初中數學知識點總匯(詳細)

初中數學知識點總匯

一、數與代數A：數與式：

1：有理數

有理數：①整數→正整數/0/負整數 ②分數→正分數/負分數

數軸：①畫一條水平直線，在直線上取一點表示0（原點），選取某

一長度作為單位長度，規定直線上向右的方向為正方向，就得到數軸

②任何一個有理數都可以用數軸上的一個點來表示。

③如果兩個數只有符號不同，那么我們稱其中一個數為另外一個數的

相反數，也稱這兩個數互為相反數。

在數軸上，表示互為相反數的兩個點，位于原點的兩側，并且與原點

距離相等。

④數軸上兩個點表示的數，右邊的總比左邊的大。正數大于0，負數

小于0，正數大于負數。

絕對值：①在數軸上，一個數所對應的點與原點的距離叫做該數的絕

對值。

②正數的絕對值是他本身/負數的絕對值是他的相反數/0的絕對值是

0。兩個負數比較大小，絕對值大的反而小。

有理數的運算：加法：①同號相加，取相同的符號，把絕對值相加。

②異號相加，絕對值相等時和為0；絕對值不等時，取絕對值較大的

數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。③一個數與0相加

不變。

減法： 減去一個數，等于加上這個數的相反數。

乘法：①兩數相乘，同號得正，異號得負，絕對值相乘。②任何數與

0相乘得0。③乘積為1的兩個有理數互為倒數。

除法：①除以一個數等于乘以一個數的倒數。②0不能作除數。

乘方：求N個相同因數A的積的運算叫做乘方，乘方的結果叫冪，A

叫底數，N叫次數。

混合順序：先算乘法，再算乘除，最后算加減，有括號要先算括號里

的。

2：實數

無理數：無限不循環小數叫無理數

平方根：①如果一個正數X的平方等于A，那么這個正數X就叫做A

的算術平方根。②如果一個數X的平方等于A，那么這個數X就叫做

A的平方根。③一個正數有2個平方根/0的平方根為0/負數沒有平

方根。④求一個數A的平方根運算，叫做開平方，其中A叫做被開方

數。

立方根：①如果一個數X的立方等于A，那么這個數X就叫做A的立

方根。②正數的立方根是正數/0的立方根是0/負數的立方根是負數。

③求一個數A的立方根的運算叫開立方，其中A叫做被開方數。

實數：①實數分有理數和無理數。②在實數范圍內，相反數，倒數，

絕對值的意義和有理數范圍內的相反數，倒數，絕對值的意義完全一

樣。③每一個實數都可以在數軸上的一個點來表示。

3：代數式

代數式：單獨一個數或者一個字母也是代數式。

合并同類項：①所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項，叫

做同類項。②把同類項合并成一項就叫做合并同類項。③在合并同類

項時，我們把同類項的系數相加，字母和字母的指數不變。

4：整式與分式

整式：①數與字母的乘積的代數式叫單項式，幾個單項式的和叫多項

式，單項式和多項式統稱整式。②一個單項式中，所有字母的指數和

叫做這個單項式的次數。③一個多項式中，次數最高的項的次數叫做

這個多項式的次數。

整式運算：加減運算時，如果遇到括號先去括號，再合并同類項。

冪的運算：

A?A?A,(A)?A,(AB)?A?B,A?1,A?

mnm?nmnmnnnn0?p

1

A

p

整式的乘法：①單項式與單項式相乘，把他們的系數，相同字母的冪

分別相乘，其余字母連同他的指數不變，作為積的因式。②單項式與

多項式相乘，就是根據分配律用單項式去乘多項式的每一項，再把所

得的積相加。③多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另

外一個多項式的每一項，再把所得的積相加。??

