第2講等差數列及其前n項和
基礎鞏固題組
(建議用時：40分鐘)
一、填空題
1．(2014蘇北四市二模)記S
n
為等差數列{a
n
}的前n項和，若
S
3
3
－
S
2
2
＝1，則其公
差d＝________.
解析由
S
3
3
－
S
2
2
＝1，得
a
1
＋a
2
＋a
3
3
－
a
1
＋a
2
2
＝1，
即a
1
＋d－
?
?
?
?
?
?
a
1
＋
d
2
＝1，∴d＝2.
答案2
2．(2014肇慶二模)在等差數列{a
n
}中，a
15
＝33，a
25
＝66，則a
35
＝________.
解析a
25
－a
15
＝10d＝66－33＝33，∴a
35
＝a
25
＋10d＝66＋33＝99.
答案99
3．設S
n
為等差數列{a
n
}的前n項和，S
2
＝S
6
，a
4
＝1，則a
5
＝________.
解析由題意知
?
?
?
?
?
2a
1
＋d＝6a
1
＋
65
2
d，
a
1
＋3d＝1，
解得
?
?
?
a
1
＝7，
d＝－2，
∴a
5
＝a
4
＋d＝1＋(－2)＝－1.
答案－1
4．(2014天津卷數學日記二年級 夢見自己被人殺了 改編)設{a
n
}是首項為a
1
，公差為－1的等差數列，S
n
為其前n
項和．若S
1
，S
2
，S
4
成等比數列，則a
1
＝________.
解析由題意知S
1
＝a
1
，S
2
＝2a
1
－1，S
4
＝4a
1
－6，因為S
1
，S
2
，S
4
成等比數
列，所以S2
2
＝S
1
S
4
，
即(2a
1
－1)2＝a
1
(4a
1
－6)，解得a
1
＝－
1
2
.
答案－
1
2
5．(2015石家莊模擬)已知等差數列{a
n
}，且3(a
3
＋a
5
)＋2(a
7
＋a
10
＋a
13
)＝48，則
數列{a
n
}的前13項之和為________有關挫折的作文 ．
解析因為{a
n
}是等差數列，所以3(a
3
＋a
5
)＋2(a
7
＋a
10
＋a
13
)＝6a
4
＋6a
10
＝48，
所以a
4
＋a
10
＝8，其前13項的和為
13?a
1
＋a
13
?
2
＝
13?a
4
＋a
10
?
2
＝
138
2
＝52.
答案52
6．(2015廣州綜合測試)設S
n
是等差數列{a
n
}的前n項和，公差中國神話傳說 d≠0，若S
11
＝
132，a
3
＋a
k
＝24，則正整數k的值為________．
解析依題意得S
11
＝
11?a
1
＋a
11
?
2
＝11a
6
＝132，a
6
＝12，于是有a
3
＋a
k
＝24＝
2a
6
，因此3＋k＝26＝12，k＝9.
答案9
7．(2014武漢調研)已知數列{a
n
}滿足a
n＋1
＝a
n
－
5
7
，且a
1
＝5，設{a
n
}的前n項和
為S
n
，則使得S
n
取得最大值的序號n的值為________．
解析由題意可知數列{a
n
}是首祝賀圖片 項為5，公差為－
5
7
的等差數列，所以a
n
＝5
－
5
7
(n－1)＝
40－5n
7
，該數列前7項是正數項，第8項是0，從第9項開始是
負數項，所以S
n
取得最大值時，n＝7或8.
答案7或8
8．已知等差數列{a
n
}中，S
3
＝9，S
6
＝36，則a
7
＋a
8
＋a
9
＝________.
解析∵{a
n
}為等差數列，
∴S
3
，S
6
－S
3
，S
9
－S
6
成等差數列，
∴2(S
6
－S
3
)＝S
3
＋(S
9
－S
6
)，
∴a
7
＋a
8
＋a
9
＝S
9
－S
6
＝2(S
6
－S
3
)－S
3
＝2(36－9)－9＝45.
答案45
二、解答題
9．設數列{a
n
}的前n項和為S
n
，a
1
＝1，a
n
＝
S
n
n
＋2(n－1)(n∈N*)．求證：數列{a
n
}
為等差數列，并求a
n
與S
n
.
證明由a
n
＝
S
n
n
＋2(n－1)，得S
n
＝na
n
－2n(n－1)(n∈N*)．
當n≥2時，a
n
＝S
n
－S
n－1
＝na
n
－(n－1)a
n－1
－4(n－1)，
即a
n
－a
n－1
＝4，
故數列{a
n
}是以1為首項，4為公差的等差數列．
于是，a
n
＝4n－3，S
n
＝
?a
1
＋a
n
?n
2
＝2n2－n(n∈N*)．
10．已知等差數列{a
n
}的公差d＝1，前n項和為S
n
.
