直角坐標法

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4．3．1空間直角坐標系

學習目標

主要概念：

空間直角坐標系----從空間某一個定點O引三條互相垂直且有相同單位長度的數軸

Ox、Oy、Oz，這樣的坐標系叫做空間直角坐標系O-xyz，點O叫做坐標原點，x軸、y軸、

z軸叫做坐標軸。

坐標平面----通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為xOy平面、yOz平面、

zOx平面。

空間直角坐標系中的坐標----對于空間任一點M，作出M點在三條坐標軸Ox軸、Oy

軸、Oz軸上的射影，若射影在相應數軸上的坐標依次為x、y、z，則把有序實數對(x,y,z)

叫做M點在此空間直角坐標系中的坐標，記作M(x,y,z)，其中x叫做點M的橫坐標，y

叫做點M的縱坐標，z叫做點M的豎坐標。

教材分析

一、重點難點

本節教學重點是建立空間直角坐標系，難點是用空間直角坐標系刻畫點的位置和根據

點的位置表示出點的坐標。

二、教材解讀

本節教材的理論知識有問題提出、知識探求、思考交流三個板塊組成。

第一板塊問題提出解讀

借助平面直角坐標系，我

們就可以用坐標表示平面上任

意一點的位置，那么空間的點

如何表示呢？

類比于平面直角坐標系的建立。通過具體情境，如

要確定教室內所掛電燈的位置，一方面發現用平面直角

坐標系不能再確定點的位置，需要第三個坐標，拓寬了

思維空間；另一方面感受建立空間直角坐標系的必要性。

第二板塊知識探求解讀

如何建立空間直角坐標

系？

1、在平面直角坐標系的基礎上，通過原點再增加一

根豎軸，就成了空間直角坐標系。

2、如無特別說明，本書建立的坐標系都是右手直角

坐標系。

3、空間直角坐標系象平面直角坐標系一樣，有“三

要素”：原點、坐標軸方向、單位長度。

4、在平面上畫空間直角坐標系O-xyz時，一般使

?135????xOzxOy，

?90??yOz，且使y軸和z

軸的單位長度相同，x軸上的單位長度為y軸(或z軸)的

單位長度的一半，即用斜二測的方法畫。

第三板塊思考交流解讀

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1、為什么空間的點M能用

有序實數對(x,y,z)表示？

設點M為空間直角坐標系中的一點，過點M分別作

垂直于x軸、y軸、z軸的平面，依次交x軸、y軸、z

軸于P、Q、R點，設點P、Q、R在x軸、y軸、z軸上

的坐標分別是x、y和z，那么點M就有唯一確定的有序

實數組(x,y,z)；反過來，給定有序實數組(x,y,z)，可以

在x軸、y軸、z軸上依次取坐標為x、y和z的點P、Q

和R，分別過P、Q和R點各作一個平面，分別垂直于x

軸、y軸、z軸，這三個平面的唯一的交點就是有序實數

組(x,y,z)確定的點M。

拓展閱讀

如果把坐標法理解為通過某一特定系統中的若干數量來決定空間位置的方法，那么戰

國時代魏人石申用距度（或入宿度）和去極度兩個數據來表示恒星在天球上位置的星表，

可以說是一種球面坐標系統的坐標法。古希臘的地理學家和天文學家也廣泛地使用球面坐

標法。西晉人裴秀（223－271）提出“制圖六體”，在地圖繪制中使用了相當完備的平面

網絡坐標法。

用坐標法來刻劃動態的、連結的點，是它溝通代數與幾何而成為解析幾何的主要工具

的關鍵。阿波羅尼在<<圓錐曲線論>>中，已借助坐標來描述曲線。十四世紀法國學者奧雷

斯姆用“經度”和“緯度”(相當于縱坐標和橫坐標)的方程來刻劃動點的軌跡。十七世紀，

費馬和笛卡兒分別創立解析幾何，他們使用的都是斜角坐標系：即選定一條直線作為X軸，

在其上選定一點為原點，y的值則由那些與X軸成一固定角度的線段的長表示。

1637年笛卡兒出版了他的著作<<方法論>>，這書有三個附錄，其中之一名為<<幾何

學>>，解析幾何的思想就包含在這個附錄里。笛卡兒在<<方法論>>中論述了正確的思想

方法的重要性，表示要創造為實踐服務的哲學。笛卡兒在分析了歐幾里得幾何學和代數學

各自的缺點，表示要尋求一種包含這兩門科學的優點而沒有它們的缺點的方法。這種方法

就是幾何與代數的結合----解析幾何。按笛卡兒自己的話來說，他創立解析幾何學是為了“決

心放棄那僅僅是抽象的幾何。這就是說，不再去考慮那些僅僅是用來練習思想的問題。我

這樣作，是為了研究另一種幾何，即目的在于解釋自然現象的幾何”。關于解析幾何學的

產生對數學發展的重要意義，這里可以引用法國著名數學家拉格朗日的一段話：“只要代

數同幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應用就狹窄。但當這兩門科學結合成伴侶

時，它們就互相吸取新鮮的活力，從而以快速的步伐走向完善”。

十七世紀之后，西方近代數學開始了一個在本質上全新的階段。正如恩格斯所指出的，

在這個階段里“最重要的數學方法基本上被確立了；主要由笛卡兒確立了解析幾何，由耐

普爾確立了對數，由萊布尼茲，也許還有牛頓確立了微積分”，而“數學中的轉折點是笛

卡兒的變量。有了它，運動進入了數學，因而，辯證法進入了數學，因而微分和積分的運

算也就立刻成為必要的了”。恩格斯在這里不僅指出了十七世紀數學的主要內容，而且充

分闡明了這些內容的重要意義。

解析幾何學的創立，開始了用代數方法解決幾何問題的新時代。從古希臘時起，在西

方數學發展過程中，幾何學似乎一直就是至高無上的。一些代數問題，也都要用幾何方法

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解決。解析幾何的產生，改變了這種傳統，在數學思想上可以看作是一次飛躍，代數方程

