三余弦定理

三角形余弦定理公式大全

高中數(shù)學是一個非常讓人頭痛的學科，但是還有有許多同學擺正

態(tài)度積極學習，為了更好的幫助他們提高成績。下面是由小編為大家

整理的“三角形余弦定理公式大全”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

三角形余弦定理公式大全

余弦定理(第二余弦定理)

余弦定理是揭示三角形邊角關系的重要定理，直接運用它可解決

一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個邊求角的問題，

若對余弦定理加以變形并適當移于其它知識，則使用起來更為方便、

靈活。

直角三角形的一個銳角的鄰邊和斜邊的比值叫這個銳角的余弦值

編輯本段

余弦定理性質(zhì)

對于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這

兩邊與它們夾角的余弦的兩倍積，若三邊為a，b，c三角為A，B，C，

則滿足性質(zhì)--

a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosA

b^2=a^2+c^2-2·a·c·cosB

c^2=a^2+b^2-2·a·b·cosC

cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2·a·b)

cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2·a·c)

cosA=(c^2+b^2-a^2)/(2·b·c)

(物理力學方面的平行四邊形定則中也會用到)

第一余弦定理(任意三角形射影定理)

設△ABC的三邊是a、b、c，它們所對的角分別是A、B、C，則

有

a=b·cosC+c·cosB，b=c·cosA+a·cosC，c=a·cosB+b·cosA。

編輯本段

余弦定理證明

平面向量證法

∵如圖，有a+b=c(平行四邊形定則:兩個鄰邊之間的對角線代表

兩個鄰邊大小)∴c·c=(a+b)·(a+b)

∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)

(以上粗體字符表示向量)

又∵cos(π-θ)=-Cosθ

∴c2=a2+b2-2|a||b|cosθ(注意:這里用到了三角函數(shù)公式)

再拆開，得c2=a2+b2-2*a*b*CosC

即cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b

同理可證其他，而下面的cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是將cosC移

到左邊表示一下。

平面幾何證法

在任意△ABC中

做AD⊥BC.

∠C所對的邊為c，∠B所對的邊為b，∠A所對的邊為a

則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

根據(jù)勾股定理可得:

AC^2=AD^2+DC^2

b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2

b^2=(sinB2+cosB2)*c^2-2ac*cosB+a^2

b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

編輯本段

作用

(1)已知三角形的三條邊長，可求出三個內(nèi)角

(2)已知三角形的兩邊及夾角，可求出第三邊。

(3)已知三角形兩邊及其一邊對角，可求其它的角和第三條邊。(見

解三角形公式，推導過程略。)

判定定理一(兩根判別法):

若記m(c1,c2)為c的兩值為正根的個數(shù)，c1為c的表達式中根號

前取加號的值，c2為c的表達式中根號前取

減號的值

①若m(c1,c2)=2,則有兩解

②若m(c1,c2)=1,則有一解

③若m(c1,c2)=0,則有零解(即無解)。

注意:若c1等于c2且c1或c2大于0，此種情況算到第二種情況，

即一解。

判定定理二(角邊判別法):

一當a>bsinA時

①當b>a且cosA>0(即A為銳角)時，則有兩解

②當b>a且cosA<=0(即A為直角或鈍角)時,則有零解(即無解)

③當b=a且cosA>0(即A為銳角)時，則有一解

④當b=a且cosA<=0(即A為直角或鈍角)時,則有零解(即無解)

⑤當b

二當a=bsinA時

①當cosA>0(即A為銳角)時,則有一解

②當cosA<=0(即A為直角或鈍角)時，則有零解(即無解)

三當a

解三角形公式例如:已知△ABC的三邊之比為5:4:3，求最大的內(nèi)角。

解設三角形的三邊為a,b,c且a:b:c=5:4:3.

由三角形中大邊對大角可知:∠A為最大的角。由余弦定理

cosA=0

所以∠A=90°.

再如△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=60度，求BC之長。

解由余弦定理可知

BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cosA

=4+9-2×2×3×cos60

=13-12x0.5

=13-6

=7

所以BC=√7.(注:cos60=0.5,可以用計算器算)

以上兩個小例子簡單說明了余弦定理的作用。

其他

從余弦定理和余弦函數(shù)的性質(zhì)可以看出，如果一個三角形兩邊的

平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角一定是直角，如果小

于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角，如果大于第三邊的平

方，那么第三邊所對的角是銳角。即，利用余弦定理，可以判斷三角

形形狀。同時，還可以用余弦定理求三角形邊長取值范圍。

解三角形時，除了用到余弦定理外還常用正弦定理。

30°45°60°

Sin1/2√2/2√3/2

Cos√3/2√2/21/2

Tan√3/31√3

拓展閱讀：三角形的三邊關系是什么

三角形三邊關系是三角形三條邊關系的定則，具體內(nèi)容是在一個

三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。

三角形三邊關系是三角形三條邊關系的定則，具體內(nèi)容是在一個

三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。

設三角形三邊為a,b,c則a+b>c,a>c-b，b+c>a,b>a-c，

a+c>b,c>b-a

直角三角形

性質(zhì)1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

性質(zhì)2：在直角三角形中，兩個銳角互余。

性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。

性質(zhì)4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積。