公式兩條：平方差公式/完全平方公式

整式的除法：①單項式相除，把系數，同底數冪分別相除后，作為商

的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同他的指數一起作為商

的一個因式。②多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除

以單項式，再把所得的商相加。

分解因式：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變化叫做把

這個多項式分解因式

方法：提公因式法/運用公式法/分組分解法/十字相乘法

分式：①整式A除以整式B，如果除式B中含有分母，那么這個就是

分式，對于任何一個分式，分母不為0。②分式的分子與分母同乘以

或除以同一個不等于0的整式，分式的值不變。

分式的運算：乘法：把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積

作為積的分母。

除法：除以一個分式等于乘以這個分式的倒數。

加減法：①同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。②異分

母的分式先通分，化為同分母的分式，再加減。

分式方程：①分母中含有未知數的方程叫分式方程。②使方程的分母

為0的解稱為原方程的增根。

B：方程與不等式

1：方程與方程組

一元一次方程：①在一個方程中，只含有一個未知數，并且未知數的

指數是1，這樣的方程叫一元一次方程。②等式兩邊同時加上或減去

或乘以或除以（不為0）一個代數式，所得結果仍是等式。

解一元一次方程的步驟：去分母，移項，合并同類項，未知數系數化

為1。

二元一次方程：含有兩個未知數，并且所含未知數的項的次數都是1

的方程叫做二元一次方程。

二元一次方程組：兩個二元一次方程組成的方程組叫做二元一次方程

組。??

