向量的運(yùn)算的所有公式

高中數(shù)學(xué)向量的運(yùn)算法則經(jīng)典總結(jié)

（1）實(shí)數(shù)與向量的運(yùn)算法則：設(shè)?、?為實(shí)數(shù)，則有：

1）結(jié)合律：

aa)()(?????

。

2）分配律：

aa???????)(

，

baba??????)(

。

（2）向量的數(shù)量積運(yùn)算法則：

1）abba???。

2）

)()()(babababa??????????。

3）

cbcacba??????)(

。

（3）平面向量的基本定理。

21

,ee

是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，則對(duì)于這一平面內(nèi)的任何一向量a，有且僅有一

對(duì)實(shí)數(shù)

21

,??，滿足

2211

eea????

。

（4）

a

與

b

的數(shù)量積的計(jì)算公式及幾何意義：?cos||||baba??，數(shù)量積

ba?等于

a

的

長(zhǎng)度

||a

與

b

在

a

的方向上的投影?cos||b

的乘積。

（5）平面向量的運(yùn)算法則。

1）設(shè)a＝

11

(,)xy

，b＝

22

(,)xy

，則a+b＝

1212

(,)xxyy??

。

2）設(shè)a＝

11

(,)xy

，b＝

22

(,)xy

，則a-b＝

1212

(,)xxyy??

。

3）設(shè)點(diǎn)A

11

(,)xy

，B

22

(,)xy

，則

2121

(,)ABOBOAxxyy?????

????????????

。

4）設(shè)a＝(,),xy??R，則a?＝(,)xy??。

5）設(shè)a＝

11

(,)xy

，b＝

22

(,)xy

，則a?b＝

1212

()xxyy?

。

（6）兩向量的夾角公式：

1212

2222

1122

cos

xxyy

xyxy

?

?

?

???

（a＝

11

(,)xy

，b＝

22

(,)xy

）。

（7）平面兩點(diǎn)間的距離公式：

,AB

d

＝

||ABABAB??

????????????

22

2121

()()xxyy????

（A

11

(,)xy，B

22

(,)xy）。

（8）向量的平行與垂直：設(shè)a＝

11

(,)xy

，b＝

22

(,)xy

，且b

?

0，則有：

1）a||b?b＝?a

1221

0xyxy???

。

2）a

?

b（a?0）?a·b＝0

1212

0xxyy???

。

（9）線段的定比分公式：

設(shè)

111

(,)Pxy

，

222

(,)Pxy

，

(,)Pxy

是線段

12

PP

的分點(diǎn)，?是實(shí)數(shù)，且

12

PPPP??

????????

，則

12

12

1

1

xx

x

yy

y

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?12

1

OPOP

OP

?

?

?

?

?

?????????

????

?

12

(1)OPtOPtOP???

?????????????

（

1

1

t

?

?

?

）。

（10）三角形的重心公式：

△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

11

(,)Axy

、

22

(,)Bxy

、

33

(,)Cxy

，則△ABC的重心的坐

標(biāo)為123123(,)

33

xxxyyy

G

????

。

（11）平移公式：

''

''

xxhxxh

yykyyk

??

????

??

?

??

????

??

??

''OPOPPP???

?????????

????

。

（12）關(guān)于向量平移的結(jié)論。

1）點(diǎn)(,)Pxy按向量a＝(,)hk平移后得到點(diǎn)'(,)Pxhyk??

。

2）函數(shù)()yfx?的圖像C按向量a＝(,)hk平移后得到圖像'C:()yfxhk???。

3）圖像'C按向量a＝(,)hk平移后得到圖像C:()yfx?，則'C為()yfxhk???。

4）曲線C:(,)0fxy?按向量a＝(,)hk平移后得到圖像'C:(,)0fxhyk???。