正棱錐的定義

O

A

BCD

E

F

垂心

立體幾何高考知識點和解題思想匯總

補充：三角形內心、外心、重心、垂心知識

四心的概念介紹：

（1）重心——中線的交點：重心將中線長度分成2：1；

（2）垂心——高線的交點：高線與對應邊垂直；

（3）內心——角平分線的交點（內切圓的圓心）：角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等；

（4）外心——中垂線的交點（外接圓的圓心）：外心到三角形各頂點的距離閑成語 相等。

若P為ABC?所在平面外一點,O是點P在ABC?內的射影，則：

①若PAPBPC??或PA、PB、PC與所成角均相等,則O為ABC?的外心；

②若P到ABC?的三邊的距離相等,則O為△ABC的內心；

③若PA、PB、PC兩兩互相垂直,或,PABCPBAC??則O為ABC?的垂心．

常見空間幾何體定義：

1．棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由

這些面所圍成的幾何體叫做棱柱，這兩個面為底面，其他面為側面。

棱柱具有下列性質：

1）棱柱的各個側面都是平行四邊形，所有的側棱都平行且相等；

2）棱柱的兩個底面與平行于底面的截面是對應邊互相平行的全等多邊形。

3）直棱柱的側棱長與高相等；直棱柱的側面及經過不相鄰的兩條側棱的截面都是矩形。

棱柱的分類：

斜棱柱：側棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱。

直棱柱：側棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。直棱柱的各個側面都是矩形；

正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱。正棱柱的各個側面都是全等的矩形。

平行六面體:底面是平行四邊形的棱柱。

直平行六面體：側棱垂直于底面的平行六面體叫直平行六面體。

長方體：底面是矩形的直棱柱叫做長方體

2．棱錐：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫

做棱錐．(1)如果一個棱錐的底面是正多邊形，且頂點與底面中心的連線垂直于底面，這樣的棱錐稱為

正棱錐．正棱錐具有性質：①正棱錐的頂點和底面中心的連線即為高線；②正棱錐的側面是全等的等腰

三角形，這些等腰三角形底邊上的高都相等，叫做這個正棱錐的斜高．

(2)底邊長和側棱長都相等的三棱錐叫做正四面體．

A

BC

O

外心

I

K

H

E

F

D

A

B

C

M

內心

A

B

C

D

E

F

G

重心

(3)依次連結不共面的四點構成的四邊形叫做空間四邊形．

常見幾何題表面積、體積公式

1．旋轉體的表面積

(1)圓柱的表面積S＝22r?＋2rl?

(其中r為底面半徑，l為母線長)．

(2)圓錐的表面積S＝2r?＋rl?

（其中r為底面半徑，l為母線長)．

(4)球的表面積公式S＝24R?(其中R為球半徑)．

2．幾何體的體積公式

(1)柱體的體積公式V＝Sh(其中S為底面面積，h為高)．

(2)錐體的體積公式V＝

1

3

Sh(其中S為底面面積，h為高)．

(3)球的體積公式V＝

4

3

3R

(其中R為球半徑)．

三棱錐外接球問題：

一、正四面體：如圖1，正四面體ABCD的邊長為a，高為h，其外接球與內切球球心重合，且有

關系：

6

3

rRha???，有外接圓球半徑為：

6

4

a，內切圓的球半徑為：

6

12

a，比例為3:1。

答案：C

二、出現“墻角”結構利用補形知識，聯系長方體。

【原理】：長方體中從一個頂點出發的三條棱長分別為cba,,，則體對角線長為222cbal???，幾何體

的外接球直徑R2為體對角線長l即

2

222cba

R

??

?