適合一個二元一次方程的一組未知數的值，叫做這個二元一次方程的

一個解。

二元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個二元一次方程的解。

解二元一次方程組的方法：代入消元法/加減消元法。

2：不等式與不等式組

不等式：①用符號〉，=，〈號連接的式子叫不等式。②不等式的兩邊

都加上或減去同一個整式，不等號的方向不變。③不等式的兩邊都乘

以或者除以一個正數，不等號方向不變。④不等式的兩邊都乘以或除

以同一個負數，不等號方向相反。

不等式的解集：①能使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解。

②一個含有未知數的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。③求

不等式解集的過程叫做解不等式。

一元一次不等式：左右兩邊都是整式，只含有一個未知數，且未知數

的最高次數是1的不等式叫一元一次不等式。

一元一次不等式組：①關于同一個未知數的幾個一元一次不等式合在

一起，就組成了一元一次不等式組。

②一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分，叫做這個一元

一次不等式組的解集。③求不等式組解集的過程，叫做解不等式組。

3：函數

變量：因變量，自變量。

在用圖象表示變量之間的關系時，通常用水平方向的數軸上的點自變

量，用豎直方向的數軸上的點表示因變量。

一次函數：①若兩個變量x，y間的關系式可以表示成y=kx+b（b為

常數，k不等于0）的形式，則稱y是x的一次函數。②當b=0時，

稱y是x的正比例函數。

一次函數的圖象：①把一個函數的自變量x與對應的因變量y的值分

別作為點的橫坐標與縱坐標，在直角坐標系內描出它的對應點，所有

這些點組成的圖形叫做該函數的圖象。②正比例函數Y=KX的圖象是

經過原點的一條直線。③在一次函數中，當k<0，b，則經234象

限；當k<0，b>0時，則經124象限；當k>0，b<0時，則經134象限；

當k>0，b>0時，則經123象限。④當k>0時，y的值隨x值的增大

而增大，當x<0時，y的值隨x值的增大而減少。

二、空間與圖形

A：圖形的認識：

1：點，線，面

點，線，面：①圖形是由點，線，面構成的。②面與面相交得線，線

與線相交得點。③點動成線，線動成面，面動成體。

展開與折疊：①在棱柱中，任何相鄰的兩個面的交線叫做棱，側棱是

相鄰兩個側面的交線，棱柱的所有側棱長相等，棱柱的上下底面的形

狀相同，側面的形狀都是長方體。②N棱柱就是底面圖形有N條邊的

棱柱。

截一個幾何體：用一個平面去截一個圖形，截出的面叫做截面。

3視圖：主視圖，左視圖，俯視圖。

多邊形：他們是由一些不在同一條直線上的線段依次首尾相連組成的

封閉圖形。

弧，扇形：①由一條弧和經過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形

叫扇形。②圓可以分割成若干個扇形。

2：角

線：①線段有兩個端點。②將線段向一個方向無限延長就形成了射線。

射線只有一個端點。③將線段的兩端無限延長就形成了直線。直線沒

有端點。④經過兩點有且只有一條直線。

比較長短：①兩點之間的所有連線中，線段最短。②兩點之間線段的

長度，叫做這兩點之間的距離。

角的度量與表示：①角由兩條具有公共端點的射線組成，兩條射線的

公共端點是這個角的頂點。②一度的1/60是一分，一分的1/60是一

秒。

角的比較：①角也可以看成是由一條射線繞著他的端點旋轉而成的。

②一條射線繞著他的端點旋轉，當終邊和始邊成一條直線時，所成的

角叫做平角。始邊繼續旋轉，當他又和始邊重合時，所成的角叫做周

角。③從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，

這條射線叫做這個角的平分線。

平行：①同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。②經過直線外

一點，有且只有一條直線與這條直線平行。③如果兩條直線都與第3

條直線平行，那么這兩條直線互相平行。

垂直：①如果兩條直線相交成直角，那么這兩條直線互相垂直。②互

相垂直的兩條直線的交點叫做垂足。③平面內，過一點有且只有一條

直線與已知直線垂直。

3：相交線與平行線

角：①如果兩個角的和是直角,那么稱和兩個角互為余角；如果兩個

角的和是平角，那么稱這兩個角互為補角。②同角或等角的余角/補

角相等。③對頂角相等。④同位角相等/內錯角相等/同旁內角互補，

兩直線平行，反之亦然。

4：三角形

三角形：①由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形

叫做三角形。②三角形任意兩邊之和大于第三邊。三角形任意兩邊之

差小于第三邊。③三角形三個內角的和等于180度。④三角形分銳角

三角形/直角三角形/鈍角三角形。⑤直角三角形的兩個銳角互余。⑥

三角形中一個內角的角平分線與他的對邊相交，這個角的頂點與交點

之間的線段叫做三角形的角平分線。⑦三角形中，連接一個頂點與他

對邊中點的線段叫做這個三角形的中線。⑧三角形的三條角平分線交

于一點，三條中線交于一點。⑨從三角形的一個頂點向他的對邊所在

的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高。⑩三角形的

三條高所在的直線交于一點。

圖形的全等：全等圖形的形狀和大小都相同。兩個能夠重合的圖形叫

全等圖形。

全等三角形：①全等三角形的對應邊/角相等。②條件：

SSS/AAS/ASA/SAS/HL。

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，反之亦然。

5：四邊形

平行四邊形的性質：①兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

②平行四邊形不相鄰的兩個頂點連成的線段叫他的對角線。③平行四

邊形的對邊/對角相等。④平行四邊形的對角線互相平分。

平行四邊形的判定條件：兩條對角線互相平分的四邊形/一組對邊平

行且相等的四邊形/兩組對邊分別相等的四邊形/定義。

菱形：①一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。②領心的四條邊相等，

兩條對角線互相垂直平分，每一組對角線平分一組對角。③判定條件：

定義/對角線互相垂直的平行四邊形/四條邊都相等的四邊形。

矩形與正方形：①有一個內角是直角的平行四邊形叫做矩形。②矩形

的對角線相等，四個角都是直角。③對角線相等的平行四邊形是矩形。

④正方形具有平行四邊形，矩形，菱形的一切性質。⑤一組鄰邊相等

的矩形是正方形。

梯形：①一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫梯形。②兩條

腰相等的梯形叫等腰梯形。③一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。

④等腰梯形同一底上的兩個內角相等，對角線星等，反之亦然。

多邊形：①N邊形的內角和等于（N-2）180度。②多邊心內角的一邊

與另一邊的反向延長線所組成的角叫做這個多邊形的外角，在每個頂

點處取這個多邊形的一個外角，他們的和叫做這個多邊形的內角和

（都等于360度）

平面圖形的密鋪：三角形，四邊形和正六邊形可以密鋪。

中心對稱圖形：①在平面內，一個圖形繞某個點旋轉180度，如果旋

轉前后的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫

做他的對稱中心。②中心對稱圖形上的每一對對應點所連成的線段都

被對稱中心平分。

B：圖形與變換：

1：圖形的軸對稱

軸對稱：如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相

重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。

軸對稱圖形：①角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。②線

段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。③等腰三角形

的“三線合一”。

軸對稱的性質：對應點所連的線段被對稱軸垂直平分，對應線段/對

應角相等。

2:圖形的平移和旋轉

平移：①在平面內，將一個圖形沿著某個方向移動一定的距離，這樣

的圖形運動叫做平移。②經過平移，對應點所連的線段平行且相等，

對應線段平行且相等，對應角相等。

旋轉：①在平面內，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉動一個角度，

這樣的圖形運動叫做旋轉。②經過旋轉，圖形商店每一個點都繞旋轉

中心沿相同方向轉動了相同的角度，任意一對對應點與旋轉中心的連

線所成的角都是旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等。

3：圖形的相似

ACACA?BC?D

???

