pmi泡沫

鋁面板PMI泡沫芯夾層梁彎曲的彈性計(jì)算理論

吳曉

【摘要】Thebendingproblemofthefacepolymethacrylimide(PMI)foam

coresandwichbeamwastakenastheplanestressproblemandthe

differentialequationofbendingdeformationforaluminumfacePMIfoam

lection

expressionsofbendingdeformationforthebendingofaluminumfacePMI

foamcoresandwichbeamwerederivedfromtakingtheexternalloadon

ingtothe

deduceddeflectionexpressions,themidpointdeflectionsofthealuminum

facePMIfoamcoresandwichbeamwerecalculated,withtheresultsclor

totheexperimentalresultscomparedwiththecalculationresultsbythe

energymethodandthefiniteelementmethodandthetestresultsinsome

ovedthattheaccuracyofthismethodis

rmore,thegeneralformulaofbenddeflectionforaluminum

facesPMIfoamcoresandwichbeamsisgivenandthecalculationformula

ofdeflectionissimplewhichcanbeappliedtothepracticalengineering.%

把鋁面板聚甲基丙烯酰亞胺(PMI)泡沫芯夾層梁的彎曲問(wèn)題按平面應(yīng)力問(wèn)題進(jìn)行研

究,采用彈性理論建立了鋁面板PMI泡沫芯夾層梁彎曲變形的微分方程,利用奇異函

數(shù)把作用在梁上的外載荷表示為分布載荷,推導(dǎo)出了鋁面板PMI泡沫芯夾層梁彎曲

變形時(shí)的撓度表達(dá)式.按所推出的撓度表達(dá)式計(jì)算了鋁面板PMI泡沫芯夾層梁中點(diǎn)

撓度,并將其與有關(guān)文獻(xiàn)采用能量法和有限元法計(jì)算的結(jié)果、有關(guān)文獻(xiàn)所給出的試

驗(yàn)值進(jìn)行比較后發(fā)現(xiàn),按所推出的撓度表達(dá)式計(jì)算的結(jié)果更為接近試驗(yàn)值,說(shuō)明其計(jì)

算精度是可靠的,而且表達(dá)形式較為簡(jiǎn)便,可在工程實(shí)際中推廣應(yīng)用.

【期刊名稱】《建筑材料學(xué)報(bào)》

【年(卷),期】2017(020)001

【總頁(yè)數(shù)】5頁(yè)(P156-160)

【關(guān)鍵詞】鋁面板;泡沫芯;夾層梁;彎曲;彈性;撓度

【作者】吳曉

【作者單位】湖南文理學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院,湖南常德415000

【正文語(yǔ)種】中文

【中圖分類】O341

夾層梁結(jié)構(gòu)具有強(qiáng)度高、剛度比大、質(zhì)量輕等特點(diǎn)，在機(jī)械、航天航空、土木工程

等實(shí)際工程中得到了廣泛應(yīng)用，關(guān)于夾層梁結(jié)構(gòu)彎曲性能的研究文獻(xiàn)也較多.對(duì)于

夾層梁的彎曲變形計(jì)算，多采用材料力學(xué)理論.文獻(xiàn)[1]研究了新型竹木GFRP夾層

梁的受彎性能，文獻(xiàn)[2]計(jì)算了軟夾芯夾層梁最大彎曲正應(yīng)力，文獻(xiàn)[3]計(jì)算了基于

修正單層梁理論的夾層梁最大彎曲正應(yīng)力，文獻(xiàn)[4]研究了剪切對(duì)泡沫夾層結(jié)構(gòu)梁

彎曲性能的影響，文獻(xiàn)[5]進(jìn)行了蜂窩夾層板木質(zhì)復(fù)合梁的三點(diǎn)彎曲試驗(yàn)，文獻(xiàn)[6]

研究了考慮剪切變形的蜂窩夾層木質(zhì)復(fù)合梁彎曲特性，文獻(xiàn)[7]研究了面板厚度對(duì)

復(fù)合材料夾層梁整體及局部彎曲力學(xué)特性的影響，文獻(xiàn)[8]進(jìn)行了木工字梁抗彎剛

度和剪切系數(shù)試驗(yàn)方法設(shè)計(jì)及驗(yàn)證，文獻(xiàn)[9]研究了熱荷載作用下Timoshenko功

能梯度夾層梁的靜態(tài)響應(yīng)，文獻(xiàn)[10]研究了鋁面板聚甲基丙烯酰亞胺(PMI)泡沫芯

夾層材料的力學(xué)性能.本文采用彈性理論研究了鋁面板PMI泡沫芯夾層梁的彎曲變

形，推導(dǎo)出了外載荷作用下鋁面板PMI泡沫芯夾層梁彎曲變形時(shí)的撓度表達(dá)通式.

算例分析表明，本文的計(jì)算方法是可靠的，可以在工程實(shí)際中推廣應(yīng)用.

