小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想的滲透——以“雞兔同籠”問題教學(xué)為例

小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想的滲透——以“雞兔

同籠”問題教學(xué)為例

摘要：在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程就是對一系列數(shù)學(xué)

模型理解和把握的過程，掌握模型思想能幫助小學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì)。本文以

“雞兔同籠”問題為例，探究在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)模型思想的教學(xué)策略，

希望能為廣大小學(xué)數(shù)學(xué)教師提供思路和參考。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；模型思想；滲透策略；雞兔同籠；問題探究。

引言：在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)模型是無處不在的，小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知

識的過程就是理解和把握數(shù)學(xué)模型的過程。小學(xué)數(shù)學(xué)當(dāng)中的數(shù)學(xué)模型主要是指確

定性數(shù)學(xué)模型，而數(shù)學(xué)模型能體現(xiàn)一般化、典型化以及精確化的特點。模型思想

就是針對數(shù)學(xué)問題而構(gòu)造出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，通過研究數(shù)學(xué)模型來解決實際問題，

這種數(shù)學(xué)思想方法即為模型思想。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師重視在課堂中滲透模

型思想，能幫助學(xué)生掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，從而進(jìn)一步把握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)，最

終提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和綜合素養(yǎng)?！半u兔同籠”問題是我國民間一道廣為流傳

的數(shù)學(xué)趣題，本文主要結(jié)合這個問題探究數(shù)學(xué)模型思想在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的

滲透策略，希望能幫助小學(xué)生數(shù)學(xué)模型思想，同時提高小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效

性。

1.

結(jié)合列舉模型，灌輸模型思想

在小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想滲透過程中，列舉不僅是一種樸素的數(shù)學(xué)思想方法，同

時還是一種實用的解決數(shù)學(xué)問題的有效策略，通過列舉構(gòu)建表格模型，能讓學(xué)生

更加清晰、直觀的看清數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，從而在探究規(guī)律、逐一列舉的過程中發(fā)

現(xiàn)問題的答案，同時能加深學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思想，讓學(xué)生學(xué)會利用這種數(shù)學(xué)模型

思想解決日后遇到的數(shù)學(xué)問題。

比如，當(dāng)小學(xué)生剛一接觸“雞兔同籠”的數(shù)學(xué)問題時，如果讓學(xué)生直接列式

計算難度較大，但是面對數(shù)據(jù)較小的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生很容易憑自己的經(jīng)驗或直覺

得到一些可能的答案，學(xué)生運用的一系列猜測、驗證的方法實際上就是列舉法，

通過一一列舉來解決數(shù)學(xué)實際問題。當(dāng)前大部分小學(xué)生擅長使用順序列舉法，也

就是按照從大到小或者從小到大的方法依次列舉，這樣不僅使學(xué)生有一個清晰的

思路，同時還能有效的避免出現(xiàn)結(jié)論疏漏或者重復(fù)的現(xiàn)象。針對“雞兔同籠”問

題，大部分小學(xué)生就通過逐一列舉的方法構(gòu)建的表格模型（如下表1），日后小

學(xué)生再遇到相同的數(shù)學(xué)問題時，就會采用表格模型的方法去解決實際問題了。如

果當(dāng)題中數(shù)據(jù)較大時，教師可領(lǐng)學(xué)生結(jié)合數(shù)據(jù)的特點，根據(jù)一定的間隔或者從中

間的數(shù)開始列舉，構(gòu)建表格模型去解決數(shù)學(xué)實際問題，給學(xué)生灌輸模型，從而幫

助學(xué)生掌握快速解決數(shù)學(xué)問題的有效方法。

表1

雞876543210

/只

兔012345678

/只

腳112222233

/只680246802

二、構(gòu)建面積模型，提高解題效率

在解決“雞兔同籠”問題時，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生創(chuàng)造性的構(gòu)建面積數(shù)學(xué)模型，

引導(dǎo)學(xué)生在畫圖的過程中探究模型，并幫助學(xué)生學(xué)會運用面積模型方法解決相應(yīng)

的數(shù)學(xué)問題，提高學(xué)生的解題效率，同時掌握數(shù)學(xué)模型思想。

比如構(gòu)建一個長方形面積模型去解決 “雞兔同籠”問題，假設(shè)用一條線段

的長度去表示一只兔腳的總數(shù)，那么一只雞腳的總數(shù)就應(yīng)該是這條線段的一半，

此時雞與兔腳的總數(shù)就可以分別用長方形的面積進(jìn)行表示，如下圖1和2所示。

根據(jù)長方形的面積模型可解得，兔子的只數(shù)為：（94-2×35）÷（4-2）=12

（只），那么雞的只數(shù)為（4×35-94）÷（4-2）=23（只）。通過構(gòu)建長方體面

積模型，能將抽象的數(shù)學(xué)問題直觀的呈現(xiàn)在學(xué)生面前，學(xué)生也能間接的通過計算

簡便的長方形面積問題進(jìn)一步求解原本復(fù)雜的實際問題，不僅豐富了“雞兔同籠”

