附合導線

1

閉合導線：

名稱表示原理

（導線長）D實測邊長總合

（角度總和）∑β實測左角相加的總和

（角度閉合差）Fβ實測左角相加的總和的秒位數

（坐標閉和差）Fx△x計算出的坐標增量之合

Fy△y計算出的坐標增量之合

（距離閉合差）FFx平方加Fy平方開根號

（導線精度）KF/D(1÷F×D)

附合導線：

名稱表示原理

（導線長）D實測邊長總合

（角度總和）∑β實測左角相加的總和

（角度閉合差）Fβ實測推算出的終點方位角減理論的終點方位角

（坐標閉和差）Fx△x總合減（終點x坐標減起始x坐標）

Fy△y總合減（終點y坐標減起始y坐標）

（距離閉合差）FFx平方+Fy平方開根號

（導線精度）KF/D(1÷F×D)

坐標增量計算：

△x12=D12×cosa12

△y12=D12×sina12

D：實測兩點間的距離。

a：實測兩點間的方位角。

近似平差方法：①將角度閉合差除以測站數：Fβ÷N（N表示測站數）=∩（角度

均值），然后將角度均值加到實測右角中。

②將Fx平方加Fy平方開根號，得出距離閉合差，用距離閉合差除以觀測邊長

數得出距離均值，然后將距離均值加到每一條實測邊長中。

2

③從起測點開始，再通過公式△x12=D12×cosa12、△y12=D12×sina12求出

坐標增量。用上一測站的坐標加上坐標增量就得出平差后的坐標

第三節導線測量的內業計算

導線測量內業計算的目的就是計算各導線點的平面坐標x、y。

計算之前，應先全面檢查導線測量外業記錄、數據是否齊全，有無記錯、算錯，成果是

否符合精度要求，起算數據是否準確。然后繪制計算略圖，將各項數據注在圖上的相應位置，

如圖6-11所示。

一、坐標計算的基本公式

1．坐標正算

根據直線起點的坐標、直線長度及其坐標方位角計算直線終點的坐標，稱為坐標正算。

如圖6-10所示，已知直線AB起點A的坐標為（xA，yA），AB邊的邊長及坐標方位角分別為

DAB和αAB，需計算直線終點B的坐標。

直線兩端點A、B的坐標值之差，稱為坐標增量，用ΔxAB、ΔyAB表示。由圖6-10可看

出坐標增量的計算公式為：

?

?

?

????

????

ABABABAB

ABABABAB

Dyyy

Dxxx

?

?

sin

cos

（6-1）

根據式（6-1）計算坐標增量時，sin和cos函數值隨著α角所在象限而有正負之分，

因此算得的坐標增量同樣具有正、負號。坐標增量正、負號的規律如表6-5所示。

表6-5坐標增量正、負號的規律

象限坐標方位角αΔxΔy

Ⅰ0?～90?＋＋

Ⅱ90?～180?－＋

Ⅲ180?～270?－－

x

y

x

A

x

B

y

A

y

B

?y

AB

?x

AB

α

AB

A

B

O

圖6-10坐標增量計算

3

Ⅳ270?～360?＋－

則B點坐標的計算公式為：

?

?

?

?????

?????

ABABAABAB

ABABAABAB

Dyyyy

Dxxxx

?

?

sin

cos

（6-2）

例6-1已知AB邊的邊長及坐標方位角為

456380m62.135

???

???

ABAB

D?，

，若A點的坐標為

m82.658m56.435??

AA

yx，

，試計算終點B的坐標。

解根據式（6-2）得

6.792456380sinm62.135m82.658sin

6.457456380cosm62.135m56.435cos

?

???

??????

?

???

??????

ABABAB

ABABAB

Dyy

Dxx

?

?

2．坐標反算

根據直線起點和終點的坐標，計算直線的邊長和坐標方位角，稱為坐標反算。如圖6-10

所示，已知直線AB兩端點的坐標分別為（xA，yA）和（xB，yB），則直線邊長DAB和坐標方位

角αAB的計算公式為：

22

ABABAB

yxD????

（6-3）

AB

AB

ABx

y

?

?

?arctan?

（6-4）

應該注意的是坐標方位角的角值范圍在0?～360?間，而arctan函數的角值范圍在－90

?～＋90?間，兩者是不一致的。按式（6-4）計算坐標方位角時，計算出的是象限角，因此，

應根據坐標增量Δx、Δy的正、負號，按表6-5決定其所在象限，再把象限角換算成相應

的坐標方位角。

例6-2已知A、B兩點的坐標分別為

m72.525m50.304m29.814m99.342????