【例題】：在四面體ABCD中，共頂點的三條棱兩兩垂直，其長度分別為3,61，，若該四面體的四個頂

點在一個球面上，求這個球的表面積。

解：

因為：長方體外接球的直徑為長方體的體對角線長，所以：四面體外接球的直徑為AE的長

A

C

D

B

E

即：22224ADACABR???，1663142

222????R所以2?R，球的表面積為??1642??RS

二、出現兩個垂直關系，利用直角三角形結論。

【原理】：直角三角形斜邊中線等于斜邊一半。球心為直角三角形斜邊中點。

【例題】：已知三棱錐的四個頂點都在球O的球面上，BCAB?且7?PA，5?PB，51?PC，10?AC,

求球O的體積。

解：BCAB?且7?PA，5?PB，51?PC，10?AC,

因為2

2

210517??所以知222PCPAAC??

所以PCPA?所以可得圖形為：

在

ABCRt?

中斜邊為

AC

在

PACRt?

中斜邊為

AC

取斜邊的中點O，

在

ABCRt?

中

OCOBOA??

在

PACRt?

中OCOBOP??

所以在幾何體中OAOCOBOP???，即O為該四面體的外接球的球心

5

2

1

??ACR

所以該外接球的體積為

3

500

3

4

3

?

???RV

O

A

B

C

P

【總結】斜邊一般為四面體中除了直角頂點以外的兩個點連線。

立體幾何總結：

1、多邊形內角和：(n-2)*180

2、30直角三角形，邊比例1:2：根3

3、3030120三角形邊比例1:1：根3

4、45直角三角形邊比例1:1：根2

5、多面體的體積為V，表面積為S，則有內切球的半徑為

3V

r

S

?

第一節平面、空間直線

（3）、求異面直線所成角的方法：遵循“先作角，再求角”的原則，用平移轉化法放到三角形中去求，

用好正、余弦定理．常用的平移方法有：①直古巴革命 接平移法；②中位線平移法（涉及中點時常用）；③補形取字開頭的成語

法．

第二節空間直線與平面

核心知識點

2、線面平行的判定和性質

（2）線面平行的判定（用來證明直線與平面平行的方法）：

①（判定定理）如果平面?外一直線a與平面內一直線

b

平行，則直線a與平面?平行，

下面的這些定理或推論也是證明線面平行的常用方法：

②如果平面外的兩條平行樂理試題 直線

,ab

中有一條和平面?平行，則另一條也和平面?平行

③如果兩個平面平行，則其中一個平面內的任何一條直線都平行于另外一個平面

④如果直線a垂直于平面?，平面?外的直線b與直線a垂直，則直線

b

平行于平面?

⑤若平面?和?外的一直線a都垂直于同一個平面

?

，則直線a平行于平面?

（3）線面平行的性質定理：(如圖9-2-2)如果直線

l

與平面?平行，過直線

l

的平面

?

與面?相交，則交

a

?

a

A

?

a

?

圖9-2-1

?

l

線與直線

l

平行

3、線面垂直的判定和性質：

（1）定義：如果一條直線與平面內的任何一條直線都垂直，則這條直線和這個平面垂直。

（2）線面垂直的判定（證明直線與平面垂直的方法）

①（判定定理1）如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，則這條直線與這個平面垂直。

②（判定定理2）如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面。

③（面面平行的性質定理）如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，則這條直線垂直于另一個平面。

④（面面垂直的性質定理）如果兩個平面垂直，則在其中一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平

面。

⑤如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，則交線也垂直于第三個平面

（3）線面垂直的性質定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，則這兩條直線平行

4、線面角

（1）如果平面?外的直線

l

與平面?不平行也不垂直，則稱直理想信念教育 線

l

為平面?的斜線，設Ol???，在

l

上

任取一點P（P不與斜足

O

重合），過P作面?的垂線，垂足為'P，則垂足'P與斜足

O

的連線'OP叫做

斜線

l

在平面?上的射影，

l

與其射影

'OP

的夾角

?

