Hilbert包絡線

Hilbert變換是一個很有用的變換，用它來做包絡分析更是一種有效的數據處理

方法。現用代碼測試其變換效果

第一個程序效果如下

% Hilbert變換測試

clc

clear all

clo all

ts = 0.001;

fs = 1/ts;

N = 200;

f = 50;

k = 0:N-1;

t = k*ts;

% 信號變換

% 結論：sin信號Hilbert變換后為cos信號

y = sin(2*pi*f*t);

yh = hilbert(y); % matlab函數得到信號是合成的復信號

yi = imag(yh); % 虛部為書上定義的Hilbert變換

figure

subplot(211)

plot(t, y)

title('原始sin信號')

subplot(212)

plot(t, yi)

title('Hilbert變換信號')

% 檢驗兩次Hilbert變換的結果（理論上為原信號的負值）

% 結論：兩次Hilbert變換的結果為原信號的負值

yih = hilbert(yi);

yii = imag(yih);

max(y + yii)

% 信號與其Hilbert變換的正交性

% 結論：Hilbert變換后的信號與原信號正交

sum(y.*yi)

% 譜分析

% 結論：Hilbert變換后合成的復信號的譜沒有大于奈氏頻率的頻譜，即其譜為

單邊的

NFFT = 2^nextpow2(N);

f = fs*linspace(0,1,NFFT);

Y = fft(y, NFFT)/N;

YH = fft(yh, NFFT)/N;

figure

subplot(211)

plot(f,abs(Y))

title('原信號的雙邊譜')

xlabel('頻率f (Hz)')

ylabel('|Y(f)|')

subplot(212)

plot(f,abs(YH))

title('信號Hilbert變換后組成的復信號的雙邊譜')

xlabel('頻率f (Hz)')

ylabel('|YH(f)|')

第二個效果如下

第一個包絡測試

可以看到，此包絡分析得到的包絡信號頻率為20Hz，包絡信號的波形為余弦信

號的絕對值信號，這是因為計算包絡時是取絕對值得到的，從而使信號頻率加倍。

解決方法是把包絡提升，遠離0，如下第二個包絡。

第二個包絡測試

可以看到Hilbert包絡分析可以有效提取包絡和調制信號頻率，和檢波有一樣的

效果，而且更實用。

第三個包絡測試

這是嘗試一個任意形狀的包絡，可以看到除在邊緣處有誤差外，整體效果很好。

% 包絡分析(高中心頻率的窄帶信號分析)

% 基于：兩個信號乘積的Hilbert變換取決于高頻信號的Hilbert變換

clc

clear all

clo all

ts = 0.001;

fs = 1/ts;

N = 200;

k = 0:N-1;

t = k*ts;

% 原始信號

f1 = 10;

f2 = 70;

% a = cos(2*pi*f1*t); % 包絡1

a = 2 + cos(2*pi*f1*t); % 包絡2

% a = 1./(1+t.^2*50); % 包絡3

m = sin(2*pi*f2*t); % 調制信號

y = a.*m; % 信號調制

figure

subplot(241)

plot(t, a)

title('包絡')

subplot(242)

plot(t, m)

title('調制信號')

subplot(243)

plot(t, y)

title('調制結果')

% 包絡分析

% 結論：Hilbert變換可以有效提取包絡、高頻調制信號的頻率等

yh = hilbert(y);

aabs = abs(yh); % 包絡的絕對值

aangle = unwrap(angle(yh)); % 包絡的相位

af = diff(aangle)/2/pi; % 包絡的瞬時頻率，差分代替微分

計算

% NFFT = 2^nextpow2(N);

NFFT = 2^nextpow2(1024*4); % 改善柵欄效應

f = fs*linspace(0,1,NFFT);

YH = fft(yh, NFFT)/N; % Hilbert變換復信號的頻譜

A = fft(aabs, NFFT)/N; % 包絡的頻譜

subplot(245)

plot(t, aabs, t, a, '.')

title('包絡的絕對值')

legend('包絡分析結果', '真實包絡')

subplot(246)

plot(t, aangle)

title('調制信號的相位')

subplot(247)

plot(t(1:end-1), af*fs)

title('調制信號的瞬時頻率')

subplot(244)

plot(f,abs(YH))

title('原始信號的Hilbert譜')

xlabel('頻率f (Hz)')

ylabel('|YH(f)|')

subplot(248)

plot(f,abs(A))

title('包絡的頻譜')

xlabel('頻率f (Hz)')

ylabel('|A(f)|')