BBAA

yxyx，，，

試計算AB的邊長及坐標方位角。

解計算A、B兩點的坐標增量

m57.288m29.814m72.525

m49.38m99.342m50.304

???????

???????

ABAB

ABAB

yyy

xxx

根據式（6-3）和式（6-4）得

m13.291m)57.288(m)49.38(2222?????????

ABABAB

yxD

9042262

m49.38

m57.288

arctanarctan

???

??

?

?

?

?

?

?

AB

AB

ABx

y

?

4

二、閉合導線的坐標計算

現以圖6-11所注的數據為例（該例為圖根導線），結合“閉合導線坐標計算表”的使用，

說明閉合導線坐標計算的步驟。

1．準備工作

將校核過的外業觀測數據及起算數據填入“閉合導線坐標計算表”中，見表6-6，起算

數據用單線標明。

2．角度閉合差的計算與調整

（1）計算角度閉合差如圖6-11所示，n邊形閉合導線內角和的理論值為：

?????180)2(

th

n?

（6-5）

式中n——導線邊數或轉折角數。

由于觀測水平角不可避免地含有誤差，致使實測的內角之和

?

m

?

不等于理論值

?

th

?

，兩者之差，稱為角度閉合差，用fβ表示，即

??????????180)2(

th

nf

mm

???

?

（6-6）

（2）計算角度閉合差的容許值角度閉合差的大小反映了水平角觀測的質量。各級導

線角度閉合差的容許值fβp見表6-3和表6-4，其中圖根導線角度閉合差的容許值fβp的計

335°24′00″

108°27′18″

84°10′18″

135°49′11″

90°07′01″

121°27′02″

1

2

3

4

5

x

1

＝500.00m

y

1

＝500.00m

x

圖6-11閉合導線略圖

5

算公式為：

nf06

p

??

??

?

（6-7）

如果

?

f

＞

p?

f

，說明所測水平角不符合要求，應對水平角重新檢查或重測。

如果

?

f

≤

p?

f

，說明所測水平角符合要求，可對所測水平角進行調整。

（3）計算水平角改正數如角度閉合差不超過角度閉合差的容許值，則將角度閉合差

反符號平均分配到各觀測水平角中，也就是每個水平角加相同的改正數vβ，vβ的計算公式

為：

n

f

v

?

?

??

（6-8）

計算檢核：水平角改正數之和應與角度閉合差大小相等符號相反，即

???

??

fv

（4）計算改正后的水平角改正后的水平角βi改等于所測水平角加上水平角改正數

?

??v

ii

??

改

（6-9）

計算檢核：改正后的閉合導線內角之和應為（n－2）×180?，本例為540?。

本例中fβ、fβp的計算見表6-5輔助計算欄，水平角的改正數和改正后的水平角見表6-6

第3、4欄。

3．推算各邊的坐標方位角

根據起始邊的已知坐標方位角及改正后的水平角，按式（4-18）和式（4-19）推算其

它各導線邊的坐標方位角。

本例觀測左角，按式（4-18）推算出導線各邊的坐標方位角，填入表6-6的第五欄內。

計算檢核：最后推算出起始邊坐標方位角，它應與原有的起始邊已知坐標方位角相等，

否則應重新檢查計算。

4．坐標增量的計算及其閉合差的調整

（1）計算坐標增量根據已推算出的導線各邊的坐標方位角和相應邊的邊長，按式

（6-1）計算各邊的坐標增量。例如，導線邊1-2的坐標增量為：

m30.1830042335cosm60.201cos

121212

??

???

??????Dx

6

m92.830042335sinm60.201sin

121212

??

???

??????Dy

用同樣的方法，計算出其它各邊的坐標增量值，填入表6-6的第7、8兩欄的相應格內。

（2）計算坐標增量閉合差如圖6-12a所示，閉合導線，縱、橫坐標增量代數和的理

論值應為零，即

?

?

?

??

??

?

?

0

0

th

th

y

x

（6-10）

實際上由于導線邊長測量誤差和角度閉合差調整后的殘余誤差，使得實際計算所得的

m

x??

、

m

y??

不等于零，從而產生縱坐標增量閉合差Wx和橫坐標增量閉合差Wy，

即

?

?

?

??

??

?

?

my

mx

yW

xW

（6-11）

（3）計算導線全長閉合差WD和導線全長相對閉合差WK從圖6-12b可以看出，由于坐

標增量閉合差Wx、Wy的存在，使導線不能閉合，1-1′之長度WD稱為導線全長閉合差，并用

下式計算

WD=

22

yx

WW?

