2009年全國初中數學聯合比賽試題參照答案
第一試
一、選擇題（此題滿分
42分，每題7分）
1.設a
71，則3a312a2
6a12（
A
）
A.24.B.25.
C.4710.
D.
4712.
2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的兩倍，且AB＝7，AC＝8，則BC＝
（
C
）
A.72.
B.
10.
C.
105.
D.
73.
3
[x]
表示不大于x的最大整數，則方程
x
2
2[x]30
的解的個數為（
C
）．用
A.1.B.2.C.3.D.4.
4．設正方形ABCD的中心為點O，在以五個點A、B、C、D、O為極點所組成的全部三角形中隨意拿出兩個，
它們的面積相等的概率為
（B
）
3314
A..B..C..教育類讀書筆記 D..
14727
AD
5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC為直徑在世界環境日手抄報 矩形內作半圓，自點A作半
圓的切線AE，則sin
CBE＝（D）
6
21
10E
D..
A..B..C..
3
33
10BC
．設
n
是大于
1909
的正整數，使得
n1909
為完整平方數的n的個數是（
B
）
6
2009n
A.3.B.4.C.5.D.6.
二、填空題（此題滿分
28分，每題7分）
1．已知t是實數，若a,b是對于x的一元二次方程x22xt
10的兩個非負實根，則(a21)(b21)的最
小值是_____3_______.
2．設D是△ABC的邊AB上的一點，作DE//BC交AC于點E，作DF//AC交BC于點F，已知△ADE、△
DBF的面積分別為m和n，則四邊形DECF的面積為___2mn___.
3．假如實數a,b知足條件a2b21，|1
2ab|2a1b2a2
，則ab__1____.
4．已知a,b是正整數，且知足2(15
15
)是整數，則這樣的有序數對(a,b)共有___7__對.
ab
第二試（A）
一．（此題滿分20分）已知二次函數yx
2bxc(c0)的圖象與x軸的交點分別為A、B，與y軸的交
點為C.設△ABC的外接圓的圓心為點P.
（1）證明：⊙P與y軸的另一個交點為定點.
（2）假如AB恰巧為⊙P的直徑且屬牛和屬龍的相配嗎 S
△ABC
＝2，求b和c的值.
解
（1）易求得點C的坐標為(0,c)，設A(x
1
,0)，B(x
2
,0)，則x
1
x
2
b，x
1
x
2c.
設⊙P與y軸的另一個交點為
D，因為AB、CD是⊙P的兩條訂交弦，它們的交點為點O，所以OAOB＝OC
OAOB
x
1
x
2
c
1.OD，則
OD
ccOC
因為c0，所以點C在y軸的負半軸上，進而點D在y軸的正半軸上，所以點D為定點，它的坐標為
(0,1).
（2）因為AB⊥CD，假如AB恰巧為⊙P的直徑，則C、D對于點O對稱，所以點C的坐標為(0,
1)，
即
c1
.
又AB
x
1
x
2
(x
1
x
2
)24x
1
x
2
(b)24c
b24，所以
S
△ABC
1
ABOC
1
b241
2，解得b
23.
22
二．（此題滿分25分）燕麥麩皮怎么吃 設CD是直角三角形
ABC的斜邊AD上的高，I
1
、I
2
分別是△ADC、△BDC的心里，
AC＝3，BC＝4，求I
1
I
2
.
B
解作I
1
E⊥AB于E，I
2
F⊥AB于F.
F
在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4，AB=2+BC25.
D
I2AC
E
AD=
AC2
916
I1
又CD⊥AB，由射影定理可得
，故BD=AB
AD，
AC
AB55
CD=
AC2AD212
.
5
1
(AD
3因為I
1
E為直角三角形
ACD的內切圓的半徑，所以
I
1
E＝CDAC)
.
25
連結DI
1
、DI
2
，則DI
1
、DI
2
分別是∠ADC和∠BDC的均分線，所以∠I
1
DC＝∠I
1
DA＝∠I
2
DC＝∠I
2
DB
I
1
E
3
32
＝45，故∠I
1
DI
2
＝90，所以I
1
D⊥I
2
D，DI
1
5
.
sin
ADI
1
sin455
同理，可求得I
2
F
4，DI
242.所以I
1
I
2
＝DI
1
2DI
2
22.
5
5
三．（此題滿分25分）已知a,b,c為正數，知足以下兩個條件：
abc32①
bcacababc1
②
bccaab4
證明：以a,b,
c取住房公積金 為三邊長可組成一個直角三角形.