，那么AD=BC，反之亦然。②，那么。 比：①

BDBDBD

ACNA?C????NACN

?????????????

③那么

BDMB?D????MBDM

ACBC

?

黃金分割：點C把線段AB分成兩條線段AC與BC，如果，那

ABAC

么稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC

與AB的比叫做黃金比（）。

5?

相似：①各角對應相等，各邊對應成比例的兩個多邊形叫做相似多邊

形。②相似多邊形對應邊的比叫做相似比。

相似三角形：①三角對應相等，三邊對應成比例的兩個三角形叫做相

似三角形。②條件：AA/SSS/SAS。

相似多邊形的性質：①相似三角形對應高，對應角平分線，對應中線

的比都等于相似比。②相似多邊形的周長比等于相似比，面積比等于

相似比的平方。

圖形的放大與縮小：①如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應

點所在的直線都經過同一個點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，

這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比。②位似圖形上任

意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比。

C：圖形的坐標

平面直角坐標系：在平面內，兩條互相垂直且有公共原點的數軸組成

平面直角坐標系。水平的數軸叫做X軸或橫軸，鉛直的數軸叫做Y軸

或縱軸，X軸與Y軸統稱坐標軸，他們的公共原點O稱為直角坐標系

1

2

的原點。他們分4個象限。XA，YB記作（A，B）。

D：證明

定義與命題：①對名稱與術語的含義加以描述，作出明確的規定，也

就是給出他們的定義。②對事情進行判斷的句子叫做命題（分真命題

與假命題）。③每個命題是由條件和結論兩部分組成。④要說明一個

命題是假命題，通常舉出一個離子，使之具備命題的條件，而不具有

命題的結論，這種例子叫做反例。??

