數學命題

初中數學命題原則

作為一個教師，命題是一個必不可少的基本功。為此，寧波市江東區舉行了首屆

解題和命題系列比賽，內容有解題比賽、非現場命題比賽、現場命題比賽和說題

比賽。新穎的試題、別出心裁的試卷、眾多的參賽老師、良好的效果是整個寧波

市前所未有的。在最后的一次系列活動中，我作為評委點氟達拉濱 評了參賽老師命題的質

量，雖然有很多高質量的命題誕生，但也不乏出現一些命題中常見的問題。這里

我著重講講初中數學命題編制要注意的問題。我們有必要先明白數學命題的原

則，以下10條原則是我自己歸納的，可以作為我的經驗，是我的一面之詞。

數學命題的原則：

1.

科學性（條件和結論不違反基本數學原理）

2.

明確性（敘述、概念、含義、圖形清楚明白）

3.

確切性（切忌敘述不確切,用詞不當）

4.

實際性（符合生活實際情形）

5.

合理性（難易合理，梯度合理，結構合理）

6.

簡潔性（敘述簡潔，運算簡便，思路簡捷，解題書寫方便，批閱方便）

7.

新穎性（尤其是壓軸題，不要是陳題，要體現新理念、新內容、新要求）

8.

適應性（不超范圍、不用已被淘汰的題）

9.

公平性（所出的題不能讓一些人占便宜，另一些人吃虧）

10.

公認性（題目不能有歧義，要考慮公眾的認識）

現在，包括教材、作業本和各種教輔材料在內的數學題中，有大量題違反了上述

原則，甚至中考試題也不能幸免。下面結合具體實例，看看怎樣的命題是違反數

學命題的原則的，怎樣的命題是遵循數學命題的原則的。

1、科學性

違反了科學性就是假命題、錯題，是不能解的題，有些老師編題時因考慮不周，

導致題目條件不夠或互相矛盾。

例1一元一次不等式組的解在數軸上表示正確的是（）

點評：這個不等式組是無解的，但4個選項哪一個表示無解呢？A嗎？但A也可以表示

或

。

例2已知一個樣本的方差，則這個樣本的平均數為___________.

