方程的意義(基礎)知識講解

方程的意義（基礎）知識講解

【學習目標】

1．正確理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的區別與聯系；

2. 正確理解一元一次方程的概念，并會判斷方程是否是一元一次方程及一個數是否是方程

的解；

3. 理解并掌握等式的兩個基本性質.

【要點梳理】

要點一、方程的有關概念

1．定義：含有未知數的等式叫做方程.

要點詮釋：

判斷一個式子是不是方程，只需看兩點：一.是等式；二.是含有未知數．

2．方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數的值，叫做方程的解.

要點詮釋：

判斷一個數（或一組數）是否是某方程的解，只需看兩點：①.它（或它們）是方程中

未知數的值；

②將它（或它們）分別代入方程的左邊和右邊，若左邊等于右邊，則它們是方程的解，

否則不是．

3．解方程：求方程的解的過程叫做解方程.

4．方程的兩個特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必須含有字母（或未知數）.

要點二、一元一次方程的有關概念

定義：只含有一個未知數（元），并且未知數的次數都是1，這樣的方程叫做一元一次方

程.

要點詮釋： “元”是指未知數，“次”是指未知數的次數，一元一次方程滿足條件：

①首先是一個方程;②其次是必須只含有一個未知數;③未知數的指數是1;④分母中不含

有未知數．

要點三、等式的性質

1．等式的概念：用符號“=”來表示相等關系的式子叫做等式.

2．等式的性質：

等式的性質1：等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），結果仍相等.即：

如果，那么 (c為一個數或一個式子) .

等式的性質2：等式兩邊乘同一個數，或除以同一個不為0的數，結果仍相等.即：

如果，那么；如果，那么.

要點詮釋：

（1）根據等式的兩條性質，對等式進行變形，等式兩邊必須同時進行完全相同的變形；

(2) 等式性質1中，強調的是整式，如果在等式兩邊同加的不是整式，那么變形后的等式

不一定成立，

如x＝0中，兩邊加上得x＋，這個等式不成立;

(3) 等式的性質2中等式兩邊都除以同一個數時，這個除數不能為零．

【典型例題】

類型一、方程的概念

1．下列各式哪些是方程？

①3x-2＝7； ②4+8＝12； ③3x-6；

2

④2m-3n＝0； ⑤3x-2x-1＝0； ⑥x+2≠3；

⑦； ⑧．

2285?xx

?5?

x?153

【答案與解析】

解：②雖是等式，但不含未知數；③不是等式；⑥表示不等關系，故②、③、⑥均不符合

方程的概念．①、④、⑤、⑦、⑧符合方程的定義，所以方程有：①、④、⑤、⑦、⑧．

【總結升華】方程的判斷必須看兩點，一個是等式，二是含有未知數．當然未知數的個數可

以是一個，也可以是多個．

舉一反三：

【變式】下列四個式子中，是方程的是（ ）

A. 3+2=5 B. x=1 C. 2x﹣3＜0 D. a+2ab+b

【答案】B．

22

2．（孟津縣期中）下列方程中，以x=2為解的方程是（ ）

A. 4x﹣1=3x+2 B. 4x+8=3（x+1）+1

C. 5（x+1）=4（x+2）﹣1 D. x+4=3（2x﹣1）

【答案】C．

【總結升華】檢驗一個數是不是方程的解，根據方程解的概念，只需將所給字母的值分別代

入方程的左右兩邊，若兩邊的值相等，則這個數就是此方程的解，否則不是．

舉一反三：

【變式】下列方程中，解是x=3的是( )

A．x+1＝4 B．2x+1＝3 C．2x-1＝2 D．

2

x?1?7

3

類型二、一元一次方程的相關概念

3．（南江縣期末）在下列方程中①x+2x=1，②﹣3x=9，③x=0，④3﹣=2，

⑤=y+是一元一次方程的有（ ）個．

2

A．1 B．2 C．3 D．4

【思路點撥】根據一元一次方程的定義：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是1

次的整式方程，可以逐一判斷.

【答案】B.

【解析】解：①x+2x=1，是一元二次方程；②﹣3x=9，是分式方程；③x=0，是一元一

次方程；④3﹣=2，是等式，不是方程；⑤=y+是一元一次方程；一元一次方程

2

的有2個，故選：B．

【總結升華】本題考查了一元一次方程的定義，解決本題的關鍵是熟記一元一次方程的定義．

舉一反三：

【變式】下列方程中是一元一次方程的是__________（只填序號）．

①2x-1＝4；②x＝0；③ax＝b；④．

【答案】①②.

1

?5??1

x

類型三、等式的性質

4．用適當的數或整式填空，使所得的結果仍為等式，并說明根據等式的哪一條性質，

以及怎樣變形得到的．

(1)如果，那么________；

44

x?11?5x?5?

33

43

t??

，那么＝________． (3)如果

t

34

(2)如果＝-c，那么＝-+________；

ax+byaxc

【答案與解析】

解： (1). 11；根據等式的性質1，等式兩邊都加上11；

(2).（-by）； 根據等式的性質1，等式兩邊都加上-by；

(3).； 根據等式的性質2，等式兩邊都乘以．

??

93

164

【總結升華】先從不需填空的一邊入手，比較這一邊是怎樣變形的，再根據等式的性質，

對另一邊也進行同樣的變形．

舉一反三：

【變式】下列說法正確的是( )．

A．在等式ab＝ac兩邊都除以a，可得b＝c.

B．在等式a＝b兩邊除以c+1，可得.

C．在等式兩邊都除以a，可得b＝c.

2

ab

?

c?1c?1

22

bc

?

aa

D．在等式2x＝2a-b兩邊都除以2，可得x＝a-b.

【答案】B.

類型四、設未知數列方程

5．根據問題設未知數并列出方程：

一次考試共有25道選擇題，做對一道得4分，做錯或不做一道倒扣1分．若小明想考

80分，他要做對多少道題？

【答案與解析】

解：設小明要做對x道題，則有(25-x)道做錯或沒做的題，依題意有：4x-(25-x)×1＝80．

可以采用列表法探究其解

顯然，當x＝21時，4x-(25-x)×1＝80．

所以小明要做對21道題．

【總結升華】根據題意設出合適的未知量，并根據等量關系列出含有未知量的等式．

舉一反三：

【變式】根據下列條件列出方程．

(l)x的5倍比x的相反數大10；

(2)某數的比它的倒數小4；

3

4

(3)甲、乙兩人從學校到公園，走這段路甲用20分鐘，乙用30分鐘，如果乙比甲早5

分鐘出發，問甲用多少時間追上乙？

【答案】(1)5x-(-x)＝10；(2)設某數為x，則；(3)設甲用x分鐘追上乙，由

題意得．

13

?x?4

x4

11

(x?5)?x

3020