（6-12）

3

4

5

2

1

?x

12

?x

23

?x

34

?x

45

?x

51

?y

12

?y

23

?y

34

?y

45

?y

51

(＋)

(＋)

(＋)

(＋)

(＋)

(－)(－)

(－)

(－)

(－)

x

y

O

3

4

5

2

1

x

y

O

1′

W

D

W

y

W

x

a)

b)

圖6-12坐標增量閉合差

7

僅從WD值的大小還不能說明導線測量的精度，衡量導線測量的精度還應該考慮到導線

的總長。將WD與導線全長∑D相比，以分子為1的分數表示，稱為導線全長相對閉合差WK，

即

D

D

W

D

D

W

K

?

?

??

1

（6-13）

以導線全長相對閉合差WK來衡量導線測量的精度，WK的分母越大，精度越高。不同等

級的導線，其導線全長相對閉合差的容許值WKP參見表6-3和表6-4，圖根導線的WKP為1/2

000。

如果WK＞WKP，說明成果不合格，此時應對導線的內業計算和外業工作進行檢查，必要

時須重測。

如果WK≤WKP，說明測量成果符合精度要求，可以進行調整。

本例中Wx、Wy、WD及WK的計算見表6-6輔助計算欄。

（4）調整坐標標增量閉合差調整的原則是將Wx、Wy反號，并按與邊長成正比的原則，

分配到各邊對應的縱、橫坐標增量中去。以vxi、vyi分別表示第i邊的縱、橫坐標增量改正

數，即

?

?

?

?

?

?

?

???

???

?

?

i

y

yi

i

x

xi

D

D

W

v

D

D

W

v

（6-14）

本例中導線邊1-2的坐標增量改正數為：

m05.0m60.201

m80.1137

m30.0

12

12

???

?

????

?

D

D

W

vx

x

m02.0m60.201

m80.1137

m09.0

12

12

???

?

????

?

D

D

W

v

y

y

用同樣的方法，計算出其它各導線邊的縱、橫坐標增量改正數，填入表6-6的第7、8

欄坐標增量值相應方格的上方。

計算檢核：縱、橫坐標增量改正數之和應滿足下式

8

?

?

?

??

??

?

?

yy

xx

Wv

Wv

（6-15）

（5）計算改正后的坐標增量各邊坐標增量計算值加上相應的改正數，即得各邊的改

正后的坐標增量。

?

?

?

????

????

yiii

xiii

vyy

vxx

改

改

（6-16）

本例中導線邊1-2改正后的坐標增量為：

m35.183m05.0m30.183

12

1212

?????????

x

vxx

改

m90.83m02.0m92.83

12

1212

?????????

y

vyy

改

用同樣的方法，計算出其它各導線邊的改正后坐標增量，填入表6-6的第9、10欄內。

計算檢核：改正后縱、橫坐標增量之代數和應分別為零。

5．計算各導線點的坐標

根據起始點1的已知坐標和改正后各導線邊的坐標增量，按下式依次推算出各導線點

的坐標：

?

?

?

???

???

??

??

改

改

11

11

iii

iii

yyy

xxx

（6-17）

將推算出的各導線點坐標，填入表6-6中的第11、12欄內。最后還應再次推算起始點

1的坐標，其值應與原有的已知值相等，以作為計算檢核。

表6-6閉合導線坐標計算表

9

點號

觀測角

（左角）

改正數

″

改正角

坐標方位角

α

距離D

/m

增量計算值改正后增量坐標值

點

號

Δx/mΔy/mΔx/mΔy/mx/my/m

1234=2+35678910111213

1

335°24′

00″

201.60

+5

+183.30

+2

-83.92

+183.35-83.90

500.00500.001

2

108°27′

18″

-10″

108°27′

08″

683.35416.102

263°51′

08″

263.40

+7

-28.21

+2

-261.89

-28.14-261.87

3

84°10′

18″

-10″

84°10′

08″

655.21154.233

168°01′

16″

241.00

+7

-235.75

+2

+50.02

-235.68+50.04

4

135°49′

11″

-10″

135°49′

01″

419.53204.274

123°50′

17″

200.40

+5

-111.59

+1

+166.46

-111.54+166.47

5

90°07′

01″

-10″

90°06′

51″

307.99370.745

33°57′

08″

231.40

+6

+191.95

+2

+129.24

+192.01+129.26

1

121°27′

02″

-10″

121°26′

52″

500.00500.001

335°24′

00″

2

∑540°00′50″-50″

540°00′

00″

1137.80-0.30-0.9000

輔

助

計

算

0500540

???