點世界公認的十大美女 評：出題者的本意是讓學生掌握方差公式，且不說方差公式還要不要記住，這

里要寫出平均數關鍵是要已知樣本的數據是什么，如果樣本的數據是

、

的話，平均數就是24，而不是25了。

、

、

例3如圖1，將44正方形網格中的四塊拼成一個非正方形的矩形。

點評：這題是無法拼成一個非正方形的矩形，命題者可能是受09年安徽中考題

的啟發，想把原題改變成網格中的問題，結果犯了錯。

附09年安徽中考題

20.如圖2，將正方形沿圖中虛線（其中x＜y）剪成①②③④四塊圖形，用這四

塊圖形恰能拼成一個矩形（非正方形）．（1）畫出拼成的矩形的簡圖；（2）求

的值．

今天又發現了一道來自于某地《09年初中數學競賽選拔模擬試卷》的題，有嚴

重的科學性錯誤，特補上。

補例如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=8，BC=6，D、E、F分別在三

條邊上，求△DEF周長的最小值。

答案中的解法是：先固定D，作D的對稱點D’和D”，則D’D”與AB、BC的交

點即為E、F的位置，∵D’D”=2E’F'，E’F'=CD，∴最小值就是CD成為AB上的

高，此時E’F'=CD=4.8，∴△DEF周長的最小值=D’D”=2E’F'=2CD=9.6。

你能發現上述解題中的錯誤嗎？錯誤就在“D’D”與AB、BC的交點即為E、F的

位置”這句話，因為D’D”始終過C點的。達到最小值時，△DEF是不存在的。

2、明確性

命題的語言敘述、概念、含義、圖形清楚明白，不能模棱兩可，這是對命題的一

個最基本要求。但是許多老師命題時沒有再三推敲，使得命題的題意不清，理解

困難，甚至無法解題。

例4某賓館底層客房比二樓少5間，某旅游團有48人，若全安排住底層，每

間住4人，房間不夠；每間住5人，有房間沒住滿5人。又若全安排住二樓，每

間住3人，房間不夠；每間住4人，有房間沒住滿4人。問該賓館底層有客房多

少間？

點評：“有房間沒住滿5人”、“有房間沒住滿4人”這樣的話是不明確的，可以理

解成是一間沒住滿，也可以理解成是多間沒住滿。

例5下列所采飛行棋棋盤 用的調查方法合理嗎?為什么?2、在公園里調查老年人的健康

狀況；

點評：原題一共有3道小題，這里只給出第2小題。在公園里調查老年人的健康

狀況是否合理，這要看你調查的是怎樣的老人，如果是經常鍛煉的老人也許是合

理的，如果是一般的老人就不合理了。

例6水平地面上放著1個球和1個圓柱體，擺放方式如右圖所示，其左視圖是

（）

點評：這里不明確的地方就是主視方向沒給出，左視圖的可能性就多了。再仔

細一看，按常規理解主視方向，沒有一個選項是對的。

例7某電信公司推出了A、B兩種手機通話套餐，如圖表示通話費用y(元)與

通話時間t(分)之間的函數關系。觀察圖象解決下列問題。

（下面列舉的問題都是從江東區首屆命題系列比賽中收集到的）

1、求與t的函數關系。（超綱）

2、小明選A，小麗選B，通話時間是小麗少，試確定兩人可能通話的時間。（沒

有說明時間一樣）

3、小明選A，小麗選B，通話時間相同，通話費相差10元，求t和相應的話費。

（答案有4個太多）

4、你幫小明全面分析，如何選擇套餐類型更經濟（不明確）

5、小明選A，清朝野史 小麗選B，小明比小麗多10元，求通話時間各多少？（不明確）

6、通話費有幾次相同。（不明確）

7、小明、小麗分別用A、B，發現某天話費相同，他們通話時間可能是多少？

（不明確）

8、甲乙兩人各選A、B，7、8月份話費相同，分別是7月40元，8月35元，

有趣的是他們兩人2個月通話總時間相同，請你通過計算證明。（不知道在講什

么）

點評：我將上面8個問題修改如下：

1、當t>300時，求與t的函數關系。

2、小明選A，小麗選B，通話時間一樣且是小麗少，試確定每人可能的通話時

間。

3、小明選A，小麗選B，通話時間相同，通話費是小明多10元，求t和相應的

話費。

4、通話時間在什么范圍內選擇A套餐更經濟？通話時間在什么范圍內選擇B套

餐更經濟？

5、同3

6、在通話費相同的情況下，兩種套餐通話費有幾次相同？對應的通話時間是多

少？

7、同6

8、甲乙兩人各選A、B，某月話費分別是40元、35元，有趣的是他們兩人通話

總時間相同，請你通過計算說明為什么？

例8在菱形ABCD的兩條對角線上分別排列m、n個棋子（m、n都是奇數），

甲乙兩人輪流拿一個或相鄰的若干個棋子，誰先拿到最后一塊，誰獲勝。如果甲

先拿，請問：甲是否有必勝的策略？

點評：題意不明確，請看答案：有。甲只要把其中一條對角線上的棋子全部拿完，

使得另一條對角線上的棋子被分開。接著，乙拿任意幾顆，甲就拿任意幾顆，由

于對稱性，最后拿到的肯定是甲。意圖：檢查學生對菱形的對稱性理解。

其實我們完全可以如圖這要擺放，當一條對角線上的點一次拿掉后，另一條對角

線上的點并沒有關于自然的詞語 被隔開。

例9居民生活到戶水價由現行每立方米2.20元調整到3.30元。為確保調價方

案順利實施，決定分兩步實施：第一步，擬從2009年9月1日（用水時間）起

執行；第二步，擬從2010年7月1日（用水時間）起執行．

(1)如果要求每一步的增長率相同，那么這兩步調整水價的平均增長率是多少？

（精確到0.01）

(2)設第一步到戶水價從現行每立方米2.20元調整到每立方米x元，以三口之家

為例，2008年平均每月用水量為11.21立方米，則按此方案調整水價后，在月平

均用水量不變的情況下，求三口之家2010年底比2008年底增加的水費y與x

的關系.