公理：①公認的真命題叫做公理。②其他真命題的正確性都通過推理

的方法證實，經過證明的真命題稱為定理。③同位角相等，兩直線平

行，反之亦然；SAS/ASA/SSS，反之亦然；同旁內角互補，兩直線；

平行，反之亦然；內錯角相等，兩直線平行，反之亦然；三角形三個

內角的和等于180度；三角形的一個外交等于和他不相鄰的兩個內角

的和；三角心的一個外角大于任何一個和他不相鄰的內角。④由一個

公理或定理直接推出的定理，叫做這個公理或定理的推論。

三、統計與概率

1：統計

科學記數法：一個大于10的數可以表示成的形式，其中1小

A?10

N

于等于A小于10，N是正整數。

扇形統計圖：①用圓表示總體，圓中的各個扇形分別代表總體中的不

同部分，扇形的大小反映部分占總體的百分比的大小，這樣的統計圖

叫做扇形統計圖。②扇形統計圖中，每部分占總體的百分比等于該部

分所對應的扇形圓心角的度數與360度的比。

各類統計圖的優劣：條形統計圖：能清楚表示出每個項目的具體數目；

折線統計圖：能清楚反映事物的變化情況；扇形統計圖：能清楚地表

示出各部分在總體中所占的百分比。

近似數字和有效數字：①測量的結果都是近似的。②利用四舍五入法

取一個數的近似數時，四舍五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪

一位。③對于一個近似數，從左邊第一個不是0的數字起，到精確到

的數位止，所有的數字都叫做這個數的有效數字。

平均數：對于n個數，我們把叫做這個n個

x,x??????x

12n

數的算術平均數，記為。

x

加權平均數：一組數據里各個數據的重要程度未必相同，因而，在計

算這組數據的平均數時往往給每個數據加一個權，這就是加權平均

數。

中位數與眾數：①n個數據按大小順序排列，處于最中間位置的一個

x?x????????x

12n

n

數據（或最中間兩個數據的平均數）叫做這組數據的中位數。②一組

數據中出現次數最大的那個數據叫做這個組數據的眾數。③優劣：平

均數：所有數據參加運算，能充分利用數據所提供的信息，因此在現

實生活中常用，但容易受極端值影響；中位數：計算簡單，受極端值

影響少，但不能充分利用所有數據的信息；眾數：各個數據如果重復

次數大致相等時，眾數往往沒有特別的意義。

調查：①為了一定的目的而對考察對象進行的全面調查，稱為普查，

其中所要考察對象的全體稱為總體，而組成總體的每一個考察對象稱

為個體。②從總體中抽取部分個體進行調查，這種調查稱為抽樣調查，

其中從總體中抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本。③抽樣調查只

考察總體中的一小部分個體，因此他的優點是調查范圍小，節省時間，

人力，物力和財力，但其調查結果往往不如普查得到的結果準確。為

了獲得較為準確的調查結果，抽樣時要主要樣本的代表性和廣泛性。

頻數與頻率：①每個對象出現的次數為頻數，而每個對象出現的次數

與總次數的比值為頻率。②當收集的數據連續取值時，我們通常先將

數據適當分組，然后再繪制頻數分布直方圖。

數據的波動：①極差是指一組數據中最大數據與最小數據的差。②方

差是各個數據與平均數之差的平方的平均數。③標準差就是方差的算

術平方根。④一般來說，一組數據的極差，方差，或標準差越小，這

組數據就越穩定。

2：概率

可能性：①有些事情我們能確定他一定會發生，這些事情稱為必然事

件；有些事情我們能肯定他一定不會發生，這些事情稱為不可能事件；

必然事件和不可能事件都是確定的。②有很多事情我們無法肯定他會

不會發生，這些事情稱為不確定事件。③一般來說，不確定事件發生

的可能性是有大小的。

概率：①人們通常用1（或100%）來表示必然事件發生的可能性，用

0來表示不可能事件發生的可能性。②游戲對雙方公平是指雙方獲勝

的可能性相同。③必然事件發生的概率為1，記作P（必然事件）=1；

不可能事件發生的概率為0，記作P（不可能事件）=0；如果A為不

確定事件，那么0 < P（A）< 1。

定義與定義表達式

一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：

y?ax?bx?c

2

（，b，c為常數，≠0，且決定函數的開口方向，>0

aaaa

時，開口方向向上，<0時，開口方向向下。還可以決定開口大

a

|a|

小, 越大開口就越小, 越小開口就越大。）

|a||a|

則稱y為x的二次函數。

二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。

x是自變量，y是x的函數

二次函數的三種表達式

一般式：（，b，c為常數，≠0）

y?ax?bx?c

2

aa

頂點式： [拋物線的頂點P（h，k）] 對于二次函數

y?a(x?h)?k

2

b4ac?b

2

y?ax?bx?c

其頂點坐標為

(?,)

2a4a

2

交點式： [僅限于與x軸有交點A（x? ，0）和 B（x?，

y?a(x?x)(x?x)

12

0）的拋物線

?b?b?4ac

2

其中

x?

1,2

2a

注：在3種形式的互相轉化中，有如下關系:

?b?b?4ac

2

4ac?b

2

b

h= k=

?

x?

1,2

2a

4a

2a

二次函數的圖像

在平面直角坐標系中作出二次函數的圖像，

y?x

2

可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線。

拋物線的性質

1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = 。

?

b

2a

對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。

特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）

b4ac?b

2

)(?,

2.拋物線有一個頂點P，坐標為P

2a4a

當=0時，P在y軸上；當Δ= =0時，P在x軸上。

?

b

b?4ac

2

2a

3.二次項系數決定拋物線的開口方向和大小。

a

當＞0時，拋物線向上開口；當＜0時，拋物線向下開口。

aa

||越大，則拋物線的開口越小。??

a

4.一次項系數b和二次項系數共同決定對稱軸的位置。

a

當與b同號時（即b＞0），對稱軸在y軸左；

aa

當與b異號時（即b＜0），對稱軸在y軸右。

aa

5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

拋物線與y軸交于（0，c）

6.拋物線與x軸交點個數

Δ= ＞0時，拋物線與x軸有2個交點。

b?4ac

2

Δ==0時，拋物線與x軸有1個交點。

b?4ac

2

_______

Δ= ＜0時，拋物線與x軸沒有交點。x的取值是虛數（x=

b?4ac

2

?b?b?4ac

2

的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2）

a

4ac?b

2

bb

當>0時，函數在x= 處取得最小值f()=；在{x |

a

??