(1)若1，a
1
，a
3
成等比數列，求a
1
；
(2)若S
5
＞a
1
a
9
，求a
1
的取值范圍．
解(1)因為數列{a
n
}的公差d＝1，且1，a
1
，a
3
成等比數列，所以a2
1
＝1(a
1
＋2)，即a2
1
－a
1
－2＝0，解得a
1
＝－1或2.
(2)因為數列{a
n
}的公差d＝1，且S
5
＞a
1
a
9
，所以5a
1
＋10＞a2
1
＋8a
1
，即a2
1
＋
3a
1
－10＜0，解得－5＜a
1
＜2.
故a
1
的取值范圍是(－5,2)．
能力提升題組
(建議用時：25分鐘)
1．(2015東北三省四市聯考)《萊因德紙草書》是世界上最古老的數學著作之一．書
中有一道這樣的題目：把100個面包給5個人，使每人所得成等差數列，且
使較大的三份之和的
1
7
是較小的兩份之和，則最小的一份為_______難忘戰友 _．
解析依題意，設這100份面包所分成的五份由小到大依次為a－2m，a－m，
a，a＋m，a＋2m，則有
?
?
?
5a＝100，
a＋?a＋m?＋?a＋2m?＝7?a－2m＋a－m?，
解得a＝20，m＝
11a
24
，a－2m＝
a
12
＝
5
3
，即其中最小一份為
5
3
.
答案
5
3
2．(2014蘇北四市調研)已知S
n
是等差數列{a
n
}的前n項和，若S
7
＝7，S
15
＝75，
則數列
?
?
?
?
?
?S
n
n
的前20項和為________．
解析記等差數列{a
n
}的公差為d，則有
S
n
n
＝a
1
＋
n－1
2
d，
?
?
?
a
1
＋3d＝1，
a
1
＋7d＝5，
由此
解得a
1
＝－2，d＝1，
S
n
n
＝
n－5
2
，故
S
n＋1
n＋1
－
S
n
n
＝
1
2
，則數列
?
?
?
?
?
?S
n
n
是等差數列，所
以數列
?
?
?
?
?
?S
n
n
的前20項和等于
20
?
?
?
?
?
?
－2＋
15
2
2
＝55.
答案55
3．(2014陜西卷)已知f(x)＝
x
1＋x
，x≥0，若f
1
(x)＝f(x)，f
n＋1
(x)＝f(f
n
(x))，n∈N＋
，
則f
2014
(x)的表達式為________．
解析由已知易知f
n
(x)＞0，∵f
n＋1
(x)＝f(f
n
(x))＝
f
n
?x?
1＋f
n
?x?
，∴
1
f
n＋1
?x?
＝
1＋f
n
?x?
f
n
?x?
＝
1
f
n
?x?
＋1?
1
f
n＋1
?x?
－
1
f
n
?x?
＝1，∴
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?1
f
n
?x?
是以
1
f
1
?x?
＝
1＋x
x
為首項，1為公差的等差
數列．
∴
1
f
n
?x?
＝
1＋x
x
＋(n－1)1＝
1＋nx
x
，
∴f
n
(x)＝
x
1＋nx
，∴f
2014
(x)＝
x
1＋2014x
.
答案
x
1＋2014x
4．已知等差數列的前三項依次為a,4,3a，前n項和為S
n
，且S
k
＝110.
(1)求a及k的值；
(2)設數列{b
n
}的通項b
n
＝
S
n
n
，證明數列{b
n
}是等差數列，并求其前n項和T
n
.
解(1)設該等差數列為{a
n
}，則a
1
＝a，a
2
＝4，a
3
＝3a，
由已知有a＋3a＝8，得a
1
＝a＝2，公差d＝4－2＝2，
所以S
k
＝ka
1
＋
k?k－1?
2
d＝2k＋
k?k－1?
2
2＝k2＋k.
由S
k
＝110，得k2＋k－110＝0，
解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.
(2)由(1)得S
n
＝
n?2＋2n?
2
＝n(n＋1)，則b
n
＝
S
n
n
＝n＋1，
故b
n＋1
－b
n
＝(n＋2)－(n＋1)＝1，
即數列{b
n
}是首項為2，公差為1的等差數列，
所以T
n
＝
n?2＋n＋1?
2
＝
n?n＋3?
2
.
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