點評：此題有幾處不明確：（1）編題時間是2010年4月，那么“現行”應該指這

個時候了，這是介于兩次調整之間的，時間上有點混。（2）3.30元是第幾步調

整的結果？（3）“三口之家2010年底比2008年底增加的水費”指一年的，二年

的，還是一月的？

3、確切性

用詞不當、含義不清、語言不規范是命題之大忌。有失確切性的命題也可以認為

有科學性的錯誤。

例10（2003年湖北省宜昌市）函數y=kx+1與函數在同一坐標系中的

大致圖象是（）

點評：什么叫做“大致”？就是大概、基本的意思，而這里的兩個函數圖象有兩種

可能，所以不能說“大致”，可以改為“可能”。

例11對于任意正整數n，一定可以被整數a整除，則a的值是（）

A、2B、4C、8D、16

點評：原式=(4n+8)(4n+2)=8(n+2)(2n+1)，可見一定被8整除，也就一定被2、4

整除，這樣A、B、C都對了。如果改成“a的最大值是”，答案就惟一了。

例12如圖，坐標系中有A,B,C三點，(1)找點D，使四邊形ABCD為中心對稱

圖形，寫出所有可能的點。(2)找點E，使四邊形ABCE為軸對稱圖形，寫出所

有可能的點。

點評：本題語言很不規范，(1)中四邊形ABCD惟一的，(2)中四邊形ABCE是沒

有的，于是也就談不上“所有”了。還有“寫出所有可能的點”這句話不規范，點只

能“畫出”，不是“寫出”，能寫出是點的坐標。其實四邊形的字母不要連起來就好

了，最好用任命通知范文 “、”將字母分開。

4、實際性

新課標的一個理念是人人學有用的數學，也就是數學要聯系生活實際。結果編寫

的教材，新課引入都要與生活實際相聯系，大量的與實際問題有關的題涌現，這

當然是好事。但是，許多所謂的實際問題一點也不實際，完全是為了編題而憑空

杜撰。也只能說明某些編題者缺乏生活常識。

例13下面讓我們探究生活中有關粉刷墻壁時，刷具掃過面積的問題。某工人

用的刷具形狀是圓形（如圖3），直徑CD=20cm，點O、C、D在同一直線上，

OC=30cm，他把刷具繞O點旋轉90，則刷具掃過的面積是

。

點評：生活中誰見過這樣的刷具？沒有的！杜撰的。我也曾編過類似一題。

例14如圖4是粉刷墻面用的涂料滾筒（尺寸如圖，單位厘米），那么這個滾

筒滾一周墻面被粉刷過的面積是（精確到0.1

）。

例15如圖5兩條寬度都是5的交叉公路，它們的夾角為，則兩條公路重疊

部分（陰影部分）的面積是（）

A、B、C、D、

點評：交叉道路是不會有尖角的，而是圓弧形的，這應該是基本常識吧。

5、合理性

難易合理，梯度合理，結構合理是命題又一個原則。一道題若有幾個小題，一般

要求由易到難、互相關聯。

例16如圖，分別以B（1，0），A（0，）為圓心，1和

為半徑作圓與坐標軸交于E和F兩點。（1）寫出點E和F的坐標，一個一

次函數的圖象經過E、F兩點，求這個一次函數的解析式。（2）求兩圓交點C

的坐標，并檢驗一下C點是否在直線EF上。（3）過點C分別作⊙A、⊙B的切

線，證明此兩切線互相垂直。

點評：本題在結構上存在問題，我們完全可以先解第②小題，連結OC、EC、FC，

可證E、C、F三點共線。也可以先證第③小題，即證BC⊥AC。也就是說，3

個小題是彼此獨立的。

6、簡潔性

敘述簡潔——不要讓題目的文字篇幅過長。