4a

2a2a

x<}上是減函數，在{x | x>}上是增函數；拋物線的開口向

??

bb

2a2a

4ac?b

2

上；函數的值域是{x | x ≥}相反不變

4a

當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數是偶函數，解析式變

形為

y?ax?c(a?0)

2

二次函數與一元二次方程

特別地，二次函數（以下稱函數），

y?ax?bx?c

2

當y=0時，二次函數為關于x的一元二次方程（以下稱方程），

即

ax?bx?c?0

2

此時，函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。

函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。

1．二次函數，，， (各

y?axy?a(x?h)y?a(x?h)?ky?ax?bx?c

2222

式中，)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對

a?0

稱軸如下表：

解析式

y?axy?a(x?h)y?a(x?h)?ky?ax?bx?c

2222

，，，

頂點坐標

b4ac?b

2

)(?,

(0，0) (h，0) (h，k)

2a4a

對 稱 軸

x=0 x=h x=h x=

?

當h>0時，的圖象可由拋物線向右平行移動h

y?a(x?h)y?ax

22

個單位得到，

當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到．

當h>0,k>0時，將拋物線向右平行移動h個單位，再向上

y?ax

2

移動k個單位，就可以得到的圖象；

y?a(x?h)?k

2

當h>0,k<0時，將拋物線向右平行移動h個單位，再向下

y?ax

2

移動|k|個單位可得到的圖象；

y?a(x?h)?k

2

當h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動

k個單位可得到的圖象；

y?a(x?h)?k

2

當h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動

|k|個單位可得到的圖象；

y?a(x?h)?k

2

因此，研究拋物線 ()的圖象，通過配方，將一

y?ax?bx?c

2

a?0

般式化為的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線

y?a(x?h)?k

2

的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便．

2．拋物線 ()的圖象：當>0時，開口向上，

y?ax?bx?c

2

a?0

a

b

2a

b4ac?b

2

b

)(?,

．當<0時開口向下，對稱軸是直線x=，頂點坐標是

a

?

2a4a

2a

b

時，y隨x 3．拋物線 ()，若>0，當x ≤

2a

bb

的增大而減小；當x ≥時，y隨x的增大而增大．若<0，當x ≤

??

a

2a2a

b

時，y隨x的增大而增大；當x ≥時，y隨x的增大而減小．

?

2a

y?ax?bx?c

2

a?0

a

?

4．拋物線的圖象與坐標軸的交點：

y?ax?bx?c

2

(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c)；

(2)當△=>0，圖象與x軸交于兩點A(x?，0)和B(x?，0)，

b?4ac

2

其中的,是一元二次方程

xx

12

ax?bx?c?0

2

(≠0)的兩根．這兩點間的距離AB=|x?-x?| 另外，拋物線上任何一

a

對對稱點的距離可以由

|2×（）－A |（A為其中一點）

?

b

2a

當△=0．圖象與x軸只有一個交點；

當△<0．圖象與x軸沒有交點．當>0時，圖象落在x軸的上方，

a

x為任何實數時，都有y>0；當<0時，圖象落在x軸的下方，x為

a

任何實數時，都有y<0．

5．拋物線的最值：如果>0(<0)，則當x= 時，

y?ax?bx?c

2

aa

?

4ac?b

2

y最小(大)值=．

4a

b

2a

頂點的橫坐標，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標，是最

值的取值．

6．用待定系數法求二次函數的解析式

(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對

應值時，可設解析式為一般形式：

y?ax?bx?c

2

()．

a?0

(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸時，可設解析式

為頂點式： ()．

y?a(x?h)?k

2

a?0

(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設解析

式為兩根式：()．

y?a(x?x)(x?x)

12

a?0