和曲線、曲面聯系起來了。

最早引進負坐標的英國人沃利斯，最早把解析幾何推廣到三維空間的是法國人費馬，

最早應用三維直角坐標系的是瑞士人約翰?貝努利。“坐標”一詞是德國人萊布尼茲創用的。

牛頓首先使用極坐標，對于螺線、心形線以及諸如天體在中心力作用下的運動軌跡的研究

甚為方便。不同的坐標系統之間可以互換，最早討論平面斜角坐標系之間互換關系的是法

國人范斯庫騰。

我們今天常常把直角坐標系叫做笛卡兒坐標系，其實那是經過許多后人不斷完善后的

結果。

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典型例題解析

例1：在空間直角坐標系中，作出點M(6，－2,4)。

點撥點M的位置可按如下步驟作出：先在x軸上作出

橫坐標是6的點

1

M，再將

1

M沿與y軸平行的方向向

左移動2個單位得到點

2

M，然后將

2

M沿與z軸平行

的方向向上移動4個單位即得點M。

解答M點的位置如圖所示。

總結對給出空間直角坐標系中的坐標作出這個點、給

出具體的點寫出它的空間直角坐標系中的坐標這兩類題目，要引起足夠的重視，它不僅可

以加深對空間直角坐標系的認識，而且有利于進一步培養空間想象能力。

變式題演練

在空間直角坐標系中，作出下列各點：A(-2,3，3)；B(3，-4,2)；C(4,0，-3)。

答案：略

例2：已知正四棱錐P-ABCD的底面邊長為4，側棱長為10，試建立適當的空間直角

坐標系，寫出各頂點的坐標。

點撥先由條件求出正四棱錐的高，再根據正四棱錐的對

稱性，建立適當的空間直角坐標系。

解答∵正四棱錐P-ABCD的底面邊長為4，側棱長為10，

∴正四棱錐的高為

232

。

以正四棱錐的底面中心為原點，平行于AB、BC所

在的直線分別為x軸、y軸，建立如圖所示的空間直角

1

M

2

M

M（6，-2,4）

O

x

y

z

6

2

4

O

A

B

C

D

P

x

y

z

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坐標系，則正四棱錐各頂點的坐標分別為A(2，-2,0)、B(2,2，0)、C(-2,2，0)、D(-2，-2,0)、

P(0,0，232)。

總結在求解此類問題時，關鍵是能根據已知圖形，建立適當的空間直角坐標系，從而便于

計算所需確定的點的坐標。

變式題演練

在長方體

1111

DCBAABCD?中，AB=12，AD=8，

1

AA=5，試建立適當的空間直角

坐標系，寫出各頂點的坐標。

答案：以A為原點，射線AB、AD、

1

AA分別為x軸、y軸、z軸的正半軸，建立空

間直角坐標系，則A(0,0，0)、B(12,0，0)、C(12,8，0)、D(0,8，0)、

1

A(0,0，5)、

1

B(12,0，

5)、

1

C(12,8，5)、

1

D(0,8，5)。

例3：在空間直角坐標系中，求出經過A(2,3，1)且平行于坐標平面yOz的平面?的

方程。

點撥求與坐標平面yOz平行的平面的方程，即尋找此平面內任一點所要滿足的條件，可利

用與坐標平面yOz平行的平面內的點的特點來求解。

解答∵坐標平面yOz⊥x軸，而平面?與坐標平面yOz平行，

∴平面?也與x軸垂直，

∴平面?內的所有點在x軸上的射影都是同一點，即平面?與x軸的交點，

∴平面?內的所有點的橫坐標都相等。

∵平面?過點A(2,3，1)，∴平面?內的所有點的橫坐標都是2，

∴平面?的方程為x=2。

總結對于空間直角坐標系中的問題，可先回憶與平面直角坐標系中類似問題的求解方法，

再用類比方法求解空間直角坐標系中的問題。本題類似于平面直角坐標系中，求過某一定

點且與x軸(或y軸)平行的直線的方程。

變式題演練

在空間直角坐標系中，求出經過B(2,3，0)且垂直于坐標平面xOy的直線方程。

答案：所求直線的方程為x=2,y=3.

知識結構

知識點圖表

學法指導

1、在建立空間直角坐標系O-xyz時，要注意使?135????xOzxOy，

?90??yOz，

空間直角坐標系右手直角坐標系點的坐標的確定

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且使y軸和z軸的單位長度相同，x軸上的單位長度為y軸(或z軸)的單位長度的一半。

2、在確定給出空間圖形各頂點的坐標時，關鍵是能根據已知圖形，建立適當的空間

直角坐標系，以便于計算所需確定的點的坐標。

3、對于空間直角坐標系中的問題，要善于用類比于平面直角坐標系中相關問題的求

解方法解決。