運算簡便——繁瑣的運算、復雜的數據應摒棄。

思路簡捷——靈活、意想不到的思路是提倡的，但不等于繁瑣復雜的思路。

書寫方便——便于學生書寫、陳述

批閱方便——老師最頭痛批閱試卷時像看作文一樣冗長，像看天書一樣費勁。

例17陜西省2006中考數學試題24題（題目太長，略）

點評：整道題目占了半頁紙，有文字，有表格，有附加說明。一般人是沒有耐心

看的。

例18寧波雖是坐擁三江、東臨大海的江南水鄉，卻是水資源短缺的城市之一，

節約用水勢在必行。供水部門的專家稱“階梯式水價”就是將用戶每月確定一個基

本用水量，在這個范圍內，按普通水價計算，而用水量超過這個額度，水價將上

浮，超得越多，水價越高。據介紹，“階梯式水價”其實就是運用價格杠桿實現節

水，是建立節水型社會，實現水資源可持續發展的需要，也是提升供水服務的有

效途徑，這樣可為居民構筑以“分戶計量、分級計價、服務入戶”為核心的新型供

水服務體系。居民生活用水按階梯式水價計量。規定以三口之家為基準，將居民

的每月生活用水水價分為三個等級：一級17立方米及以下，二級18——30立方

米，三級31立方米級以上。

由于寧波供水成本很高，水價和成本明顯倒掛，企業經營困難，經過各方研究決

定調整水價。調整后的到戶水價將分兩步實施，第一步已于2009年12月1日開

始實施；第二步將于2010年7月1日起執行，在現有水價的基礎上再上調16﹪。

小虎家（三口之家）2010年1月份和2月份的水費發票

點評：其一，廢話太多，廢話占了題目的一半文字。其二，發票看不懂，這種發

票很專業，計費方法與我們通常的理解不一樣，盡管最后我是看懂了，也能解這

道題，但學生如何看得懂？正好像就醫時醫保發票里寫著的“個人自付、個人自

負、個人自費、個人承擔”誰都不知道是什么東西。

例19如圖為小強所在學校的平面示意圖，請建立適當的平面直角坐標系，并

寫出各地點的坐標.

點評：坐標系自己選，答案就多了，閱卷會很麻煩。

7、新穎性

尤其是壓軸題，不要是陳題，要體現新理念、新內容、新要求。題型要新，考同

一個知識點，可以是計算題，可以是證明題，可以是作圖題，可以是畫圖題，可

以是敘述題等等。

下面展示幾題較有新意的命題，供大家參考。

例20設代數式的值為m，代數式

m、n的取值如下表：

x

0.5

1.5

2.5

3.5

m

n

的值為n，對x取不同的幾個特殊值，

1

5

-1

3

對結論①不論x取何值m總比n大2；②存在這樣的x，使m=n。判斷正確的是

（）

A、①對②對B、①對②錯C、①錯②對D、①錯②錯

點評：如果題目出成解分式方程、分式運算，就沒有新意了。

例21給出4個整式2，x-2，x+2，2x+1，

①取其中2個整式，寫出一個分式；②取其中2個整式進行運算，使運算結果為

二次三項式。請你列出一個算式，并寫出運算過程。

點評：考查的是分式的概念和整式的運算，但出題的形式讓人眼睛一亮。

例22在實數范圍內已知代數式的值為a。①當x為何值時，a＝5？②a

的值能否小于4？為什么？

點評：二次函數、一元二次方程的題可以合起來這樣出題，不能不說是有創意的。

例23如圖，⊙A的直徑為8、⊙B的直徑為6，⊙A的直徑CD⊥AB，點B在

過點A的直線m上移動，設AB=d，當⊙B運動到和⊙A、CD都相交時，d的

取值范圍是.