???

m

?m30.0?????

mx

xW

m09.0?????

my

yW

－）

0000540

???

???

th

?

m31.0

22

???

yxD

WWW

05

??

??

?

f

2000

1

3600

1

80.1137

31.0

p

???

KK

WW?

413506

??

??

??

??

p

f

?

?

f

＜P

f

?

10

三、附合導線坐標計算

附合導線的坐標計算與閉合導線的坐標計算基本相同，僅在角度閉合差的計算與坐標增量閉合差的計算方面稍有差別。

1．角度閉合差的計算與調整

（1）計算角度閉合差如圖6-13所示，根據起始邊AB的坐標方位角

AB

?

及觀測的各右角，按式（4-19）推算CD邊的坐標方位角

CD

??

。

BABB

???????180

1

1

2

3

4

B

A

C

D

α

AB

α

CD

x

x

205°36′48″

290°40′54″

202°47′08″

167°21′56″

175°31′25″

214°09′33″

α

AB

＝236°44′28″

x

B

＝1536.86m

y

B

＝837.54m

x

C

＝1429.02m

y

C

＝1283.17m

α

CD

＝69°38′01″

圖6-13附合導線略圖

11

1112

180???????

B

21223

180???????

32334

180???????

CCD

???????

?

?180)

34

??????

?

mABCD

???1805

寫成一般公式為：

??????

?

R

n???180

0fin

（6-18）

若觀測左角，則按下式計算：

??????

?

L

n???180

0fin

（6-19）

附合導線的角度閉合差fβ為：

finfin

??

?

?

?

?f

（6-20）

（2）調整角度閉合差當角度閉合差在容許范圍內，如果觀測的是左角，則將角度閉合差反號平均分配到各左角上；如果觀測的是右角，則將角度

閉合差同號平均分配到各右角上。

2．坐標增量閉合差的計算

附合導線的坐標增量代數和的理論值應等于終、始兩點的已知坐標值之差，即

12

?

?

?

???

???

?

?

0finth

0finth

yyy

xxx

（6-21）

縱、橫坐標增量閉合差為：

?

?

?

????????

????????

???

???

)(

)(

0finth

0finth

yyyyyW

xxxxxW

y

x

（6-22）

圖6-13所示附合導線坐標計算，見表6-7。

表6-7附合導線坐標計算表

點

號

觀測角

（右角）

改正數改正角

坐標方位角

α

距離D

/m

增量計算值改正后增量坐標值

點

號

Δx/mΔy/mΔx/mΔy/mx/my/m

1234=2+35678910111213

A

236°44′

28″

A

B

205°36′

48″

－

13″

205°36′

35″

1536.86837.54

B

211°07′

53″

125.36

＋4

－

107.31

－2

－64.81

－107.27－64.83

1

290°40′

54″

－

12″

290°40′

42″

1429.59772.71

1

100°27′

11″

98.76

＋3

－17.92

－2

＋97.12

－17.89＋97.10

2

202°47′

08″

－

13″

202°46′

55″

1411.70869.81

2

77°40′

16″

114.63

＋4

+30.88

－2

＋141.29

＋30.92＋141.27

3

167°21′

56″

－

13″

167°21′

43″

1442.621011.08

3

90°18′

33″

116.44

＋3

－0.63

－2

＋116.44

－0.60＋116.42

4

175°31′

25″

－

13″

175°31′

12″

1442.021127.50

4

94°47′156.25＋5－3－13.00＋155.67

13

C

214°09′

33″

－

13″

214°09′

20″

1429.021283.17

C

60°38′

01″DD

∑

1256°07′

44″

－

77″

1256°06′

25″

641.44

－

108.03

＋445.74－107.84＋445.63

輔

助

計

算

4463601806

R

???

???????

?

?

???

ABCD

03.108????

m

x????74.445

m

y

711

???

???

?

?

CDCD

f??

?

84.107)????

BC

xx63.445)????

BC

yy

714606

p

??

??

??

??

?

f

m19.0??

x

W

m11.0??

y

W

?

f

＜

p?

fm22.0

22

???

yxD

WWf

2000

1

2900

1

44.641

22.0

p

???

KK

WW?

三、支導線的坐標計算

支導線中沒有檢核條件，因此沒有閉合差產生，導線轉折角和計算的坐標增量均不需要進行改正。支導線的計算步驟為：

1．根據觀測的轉折角推算各邊的坐標方位角。

2．根據各邊坐標方位角和邊長計算坐標增量。

3．根據各邊的坐標增量推算各點的坐標。