叫做

l

與面?所成的角。規定：當

?//l或

??l時，

?0??，

??l時?90??，于是線面角的范圍是]90,0[??．

5、三垂線定理：一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直

6、三垂線逆定浪漫情話唯美短句 理：一直線，如果和穿過這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在這個平面內的射影垂直

7、

方法總結：

下面的幾個結論是找垂足的有力工具：

（1）若P為ABC?所在平面外一點,O是點P在ABC?內的射影，則：

①若PAPBPC??或PA、PB、PC與所成角均相等,則O為ABC?的外心；

②若P到ABC?的三邊的距離相等,則O為△ABC的內心；

③若PA、PB、PC兩兩互相垂直,或,PABCPBAC??則O為ABC?的垂心．

（2）面面垂直的性質定理：如果兩何點 個平面垂直，則在一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面。

第三節空間平面與平面

核心知識點：

1、面面平行的判定和性質

（1）面面平行的判定：

①（判定定理）如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行；（線面平

行?面面平行）

②垂直于同一直線的兩平面平行；（線面垂直?面面平行）

③（面面平行的傳遞性）如果兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行；

（2）面面平行的性質

①若兩個平面平行，則其中一個平面內的任意一條直線都平行于另一個平面；（面面平行?線面平行）

②若兩個平行平面同時與第三個平面相交，則兩交線平行；（面面平行?線線平行）

③若一條直線垂直于兩老子的思想 平行平面中的一個，則該直線也和另一個平面垂直；

④夾在兩平行平面間的平行線段相等；

⑤經過平面外一點有且僅有一個平面與已知平面平行．

2、兩個平行平面間的距離：如果直線l與兩平行平面都垂直，垂足分別為BA,，則稱線段AB的長為兩

平行平面間的距離．

3、二面角的定義及表示方法：

（1）定義：平面內的一條直線把這個平面分成兩部分，其中的每一部分都叫做半平面，從一條直線發

出的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面；

（2）表示方法：棱為

AB

（或

l

），面為??,的二面角記為????AB

（或

????l

）．

4、二面角的平面角

在二面角的棱上任取一點，過該點分別在兩個半平面內作垂直于棱的兩條射線，兩射線所成的角叫做二

面角的平面角．（范圍：]180,0[??）．

5、面垂直的判定和性質

（1）面面垂直的判定：

①（定義法）兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，則稱這兩個平面垂直（即求證二面角

的平面角是直角）

②（判定定理）如果平面?經過了平面

?