薄矩形截面梁的彎曲變形通常可作為彈性力學(xué)的平面應(yīng)力問(wèn)題來(lái)研究，本文參照文

獻(xiàn)[4]，將鋁面板PMI泡沫芯夾層梁的彎曲變形視作平面應(yīng)力問(wèn)題，采用彈性理論

進(jìn)行研究.鋁面板夾層梁的具體參數(shù)見(jiàn)圖1，其中ht為面板厚度，hc為泡沫夾芯層

厚度，h=hc+2ht；l為梁長(zhǎng)；b為梁寬.

由彈性理論可知，夾層梁微段的靜力平衡方程、應(yīng)力與應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系、應(yīng)變與位移

關(guān)系分別為：

式中：Fx，F(xiàn)y分別為作用在微段x，y方向上的外力；u表示x方向上的位移；w

表示y方向上的位移；i=t，c，其中t表示面板，c表示夾芯層；Ei，μi分別表示

i的彈性模量和泊松比；σx為x方向正應(yīng)力，σy為y方向正應(yīng)力，τxy為剪應(yīng)力；

εx為x方向應(yīng)變，εy為y方向應(yīng)變，γxy為剪應(yīng)變.

夾層梁橫截面上任意一點(diǎn)x方向上的位移可表示為[4,11]：

式中：θ為夾層梁橫截面的轉(zhuǎn)角.

在梁的彎曲變形計(jì)算中一般都忽略橫向擠壓應(yīng)力的影響.當(dāng)σy=0時(shí)，式(1)，(2)可

簡(jiǎn)化為：

利用式(4)，(6)可得夾層梁橫截面彎矩M，剪力Q的表達(dá)式：

式中：，；，為剪切剛度，對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題，其中的剪切系數(shù)k=8/9[12].

把式(5)第1分式乘以by并沿梁高積分，第2分式乘以b并沿梁高積分，可以得

到平衡方程：

式中：m為作用在梁上且沿梁長(zhǎng)分布的力偶；q為單位長(zhǎng)度上的載荷.

將式(7)代入式(8)并化簡(jiǎn)可得：

式中：；λ為彎曲剛度折減系數(shù),λ.

為了使上述撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程具有普遍意義，假設(shè)鋁面板PMI泡沫芯夾層梁

受外載荷作用，如圖2所示.

利用奇異函數(shù)可把外載荷及力偶表示為：

式中：qc，qd為分布載荷；P為集中載荷；m0為集中力偶；c，d，e，f為載荷

作用的區(qū)間長(zhǎng)度.

把式(10)代入式(9)并積分，可得到本文提出的鋁面板PMI泡沫芯夾層梁彎曲變形

時(shí)的撓度表達(dá)式和轉(zhuǎn)角表達(dá)式：

w(x)=[〈x-c〉5-〈x-d〉5]+[qc〈x-c〉4-qd〈x-d〉4]-[〈x-c〉3-〈x-d〉3]-

[qc〈x-c〉2-qd〈x-d〉2]-+

θ(x)=[〈x-c〉4-〈x-d〉4]+[qc〈x-c〉3-qd〈x-d〉3]+[〈x-c〉2-〈x-d〉2]+

[qc〈x-c〉1-qd〈x-d〉1]-

由于文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[10]僅對(duì)兩端簡(jiǎn)支且在梁中點(diǎn)處作用有集中載荷的鋁面板PMI

泡沫芯夾層梁彎曲變形進(jìn)行了理論分析及試驗(yàn)，為了檢驗(yàn)式(11)，(12)的計(jì)算精度，

本文也僅討論兩端簡(jiǎn)支且在梁中點(diǎn)處作用有集中載荷的鋁面板PMI泡沫芯夾層梁

彎曲變形.夾層梁的計(jì)算參數(shù)分別為[10]：l=300mm，b=60mm，ht=1mm，

hc=40mm，P=2100N，面板彈性模量Et=67GPa，夾芯層彈性模量

Ec=104MPa，夾芯層剪切彈性模量Gc=32MPa，泊松比μc=0.36，剪切系數(shù)

k=8/9.

簡(jiǎn)支梁邊界條件為：

由式(11)可求得在梁中點(diǎn)處作用有集中載荷的中點(diǎn)撓度為：

在其他邊界條件下，夾層梁在外載荷作用下的撓度及轉(zhuǎn)角同樣可以利用式(11)，

(12)求得.

為便于對(duì)比，表1列出了撓度試驗(yàn)值[10]、按式(14)計(jì)算的撓度、文獻(xiàn)[4]采用能

量法(EM)和有限元法(FEM)計(jì)算的撓度及文獻(xiàn)[13]的撓度計(jì)算結(jié)果.

由表1可知，本文方法計(jì)算結(jié)果(式(14))與有限元法計(jì)算結(jié)果非常接近，但若以試

驗(yàn)值為標(biāo)準(zhǔn)的話，則本文方法計(jì)算結(jié)果比有限元法計(jì)算結(jié)果更接近標(biāo)準(zhǔn)，更優(yōu)于能

量法及文獻(xiàn)[13]的計(jì)算結(jié)果.

