質數和合數的概念

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質數與合數的基本概念

知識點撥

1.質數與合數

一個數除了1和它本身，不再有別的約數，這個數叫做質數（也叫做素數）。

一個數除了1和它本身，還有別的約數，這個數叫做合數。

要特別記住：0和1不是質數，也不是合數。

常用的100以內的質數：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、

43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共計25個；

除了2其余的質數都是奇馮本彥 數；

除了2和5，其余的質數個位數字只能是1、3、7或9

考點：（1）值得注意的是很多題都會以質數2的特殊性為考點

（2）除了2和5，其余質數個位數字只能是1、3、7或9

2.判斷一個數是否為質數的方法

根據定義如果能夠找到一個小于p的質數q（均為整數），使得q能夠整除p，

那么p就不是質數，所以我們只要拿所有小于p的質數去除p就可以了；但是這

樣的計算量很大，對于不太大的p，我們可以先找一個大于且接近p的平方數

K2，再列出所有不大于K的質數，用這些質數去除p，如沒有能夠除盡的，那么

p就為質數。

例如：149很接近144=12x12，根據整除的性質149不能被2、3、5、7、11

整除，所以149是質數。

例題精講

例1：

下面是主試委員會第六屆“華杯賽”寫的一首詩：

美少年華朋會友，幼長相親同切磋；

杯賽聯誼歡聲響，念一笑慰來者多；

九天九霄志凌云，九七共慶手相握；

聚起華夏中興力，同唱移山壯麗歌；

請你將56個字第1行左邊第一字逐字編為1-56號，再將號碼中的質數由小到大

找出來，將它們對應的字依次排成一行，組成一句話，請寫出這句話。

例2：（2008年南京市青少年“科學小博士”思維訓練）

炎黃驕子，菲爾茲獎被譽為“數學界的諾貝爾獎”，只獎勵40歲以下的數學流光溢彩造句 家，

華人數學家丘成桐、陶哲軒分別于1982年、2006年榮獲此獎。我們知道正整數

中有無窮多個質數（素數），陶哲軒等證明了這樣一個關于質數分布的奇妙定理：

對任何正整數k，存在無窮多組含有k個等間隔質數（素數）的數組。

例如，k=3時，3、5、7是間隔為2的3個質數；5、11、17是間隔為6的3個

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質數：而，，是間隔為12的3個質數（由小到大排列，

只寫一組3個質數即可）

例3：（2003年“祖沖之杯”邀請賽）

大約1500年前，我國偉大的數學家祖沖之，計算出的值在3.1415926和

3.1415927之間，成為世界上第一個把的值精確到7位小數的人。現代人利用

計算機已經將的值計算到了小數點后的515億位以上。這些數排列既無序又無

規律。但是細心的同學發現：由左起的第一位3是質數，31也是質數，但314

不是質數，在3141，31415，314159，3141592，31415926，31415927中恰有一

個是質數，是哪個？

例4：（2004年全國小學奧林匹克）

自然數N是一個兩位數，它是一個質數，而且N的個位數字與十位數字都是質

數，這樣的自然數有多少個？

例5：

兩個質數之和為39，求這兩個質數的乘積是多少

例6：

如果a，b均為質數，且3a+7b=41,則a+b=。

例7：

A,B,C為3個小于20的質數，A+B+C=30,求這三個質數。

例8：

已知3個不同質數的和是最小的合數的完全平方，求這3個質數的乘積是多少？

例9：

小晶遷居了，小晶驚奇地發現他們新居的門牌號碼是四位數。同時，她感到這個

號碼很容易記住，因為它的形式為abba,其中a≠b，而且ab和ba都是質數（a

和b是兩個數字）。具有這種形式的數共有多少個？

例10：（“祖沖之杯”小學數學邀請賽）

九九重陽節，一批老人決定分乘若干輛至多可乘32人的大巴前去參觀兵馬俑。

如果打算每輛車坐22個人，就會有1個人沒有座位；如果少開一輛車，那么，

這秕老人剛好平均分乘余下的大巴，那么有多少個老人？原有多少輛大巴？

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例11：（俄羅斯數學奧林匹克）

萬尼亞想了一個三位質數，各位數字都不相同，如果個位數字等于前兩個數字的

和，那么這個數是幾？

例12：（第五屆“華杯賽”口試第15題）

圖中圓圈內依次寫出了前25個質數；甲順次計算相鄰二質數之和填在上行方格

中；乙順次計算相鄰二質數之積填在下行方格中。

甲填“和數”□5□8□12□?□?□????□?