證法1
將①②兩式相乘，得
(
b
cacabab
c
)(a
b
c)8，
bccaab
即
(bc)2
a2(ca)2b2(ab)2c28，
bccaab
即
(bc)2
a24
(ca)2b24
(ab)2c20，
bccaab
即
(bc)2
a2(ca)2b2(ab)2c20，
bccaab
即
(b
ca)(bca)(cab)(cab)(abc)(abc)
0，
bccaab
即
(b
c
a)
[a(b
ca)b(cab)c(abc)]
0，
abc
即
(bc
a)
[2aba2
b2c2]0，即(bca)[c2(ab)2]0，
abcabc
即
(b
c
a)(cab)(cab)0，
abc
所以bca0或cab0或cab0，即bac或cab或cba.
所以，以a,b,
c為三邊長可組成一個直角三角形.夢見蛇纏身是什么預兆
證法2
聯合①式，由②式可得
322a322b322c額手稱慶 1
bccaab
，
4
變形，得1024
2(a
2b2c2)
1
abc
③
4
又由①式得(a
b
c)
21024，即a2b2c210242(abbc
ca)，
代入③式，得1024
2[10242(abbcca)]
1
abc，即abc
16(abbcca)4096.
4
(a16)(b16)(c16)abc16(abbcca)256(abc)
163
409625632
1630，
所以a16或b16或c
16.
聯合①式可得b
a
c或cab或c
ba.
所以，以a,b,
c為三邊長可組成一個直角三角形.
第二試（B）
一．（此題滿分20分）題目和解答與（A）卷第一題同樣.
二．（此題滿分25分）已知△ABC中，∠ACB＝90，AB邊上的高線
CH與△ABC的兩條內角均分線AM、BN分別交于P、Q兩點.PM、QN的中點分
別為E、F.求證：EF∥AB.
解因為BN是學吉他 ∠ABC的均分線，所以ABNCBN.
又因為CH⊥AB，所以
CQNBQH90ABN90CBNCNB，
所以CQNC.
A
H
NF
QP
E
CMB
又F是QN的中點，所以CF⊥QN，所以CFB90CHB，所以C、F、H、B四點共圓.
又FBH=FBC，所以FC＝FH，故點F在CH的中垂線上.
同理可證，點E在CH的中垂線上.
所以EF⊥CH.又AB⊥CH，所以EF∥AB.
三．（此題滿分25分）題目和解答與（A）卷第三題同樣.
第二試（C）
一．（此題滿分20分）題目和解答與（A）卷第一題同樣.
二．（此題滿分25分）題目和解答與（B）卷第二題同樣.
三．（此題滿分25分）已知a,b,c為正數，知足以下兩個條件：
abc32①
bcacababc1
②
bccaab4
能否存在以a,b,
c為三邊長的三角形？假如存在，求出三角形的最大內角
.
解法1
將①②兩式相乘，得
(
b
cacabab
c
)(a
bc紫吊蘭 )
8，
bccaab
即
(bc)2
a2(ca)2b2(ab)2c28，
bccaab
即
(bc)2
a24
(ca)2b24
(ab)2c20，
bccaab
即
(bc)2
a2(ca)2b2(ab)2c20，
bccaab
即
(b
ca)(bca)(cab)(cab)(abc)(abc)
0，
bccaab
即
(b
c
a)
[a(b
ca)b(cab)c(abc)]
0，
abc
即
(bc
a)
[2aba2
b2c2]0，即(bca)[c2(ab)2]0，
abcabc
即
(b
c
a)中國文化剪紙 (cab)(cab)
0，
abc
所以
bca0
或
cab0cab0
，即
bac
或
cab
或
cba
.
或
所以，以a,b,
c為三邊長可組成一個直角三角形，它的最大內角為
90.
解法2
聯合①式，由②式可得
322a322b322c1
，
bccaab4
變形，得1024
2(a
2b2c2)
1
abc
③
4
又由①式得(a
b
c)
21024，即a2b2c210242(abbc
ca)，
1
242[10242(abbcca)]abc，即abc16(abbcca)4096.4
(a16)(b16)(c16)abc16(abbcca)256(abc)
163
409625632
1630，
所以a
16或b16或c
16.
聯合①式可得b
a
c或cab或c
ba.
所以，以a,b,
c為三邊長可組成一個直角三角形，它的最大內角為
90.
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