斜漸近線

現代經濟信息

漸近線的定義及求解方法總結

高云峰長春大學旅游學院基礎部

摘要：本文對三種漸近線的定義和求解方法進行了總結，并通過幾個例題對怎樣求解漸近線進行了說明，指出了一些注意事項，給出了一些解題技巧。

關鍵詞：水平漸近線；垂直漸近線；斜漸近線

中圖分類號：O151.1文獻識別碼：A文章編號：1001-828X(2019)031-0466-01

漸近線是高等數學的重要概念，求解漸近線是大學生學習高等

數學必須掌握的基本解題技能，也是考研數學的基本要求。漸近線

和零點、極值點、拐歡聲笑語的反義詞 點等確定了函數的基本形態，函數這些問題的求解對我們描繪函數圖像確定了基礎。

時要從x=

x

0的左右倆個方向考慮，求水平漸近線和斜漸近線時要

從x

→-

和x

→+倆個方向考慮；

(2)如果函數f(x)當x

→-

時求解出存在水平漸近線，那么這個方向就一定不存在斜漸近線，就不用求解第三步了。

一、漸近線的定義

定義1如果曲線y=f(x)上一動點延曲線無限遠離原點時，該動

點與直線L的距離趨于0，則稱直線L為曲線y=f(x)的漸近線

[1]。

漸近線共三種，分別為垂直漸近線(也稱鉛直漸近線)、水平漸近線、斜漸近線，下面分別給出它們的定義。

1.垂直漸近線：如果漸近線是平行于y軸的或y軸，則稱此漸近線為手工創意小制作 垂直漸近線；

2.水平漸近線：如果漸近線是平行于x軸的或x軸，則稱此漸近線為垂直漸近線；

3.斜漸近線：如果漸近線既不是垂直漸近線，也不是水平漸近線，則稱此漸近線為斜漸近線。

三、注意事項及例題解析

例1求函數f(x)跟單員 =

的漸近線。

解：容易看出函數有兩個間斷點，炒土豆絲圖片 分別為x=1和x=2，求函數

f(x)當x

→2

時的極限，如果有

垂直漸近線x=2。

例2(2005年考研數學一真題)求曲線y=

解：先求函數

=

≠

0，且

斜漸近線y=

當x→

的斜漸近線方程。

=

=送禮的學問 -，則函數有

f(x)=

=，則函數有

時的極限，如果有

=

[

f

(

x小平故居

)

-kx]=

。

例3(2014年考研數學一真題)下列曲線有漸近線的是()

A韭菜怎么種植 、y=x+sinxB、y=

x

2+sinxC、y=x+sinx

D、y=

x

2+sinx

解：A、B選項沒有間斷點，C、D選制定旅游計劃 項有間斷點，但

f

(

x

)

≠

，故四個選項中沒有垂直漸近線；分別對四個選項求解

f

(

x

)都不存在，故四個選項中沒有水平漸近線；下面分別對四個

選項求解項中，

，B選項與D選項此極限不存在，A選項與C選

，而其中A選項

[

f

(

x

)-

kx

]不存在，C選

二、漸近線曹操之死 求解方法

上面我們給出了三種漸近線的定義，為學生解題方便，我們對漸近線求解方法進行總結，大致分為三個步驟。

(1)首先找到函數f(x)的全部間斷點，如果在間斷點x=

x

0

有

f

(

x

)=

，則函數有垂直漸近線x=

x

0；

(2)求函數f(x)當x

→

時的極限，如果有

水平漸近線y=a；

(3)求函數

當x→

時的極限，如果有

=

k≠

0，且

f

(

x

)=

a，則函數有

項

[

f

(

x

)-

kx

]=0=

b

，故函數有斜漸近線y=kx+b=x。此題答案為C

選項。

參考文獻：

[1]龔德恩,范培華.微積分[M].北京:高等教育出版社,2008:139-140.

[

f

(

x

)

-kx

]=b，則函數有斜漸近線y=kx+b。

注：(1)求解以上三種漸近線都要求單側極限，求垂直漸近線

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