質數列②③⑤⑦○11○13??○89○97

乙填“積數”□6□15□35□?□?□?□?

問：甲填的數中有多少個與乙填的數相同？為什么？

例13：（全國小學數學奧林匹克）

從1~9中選出8個數排成一個圓圈，使得相鄰的兩數之和都是質數。排好后可以

從任意兩個數字之間切開，按順時針方向讀這些八位數，其中可以讀到的最大的

數是多少？

例14：（保良局亞洲區城市小學數學邀請賽）

用L表示所有被3除余1的全體正整數。如果L中的數（1不算）除1及它本身

以外，不能被L的任何數整除，稱此數為“L—質數”，問：第8個“L—質數”

是什么？

例15：9個連續的自然數，每個數都大于80，那么其中最多有多少個質數？請

列舉和最小的一組。

例16：（我愛數學少年數學夏令營）

用0，1，2，??，9這10個數字組成6個質數，每個閱讀方法 數字至多用1次，每個質

數都不大于500，那么共在多少種不同的組成6個質數的方法，請將所有方法列

出來。

例17：

從小到大寫出5個質數，使后面的數都比前面的數大12，這樣的數有幾組？

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例18：

用1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個數字組成質數，如果每個數字都要用到并

且只能用一次，那么這9個數字最多能組成多少個質數。

例19：

有三張卡片，它們上面各寫著數字1，2，3，從中抽出一張、二張、三張，按任

意次序排列出來，可以得到不同的一位數、二位數、三位數，請你將其中的質數

都寫出來。

例20：

某質數加6或減6得到的數仍是質數，在50以內，你能找出幾個這樣的質數？

把它們寫出來。

例21：

7個連續質數從大到小排列是a、b、c、d、e、f、g。已知它們的和是偶數，那

么d是多少？

例22：

從20以內的質數中先出6個，然后把這6個數分別寫在正方體木塊的6個面上，

并且使得相對兩個面的數的和都相等，將這樣的三個木塊擲在地上，向上的三個

面的三個數之和可能有多少種不同的值？

例23：

將八個不同的合數填入下面的括號中，如果要求相加的兩個合數互質，那么A

最小是幾？

A=（）付款申請單 +（）=（）+（）=（月亮的詩歌 ）+（）=（）+（）

例24：

4只同樣的瓶子內分別裝有一定數量的油，每瓶和其他煮大蝦 各瓶分別合稱一次，記錄

千克如下：8，9，10，11，12，13。已知4只空瓶的重量之和以及油的重量之和

均為質數，求最重的兩瓶內有多少油？

例25：

將60拆成10個質數之和，要求最大的質數盡可能小，那么其中最大的質數是多

少？

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例26：

將50拆成10個質數之和，要求其中最大的質數盡可能大，則這個最大的質數是

多少？

例27：

將37拆成若干個不同的質數之和，有多少種不同的拆法？將每一種拆法中拆出

的那些質數相乘，得到的乘積中，哪個最小？

例28：

如果一個數不能表示為三個不同合數的和，我們稱這樣的數為“狀元數”，最大

的“狀元數”是幾？

100以內質數記憶法

100以內的質數共有25個，這些質數我們經常用到，可以用下面的兩種辦法記住它們。

一、規律記憶法

首先記住2和3，而2和3兩個質數的乘積為6。100以內的質數，一般都在6的倍數前、

后的位置上。如5、7、11、13、19、23、29、31、37、41、43……只有25、35、49、55、

65、77、85、91、95這幾個6的倍數前后位置上的數不是質數，而這幾個數都是5或7

的倍數。由此可知：100以內6的倍數前、后位置上的兩個數，只要不是5或7的倍數，

就一定是質數。根據這個特點可以記住100以內的質數。

二、分類記憶法

我們可以把100以內的質數分為五類記憶。

第一類：20以內的質數，共8個：2、3、5、7、11、13、17、19。

第二類：個位數字是3或9，十位數字相差3的質數，共6個：23、29、53、59、83、89。

第三類：個位數字是1或7，十位數字相差3的質數，共4個：31、37、61、67。

第四類：個位數字是1、3或7，十位數字相差3的質數，共5個：41、43、47、71、73。

第五類：還有2個持數是79和97