點評：直線和圓、圓和圓的位置關系可以這樣出題，你想到了嗎？

例24三個全等的直角梯形①、②、③在平面直角坐標系中的位置如圖，拋物線

經過頂點A、B、C、D，已知梯形的兩條底邊長分別是4，6.（1）求梯形的

兩腰長；（2）求拋物線的解析式。

點評：為了考查梯形和拋物線，這位命題高手竟將兩種圖形進行這樣的組合，秒

啊，絕啊！不下工夫豈能想到？你欲知道這位高手是誰？就是我們江東區初中數

學教研員潘小梅。

例25如圖6，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，點P在線段BC上運動，現將

紙片折疊，使點A與點P重合，，得折痕EF（點E、F為折痕與矩形邊宏觀分析 的交點），

設BP=x，當點E落在AB上，點F落在D上時，x的取值范圍

是（）

A.0＜x≤1B.0＜x≤3C.1≤x≤3D.3≤x≤5

點評：折樹用英語怎么寫 紙的題多的是，但這樣出題就不多見了，這是運用極端原理的好題，圖

7是極小端的位置，圖8是極大端的位置。

8、適應性

命題要適應當前的內容、要求和習慣，不超范圍、不用已被淘汰的題，更不能用

已被刪去的定理、公式和方法。

例26(廈門市2006)已知P(m,a)是拋物線上的點，且點P在

第一象限.（1）求m的值;（2）直線y=kx+b過點P，交x軸的正半軸于點A，

交拋物線于另一點M.①當b=2a時，∠OPA=90是否成立？如果成立，請證明；

如果不成立，舉出一個反例說明；②當b=4時，記△MOA的面積為S，求1/S

的最大值.