問題解決的形式，同時還提高了學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的興趣和熱情，

在向?qū)W生滲透模型思想的同時提高了課堂教學(xué)的有效性。

三、提煉解題模型，滲透模型思想

俗話說：“授之以魚不如授之以漁”，這句深刻的體現(xiàn)了培養(yǎng)學(xué)生形成數(shù)學(xué)

模型思想的重要性。而我國傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)歷史題目恰好能為數(shù)學(xué)模型的發(fā)展提供一

個有利的平臺，數(shù)學(xué)歷史題目中滲透的數(shù)學(xué)思想、體現(xiàn)的模型作用都可以在潛移

默化的過程中引導(dǎo)學(xué)生理解和感受數(shù)學(xué)思想。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，解決“雞兔同籠”的問題時，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生仔

細(xì)的觀察和思考，總結(jié)和概括出解題模型：即兔數(shù)=（實際的腳數(shù)-雞兔總數(shù)×2）

÷（4-2），雞數(shù)=（雞兔總數(shù)×4-實際的腳數(shù)）÷（4-2）。當(dāng)提煉出解題模型

后，教師可以利用模型進(jìn)行相應(yīng)的拓展, 鼓勵學(xué)生應(yīng)用模型解決更多實際問題。

比如將“雞”和“兔”分別替換為了“烏龜”和“仙鶴”，“雞兔同籠”問題就

轉(zhuǎn)化為了“龜鶴問題”，學(xué)生在解決問題的過程中也會認(rèn)識到轉(zhuǎn)題與問題之間的

聯(lián)系，同時學(xué)會應(yīng)用模型去解決實際問題，幫助學(xué)生內(nèi)化為自身的思想與方法，

使數(shù)學(xué)模型成為小學(xué)生在日常思考數(shù)學(xué)問題、解決數(shù)學(xué)問題的一種思想和方法，

從而進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，讓小學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識與日常生活之

間存在的密切聯(lián)系，從而感受到數(shù)學(xué)知識的魅力。

四、深化模型思想，練就火眼金睛

在小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想滲透的過程中，教師要有意識的帶領(lǐng)學(xué)生創(chuàng)造性地運用

數(shù)學(xué)模型去解決問題。其中“替換”模型就能將原本復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化，學(xué)

生在學(xué)習(xí)的過程中會不斷的套用模型，甚至創(chuàng)造性的應(yīng)用模型，首先轉(zhuǎn)化進(jìn)而達(dá)

到運用“替換”思想的最終目的。其實“替換”模型就是一種解決“雞兔同籠”

問題的特殊策略，其中蘊含著十分有趣的數(shù)學(xué)規(guī)律，能夠發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能

力和推理能力，提高學(xué)生思維的靈活性，同時使“替換”模型策略得到了提升和

延伸。

比如“替換”模型題目：藍(lán)天木器加工廠有56個工人，每個工人平均每天

能夠做出10張桌子或者15張凳子，為了供應(yīng)市場需求，每張桌子必須要與兩張

凳子配成一套才能發(fā)貨，那么如何安排加工桌子和凳子的人數(shù)才不會造成人力資

源浪費，同時還能滿足市場的供應(yīng)需求呢？這道題的數(shù)量關(guān)系是：每天做出桌子

的總張數(shù)×2=每天做出凳子數(shù)，可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為每天做出桌子的總張數(shù)×2每天

做出凳子數(shù)=0，那么2（10+10+10+···+10+10+10）-15-15···-15=0便可

轉(zhuǎn)化為20+20+20+20+···+20+20-15-15-···-15+0，如下圖所示，便可計算

得到最佳的分配方案。通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，帶領(lǐng)學(xué)生創(chuàng)造性地運用模型解決數(shù)學(xué)

問題，進(jìn)一步形成數(shù)學(xué)思想和方法，不僅能培養(yǎng)學(xué)生形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力，還能

發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，實現(xiàn)數(shù)學(xué)模型思想的滲透。

總而言之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，向?qū)W生滲透模型思想是十分必要的，不

僅有助于發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，同時還能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)問題解決能力，幫助學(xué)

生掌握數(shù)學(xué)模型思想和方法，實現(xiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想教學(xué)的有效性。

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