的一條垂線，則???；（線面垂直?面面垂直）

（2）面面垂直的性質：

①如果兩個平面垂直，則在一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面；

（面面垂直?線面垂直）

②若兩平面垂直，則經過第一個平面內一點且垂直于第二個平面的直線在第一個平面內．

方法總結

（1）熟記面面平行和垂直的判定和性質的相關定理，能快速明確題目解體思路，比如，要證面面平行，

則只需去其中一個平面內找到兩相交的直線與另一平面都平行即可；又如，證面面垂直，則只需在其中

一個平面內去找到一條直線與另一平面垂直即可，解題過程中應注意轉化的思想；

（2）有關面面平行和垂直的相關的定理之間的轉化關系，要結合上節的知識；

（3）與面面距離相關的問題：二面角的平面角的作法及求法將在第四、五節中系統地講解．

第四節空間角

核心知識點：

高考中立體幾何題的計算常涉及“求角”、“求距離”、“求面積或體積”三類問題，其中“求角”問題幾

乎年年涉及，求角問題包括異面直線所成的角，線面角及二面角的平面角．

三種空間角的概念及范圍

（1）異面直線所成的角：過空間任一點分別引兩異面直線的平行線，則此兩相交直線所成的銳角（或

直角）叫做兩異面直線所成的角．異面直線所成角的范圍．

（2）直線與平面所成的角：①當

?//l或

??l時，l與?所成的角為?0；②當

??l時，

l

與?所成的

角為?90；③當

l

與?斜交時，

l

與?所成的角是指

l

與

l

在面?上的射影

'l

所成的銳角．線面角的范圍：

．

（3）二面角的平面角須具有以下三個特點：①頂點在棱上；②角的兩邊分別在兩個半平面內；③角的

兩邊與棱都垂直．二面角的范圍：．

方法總結：

1、求異面直線所成角的方法：主要通過平移轉化法來作出異面直線所成的角，然后利用三角形的邊角

關系（正、余弦定理）求角的大小，要注意角的范圍．

2、求線面角的一般過程是：（1）在斜線上找到一個合適的點P，過P作面?的垂線（注意垂足

'P

的確

定），垂足

'P

和斜足A的連線即為斜線PA在平面?上的射影，則'PAP?即為所求；（2）將'PAP?放到

'PAP?或其它包含此角的三角形中去求．

說明：在解題過程中，我們會發現求角問題難在作角，其中又難在過平面外一點，作平面的垂線后，垂

足位置的確定．復習過程中應注意對常用的找垂足的方法進行歸納總結．

上面的（2）及下面的幾個結論是找垂足的有力工具：

（1）若P為ABC?所在平面外一點,O是點P在內的射影，則：

①若PAPBPC??或PA、PB、PC與所成角均相等,則O為ABC?的外心；

②若P到ABC?的三邊的距離相等,則O為ABC?△ABC的內心；

③若PA、PB、PC兩兩互相垂直,或,PABCPBAC??則O為ABC?的垂心．

（2）面面垂直的性質定理：如果兩個平面垂直，則在一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面；

第五節空間距離

核心知識點

點線距、點面距、線面距、面面距、兩異面直線之間的距離是高考中常見求距離的問題．

常見的空間距離的求法：

（1）求點到直線的距離

利用三垂線定理找到垂線段，垂線段就是所求；

（2）點到平面的距離的求解方法

一般有兩種：①直接求解法：從該點向平面引垂線，確定垂足位置，這里要用到兩個平面垂直的性質定

理，求出點和垂足之間的距離即可．

②“體積代換法”：把點到平面的距離轉化為以該點為頂點，平面內的一個三角形為底面的三棱錐的高，

再通過變換（從方便求高的角度）三棱錐頂點用等體積法，求點到平面的距離．

這種方法比較常用，應掌握．

（3）直線到它的平行平面的距離

通常轉化為直線上一個特殊點到平面的距離，要找到直線和它的平行平面的公垂面，直線和公垂面的垂

足就是這個特殊點，從這點向公垂面和已知平面的交線引垂線段，該垂線段就是直線到它的平行平面的

距離，還可以用等體積法求特殊點到平面的距離．

（4）兩個平行平面的距離

求解時，在一個面內任取一點，作它到另一平面的垂線段，垂線段的長就是所求．實質上也是點到平面

的距離．因此，點面距離的求解方法,對求解面到面的距離仍然適用．

(5)兩條異面直線間的距離

要注意定義中“都垂直且相交”的理解．兩條異面直線的距離是分別連結兩條異面直線上兩點的線段中

最段的一條.求解方法主要是定義法:找出兩異面直線的公垂線段,求出其長度．

(6)兩點之間的球面距離

求法分三步：①計算兩點之間的線段長；②計算兩點對球心的張角

?

即球心角（須用弧度表示）；

③用弧長公式lR???

球

計算大圓上兩點之間的劣弧長即兩點之間的劣球面距離．

方法總結：求空間距離的一般規律

(1)距離的求法有兩種：

①直接法——第一步，作圖．即先作出表示所求距離的線段；第二步：證明．即證明第一步中所作線段

就是所要求的距離；第三步：計算．解三角形求出這條線段．

②轉移法——轉化為其他易求的距離進而求解．

(2)高考對于立體幾何中“作圖—證明—計算”的互相滲透,互相結合有明確的要求，所以用直接法求空

間距離的三個步驟缺一不可，而且要表述準確、清晰、簡明，稍有不當，就有可能丟分．