點評：在解最后一個問題時，要求出P、M的橫坐標，于是要解方程，，

，用十字相乘法解含有字母系數的一元二次方程，是早就不要求的內容。

例27將一副三角板BDC和ABD如圖擺放在一起，連結

AC，則tan∠DAC=。

點評：問題還在解題過程，作CE⊥AD于E，設CE=1，則ED=1，CD=BD=

，AD=

，AE=

，所以tan∠DAC=

=

，

。你看，分母有

理化已經不作要求了。這不是不適應了嗎。

例28如圖，在46正方形網格中畫出與△ABC相似，且為格點三角形的

有個。

點評：不知是哪位老師命的題，他自己做過嗎？這數得清楚嗎？太多了！光與原

圖全等的就數得你夠受。從以上3例可以看出，命題違背適應性的表現有不適應

教學內容，有不適應解題方法，有不適應可操作性。

另外，由于計算器可以代入考場后，能用計算器解決的計算問題都屬于不適應的

范圍。如：計算器按鍵操作順序、數的大小比較、實數運算等。

還有，指數出現字母、轉化為一元二次方程的分式方程、解決無理數的小數部分

等都是被淘汰的考題。

9、公平性

有些題目對一些學生有利，對另一些學生不利，如陳題，沒學過的定理可以解決

的題，這是不公平的。

例29(2006年長沙市)如圖，已知直線與拋物線交于A、B兩點。（1）求A、

B兩點的坐標；（2）求線段AB的垂直平分線的解析式。

點評：有些老師補充過中點坐標公式和兩條直線垂直的充要條件，這樣求線

段AB的垂直平分線的解析式就特別方便了，這樣不是在鼓勵老師多補充課外的

定理嗎？這不是要初中老師教高中內容嗎？現在初中老師教高中內容的現象還

真普遍，像兩點間距離公式、切線方程、定比分點公式，直線多種形式的解析式

（兩點式、截距式、點斜式、截斜式）等。哦！mygod！我倒。

還有好多好多的定理和公式都被刪去了，一不小心命題時就會疏漏，就有可能使

這些已刪去的定理有用武之地。

10、公認性

問題的敘述，概念的表述以及問題的結果都不能有歧義，要考慮公眾的認識。也

就是不能以為自己的想法可以代替所有人的的想法。

例30一個十字路口紅燈和綠燈交替各亮30秒，紅綠燈之間的黃燈亮3秒，你

若開汽車經過該路口，能及時通過的概率是。

點評：命題者的意圖是在63秒中有30秒時間是綠燈，所以通過的概率是。

但事實上，公認的通過概率與車流量有關，如果在較堵的路段通過的概率是很低中式飯團

的。

例31請你寫出3個具有軸對稱的漢字。

請看下面的中文字，哪一個是具有軸對稱的？公眾的認識是有差異的。

例32我校七年級學生步行到郊外去旅游,(1)班學生組成前隊,步行的速度為４

千米∕小時,(2)班的學生組成后隊,速度為6千米∕小時.前隊出發2小時后,后隊(2)班

才出發,同時后隊派出一名聯絡員騎自行車在兩隊之間不間斷的來回進行聯絡,他

騎車的速度為12千米∕小時.試根據以上的事實,提出一個問題并利用列方程的

方法解決提出的問題.你提出的問題是:。

點評：解決提出的問題時，是不是所有的條件都要用到？只用到某些條件如何

評分？如果只用到某些條件也給滿分的話，就沒什么意義了。

例33L1和L2是鏡面平行且鏡面相對的兩面鏡子,它們相距7米,把一個小球A

放在L1和L2之間,小球A在鏡子L1中的像為A1,小球A在鏡子L2中的像為

A2,則A1A2=米.

點評：小球的直徑是不是忽略不計？A1、A2是不是小球的球心？不回答這些

問題是無法解題的。

例34（2006衢州）如圖9，是一張傳說中的“藏寶圖”，圖上除標明了A、B、

C三點的位置以外，并沒有直接標出“藏寶”的位置，但圖上注有尋找“寶藏”的方

法：把直角△ABC補成矩形，使矩形的面積是△ABC的2倍，“寶藏”就在矩形

未知的頂點處。請在圖中畫出寶藏所在的位置，并寫出寶藏所在點的坐標。

點評：命題者的答案是圖10和圖11，可否補成圖12？

例35如圖,下列圖形經過折疊不能圍成一個棱柱的是()

(寧波江東區某中學的試卷）

點評：答案是B，有歧義！我認為B可以圍成五棱柱，只是多了一個側面，那好

啊，多了一個面正好用來粘合，更牢固。

例36（麗水市2008年）為了加強視力保護意識，小明想在長為3.2米，寬

為4.3米的書房里掛一張測試距離為5米的視力表．在一次課題學習課上，小明

向全班同學征集“解決空間過小，如何放置視力表問題”的方案，其中甲、乙、丙

三位同學設計方案新穎，構思巧妙．（1）甲生的方案：如圖1，將視力表掛在

墻和墻的夾角處，被測試人站立在對角線上，問：甲生的設計方案是否可行？請

說明理由．

點評：答案是“可行的”，理由是>5.但實際上視力表有一定寬度，人體既

有寬度又有厚度，如果設視力表寬度為20厘米，人體寬度40厘米，厚度20厘

米，那么人眼到視力表的實際距離約為4.86米，小于5米。有歧義了吧！

例37為籌備班級里的新年晚會，班長對全班同學愛吃哪幾種水果作了民意調

查，最終買什么水果，最值得關注的應該是統計調查數據的()

A.平均數B.中位數C.眾數D.方差

點評：這道題的歧義至于你調查的是水果的名稱，這不是數，哪來眾數？在統計

里，這種問題較多，如有人出題說根據方差判斷誰的成績好，試問每次都0分的

人最穩定，他的成績好嗎？