93.1<0.90＝1，

∴1.70.3>0.93.1.

答案：<<>

練習1:比較下列各題中兩個值的大小．

(1)0.3x與0.3x＋1；

(2)

?

?

?

?

?

?1

2

－2與2

1

2

.

答案：>>

練習2:(2014～2015學年度濰坊四縣市高一上學期期中測試)函數f(x)＝ax－1＋2(a>0，a≠1)

恒過定點________．

答案：(1,3)

類型六指數函數性質的綜合應用

例6:函數f(x)＝x2－bx＋c，滿足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝3，比較f(bx)與f(cx)的大小．

解析：∵f(1＋x)＝f(1－x)，

∴f(x)＝x2－bx＋c的對稱軸為x＝1.

即

b

2

＝1?b＝2.又f(0)＝3，∴c＝3.

∴f(bx)＝f(2x)，f(cx)＝f(3x)．

若x≥0，則3x≥2x≥1，而f(x)＝x2－2x＋3在[1，＋∞)上為增函數，

∴f(3x)≥f(2x)，即f(cx)≥f(bx)，

若x<0，則0<3x<2x<1，而f(x)＝x2－2x＋3在(－∞，1)上為減函數，

∴f(3x)>f(2x)，即f(cx)>f(bx)，

綜上所述，f(cx)≥f(bx)．

6

答案：f(cx)≥f(bx)．

練習1:(2015·陜西文，4改編)設f(x)＝

?

?

?1－xx≥0

2xx<0

，則f[f(－2)]＝________.

答案：

1

2

練習2:設函數f(x)定義在實數集上，它的圖象關于直線x＝1對稱，且當x≥1時，f(x)＝3x

－1，則f(

1

3

)、f(

3

2

)、f(

2

3

)的大小關系為__________．

答案：f(

2

3

)＜f(

3

2

)＜f(

1

3

)

1、把下列各式中的

a

寫成分數指數冪的形式

（1）5256a?；（2）428a??；

答案：（1）

1

5256a?；（2）

1

428a??

2、計算（1）

3

29；（2）

3

216?

答案：（1）??33

3

2

23

22

2933327?????；（2）??3

3

231

2

2

1

164464

64

?

?

??????

3、求下列各式的值

（1）??3

32?；（2）??4

42?；

答案：（1）??3

322???；（2）??4

422??

4、用分數指數冪的形式表示下列各式：

（1）2aa?

（2）3

32aa?

答案：（1）

115

2

22

222aaaaaa??????

；（2）

2211

3

3

323

333aaaaaa??????

5、若函數??223xyaa???是一個指數函數，求實數

a

的取值范圍。

答案：????????,1515,13,1515,?????????UUU

6、函數323xy???恒過定點。

答案：??3,4

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7

基礎鞏固

1．(2014～2015學年度河北刑臺二中高一上學期月考)下列命題中正確命題的個數為()

①

n

an＝a；②若a∈R，則(a2－a＋1)0＝1；③

3

x4＋y3＝x

4

3

＋y；④

3

－5＝

6

－52.

A．0B．1

C．2D．3

答案：B

2．(2014～2015學年度四川成都七中實驗學校高一上學期期中測試)設a>0，將

a2

a·

3

a2

寫成

分數指數冪，其結果是()

A．a

3

2

B．a

1

2

C．a

5

6

D．a

7

6

答案：D

3．(2014～2015學年度山東濟寧兗州區高一上學期期中測試)計算：2－

1

2

＋

－40

2

＋

1

2－1

－

1－50＝____.

答案：22

4．(2014～2015學年度濰坊四縣市高一上學期期中測試)若a<

1

4

，則化簡

4

4a－12的結果是

()

A．1－4aB．4a－1

C．－1－4aD．－4a－1

答案：A

5．(2014～2015學年度山西朔州市一中高一上學期期中測試)函數y＝ax在[0,1]上的最大值與

最小值的和為3，則a＝()

A．

1

2

B．2

C．4D．

1

4

答案:B

能力提升

8

6．(2014～2015學年度濟南市第一中學高一上學期期中測試)若函數f(x)＝

?

?

?

?

?fx＋2x<2

2－xx≥2

，則f(－3)的值為()

A．2B．8

C．

1

2

D．

1

8

答案：D

7．(2014～2015學年度江蘇泰州三中高一上學期期中測試)函數y＝ax＋1＋1(a>0且a≠1)的圖象

必經過定點________．

答案：(－1,2)

8．(2014～2015學年度山東濟寧兗州區高一上學期期中測試)設f(x)是定義在R上的奇函數，

且當x>0時，f(x)＝2x－3，則當x<0時，f(x)＝________.

答案：3－2－x

9.(2014～2015學年度江蘇泰州三中高一上學期期中測試)設函數f(x)＝kax－a－x(a>0且a≠1)

是奇函數．

(1)求常數k的值；

(2)若a>1，試判斷函數f(x)的單調性，并加以證明．

答案：(1)函數f(x)的定義域為R.

又∵f(x)為奇函數，∴f(0)＝0，

即k－1＝0，∴k＝1.

(2)當a>1時，函數f(x)是R上的增函數．

由(1)知f(x)＝ax－a－x.

設任意實數x1

f(x2)－f(x1)＝ax2－a－x2－ax

1＋a－x

1

＝ax2－ax

1＋

1

ax1

－

1

ax

2

＝ax

2－ax

1＋

ax

2－ax

1

ax

1

＋x

2

＝(ax

2－ax

1)

?

?

?

?

?

?

1＋

1

ax

1＋x

2

∵x11，∴ax

1

2，∴ax

2－ax

1>0.

又1＋

1

ax

1＋x

2

>0，

∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)．

9

故當a>1時，函數f(x)在R上是增函數．

10.已知定義域為R的函數f(x)＝

b－2x

2x＋a

是奇函數．

(1)求a、b的值；

(2)用定義證明f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數；

(3)若對于任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的范圍．

答案：(1)∵f(x)為R上的奇函數，

∴f(0)＝0，b＝1.

又f(－1)＝－f(1)，得a＝1.

(2)任取x1，x2∈R，且x1

f(x1)－f(x2)＝

1－2x

1

2x

1＋1

－

1－2x

2

2x

2＋1

＝

1－2x

12x

2＋1－1－2x

22x

1＋1

2x

1＋12x

2＋1

＝

22x

2－2x

1

2x

1＋12x

2＋1

，

∵x1

2－2x

1>0，

又(2x

1＋1)(2x

2＋1)>0，f(x1)－f(x2)>0.

∴f(x)為R上的減函數．

(3)∵t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，

∴f(t2－2t)<－f(2t2－k)．

∵f(x)是奇函數，∴f(t2－2t)

由于f(x)為減函數，∴t2－2t>k－2t2.

即k<3t2－2t恒成立，

而3t2－2t＝3(t－

1

3

)2－

1

3

≥－

1

3

，

∴k<－

1

3

.

課程顧問簽字：教學主管簽字：