為了進(jìn)一步說(shuō)明本文方法的應(yīng)用，討論分析兩端簡(jiǎn)支且在全梁長(zhǎng)上作用有均布載荷

的鋁面板PMI泡沫芯夾層梁彎曲變形.利用式(11)結(jié)合簡(jiǎn)支梁邊界條件(式(13))，可

得均布載荷作用下的梁中點(diǎn)撓度為：

當(dāng)兩端簡(jiǎn)支、在全梁長(zhǎng)上都作用有均布載荷且在梁中點(diǎn)作用有集中載荷時(shí)，由式

(14)，(15)可得這種情況下的簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)撓度為：

以文獻(xiàn)[10]中的PMI泡沫芯夾層梁為例，按式(15)，(16)計(jì)算的撓度以及按有限元

法計(jì)算的撓度列于表2.

由表2可見(jiàn)，本文方法計(jì)算結(jié)果與有限元法計(jì)算結(jié)果吻合得很好，兩者誤差不超

過(guò)1%.

夏桂云等[14-15]指出，引入剪切系數(shù)的目的主要是克服假定剪切應(yīng)變沿梁截面均

勻分布、剪應(yīng)力卻沿梁截面非均勻分布的誤差影響.但是，李真等[4]采用能量法來(lái)

研究剪切對(duì)泡沫夾層結(jié)構(gòu)梁彎曲性能的影響時(shí)，卻沒(méi)有引入剪切系數(shù)，所以能量法

的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)值誤差較大.文獻(xiàn)[13]給出的簡(jiǎn)支夾層梁在集中載荷或均布載荷

作用下的中點(diǎn)撓度計(jì)算公式分別為，，這實(shí)際上是Timoshenko梁理論得到的計(jì)

算公式.雖然文獻(xiàn)[13]給出的夾層梁中點(diǎn)撓度計(jì)算公式表達(dá)形式與本文式(14)，(15)

相似，但本質(zhì)上還是有區(qū)別的，在本文式(14)，(15)及式(11)，(12)中都含有彎曲

剛度折減系數(shù)λ.由于(2h+hc)>0，即D>D2，所以λ<1，由此可知本文式(14)計(jì)

算結(jié)果要小于文獻(xiàn)[13]中Timoshenko梁理論給出的計(jì)算結(jié)果，這也是本文式(14)

計(jì)算結(jié)果比其他方法計(jì)算結(jié)果更接近試驗(yàn)結(jié)果的原因.另外，由表1可以看出本文

方法計(jì)算結(jié)果也與試驗(yàn)值之間存在6.42%的誤差.筆者認(rèn)為造成誤差的原因有：(1)

鋁面板PMI泡沫芯夾層梁在熱成型及加工過(guò)程中有可能存在缺陷；(2)試驗(yàn)裝置本

身存在試驗(yàn)誤差；(3)試驗(yàn)機(jī)在對(duì)鋁面板PMI泡沫芯夾層梁中點(diǎn)加載時(shí)，試驗(yàn)機(jī)壓

頭有可能沒(méi)有完全壓在梁中點(diǎn)，壓偏致使梁中點(diǎn)存在扭矩作用；(4)文獻(xiàn)[10]提供

的泡沫芯夾層梁的芯層材料參數(shù)Ec，Gc，μc并不滿足關(guān)系式，這也說(shuō)明文獻(xiàn)[10]

提供的泡沫芯夾層梁的芯層材料不是各向同性材料.

由此可知，本文采用彈性理論推導(dǎo)出了任意載荷作用下鋁面板PMI泡沫芯夾層梁

彎曲變形的撓度表達(dá)通式及轉(zhuǎn)角表達(dá)通式，適用于各種邊界條件下的夾層梁彎曲撓

度計(jì)算，而且由式(14)，(15)還可看出由本文方法推導(dǎo)得到的夾層梁中點(diǎn)撓度計(jì)算

公式表達(dá)形式非常簡(jiǎn)潔，計(jì)算精度較高，比其他方法計(jì)算結(jié)果更接近試驗(yàn)值.這說(shuō)

明本文方法的計(jì)算精度是可靠的，完全可在工程實(shí)際中推廣應(yīng)用.

(1)采用彈性理論推導(dǎo)出了任意載荷作用下鋁面板PMI泡沫芯夾層梁彎曲變形的撓

度表達(dá)通式及轉(zhuǎn)角表達(dá)通式，適用于各種邊界條件下的夾層梁彎曲撓度計(jì)算.

(2)采用能量法研究剪切對(duì)泡沫夾層結(jié)構(gòu)梁彎曲性能的影響時(shí)，由于沒(méi)有引入剪切

系數(shù)，致使其計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)值誤差較大.本文推導(dǎo)出的撓度、轉(zhuǎn)角表達(dá)式中都含

有彎曲剛度折減系數(shù)λ，因此本文方法計(jì)算結(jié)果比其他方法計(jì)算結(jié)果更接近試驗(yàn)值.

(3)本文推導(dǎo)出的在梁中點(diǎn)處作用有集中載荷的夾層梁中點(diǎn)撓度計(jì)算公式形式簡(jiǎn)潔，

計(jì)算精度高于其他方法，因此其計(jì)算結(jié)果比其他方法計(jì)算結(jié)果更接近試驗(yàn)值，完全

可在實(shí)際工程中推廣應(yīng)用.

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