用經(jīng)典的回歸模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)控制的問題

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數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理 第25卷 第5期 2005年9月

文章編號(hào)：1002—1566（2005）05—0064—04

經(jīng)典的用回歸模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)控制中的問題

孫尚拱，何平平

（北京大學(xué)衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)教研室，北京，100083）

摘要：利用回歸模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)控制，在實(shí)際工作中一直得到廣泛應(yīng)用。通常采用的方法是利用回

^^

=a+bx進(jìn)行逆估計(jì)，-a）歸模型y即根據(jù)回歸模型的變換x=（y/b，由應(yīng)變量Y的取值范圍反推

自變量

X的取值范圍。本文指出這種方法是很不合理的；進(jìn)一步提出二種相對(duì)合理取代的統(tǒng)計(jì)方

法。

關(guān)鍵詞：回歸模型；統(tǒng)計(jì)控制

中圖分類號(hào)：

O212文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

ProblemofTraditionalStatisticalControlinRegressionModel

SUNShang-gong，HEPing-ping

（DepartmentofHealthStatistical，PekingUniversity100083）

Abstract：Statisticalcontrolinregressionmodelhasbeenappliedwidelyinpractice.Itisanusualmethodtoestimate

^^

=a+bx.Thatistosay，accordingtotheinverformofregressionmodelx=-reverlyinregressionmodel（

yy

a）/b，wecandeducetherangeofindependentvariableXfromtherangeofdependentvariableY.Butthemethodis

notlogicalinstatistics.Thearticleoppugnsthemethodoftraditionalstatisticalcontrolbytheoryofandfurnishtwo

methodstosubstitutetraditionalmethod.

Keywords：regressionmodel；statisticalcontrol

回歸模型的應(yīng)用中有兩個(gè)方面：統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)（statisticalforecast）和統(tǒng)計(jì)控制（statisticalcon-

^

=a+bx，trol）。所謂預(yù)測(cè)就是根據(jù)回歸模型y把自變量x代入回歸模型對(duì)應(yīng)變量Y進(jìn)行估計(jì)，

其波動(dòng)范圍可按求個(gè)體Y值置信區(qū)間方法計(jì)算。統(tǒng)計(jì)控制則正好與此相反。統(tǒng)計(jì)控制中的

^

-a）常用方法是利用回歸模型進(jìn)行逆估計(jì)，即根據(jù)回歸模型的變換x=（/b，由應(yīng)變量y的取

y

值范圍反推自變量

x的取值范圍。

［1］［，2］［，3］［，4］

。本文對(duì)傳統(tǒng)的利用回

目前國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)及書籍中，基本上都是上述的逆推理法

歸模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)控制的理論提出質(zhì)疑；通過實(shí)例，說明了傳統(tǒng)方法在理論及實(shí)用中都是不妥的。

1 用回歸模型的逆推理做統(tǒng)計(jì)控制存在理論上的問題

記應(yīng)變量

Y對(duì)自變量X的直線回歸模型為

^

=a+bxy（1）

解出

^

-a）x=（y/b（2）

今要求應(yīng)變量Y只能在給定的范圍內(nèi)波動(dòng)，試求自變量X的取值范圍。經(jīng)典做法：由（1）

收稿日期：2004年03月10日

孫尚拱，何平平：經(jīng)典的用回歸模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)控制中的問題

^

，把應(yīng)變量Y的取值范圍代入（2）中的y再反推自變量X的取值范圍。

［5］

實(shí)例分析

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美國(guó)某家醫(yī)院為了預(yù)測(cè)低出生體重（出生體重2500g），現(xiàn)收集一組數(shù)據(jù)用于建立預(yù)報(bào)

≤

公式。測(cè)量31名臨產(chǎn)孕婦的尿中雌三醇濃度（Estriol，mm/24hr）以及此后出生的嬰兒體重

（Birthwei，單位：g/100）。測(cè)得數(shù)據(jù)如下：

雌三醇濃度（mm/24hr）：

7 9 9 12 14 16 16 14 16 16 17 19 21 24 15 16 17 25 27 15 15

15 16 19 18 17 18 20 22 25 24

出生體重（g/100，與上順序?qū)?yīng)）：

25 25 25 27 27 27 24 30 30 31 30 31 30 28 32 32 32 32 34 34

34 35 35 34 35 36 37 38 40 39 43

問題：雌三醇濃度取何值，能預(yù)測(cè)臨產(chǎn)孕婦將會(huì)有低出生體重的嬰兒？

根據(jù)傳統(tǒng)的方法是以

Estriol為自變量（x），Birthwei為應(yīng)變量（y），建立線性回歸模型：

Birthwei的估計(jì)值=21.523+0.608×Estriol（3）

-

殘差標(biāo)準(zhǔn)差s=3.8211，lxx=677.42，x=17.2258。

e

把Birthwei=25代入回歸模型（3）式，得

25=21.523+0.608×Estriol

解得 雌三醇濃度值為

Esriol=5.7178（mm/24hr）

一般預(yù)測(cè)法就是：當(dāng)孕婦尿中雌三醇濃度

≤

5.7178mm/24hr時(shí)，就預(yù)測(cè)出生嬰兒體重會(huì)低于

2500g。

問題：（1）如上述問題中的y是正態(tài)隨機(jī)變量（單純的擬合時(shí)，回歸問題可用于非隨機(jī)變

量）時(shí)，上結(jié)果能給出把握度（概率）嗎？一般是沒有也不考慮的。如果考察概率，我想，按回

歸理論應(yīng)計(jì)算

Estriol=5.7178（mm/24hr）時(shí)應(yīng)變量Birthwei的置信區(qū)間，即根據(jù)下面公式估計(jì)

Birthwei（y）的95%置信區(qū)間（雙側(cè)）：

0

^^^

031-200exx0

±t））=s（ 其中（1+1/n+（x-x）/l

yyy

根據(jù)此公式，Estriol=5.7178（mm/24hr）時(shí)Birthwei的95%置信區(qū)間為：

2

25±2.045×3.8211+1/31+（5.7178-17.2258）/677.42=（16.3418，33，6582）

ヘ

此結(jié)果表明：當(dāng)Estriol>5.7178（mm/24hr）時(shí)，Birthwei值低于2500克的機(jī)會(huì)近似于50%，換

2

ヘ

Birthwei值高于是2500克的機(jī)會(huì)也只有50%！此結(jié)果對(duì)于預(yù)測(cè)低出生體重能有什么句話說，

實(shí)際意義？

問題（

2）上述的逆推理法求自變量（x）的值合理嗎？即我們能否把回歸公式當(dāng)作普通的數(shù)學(xué)

^

=a+bx中，自然的有2=3-1那樣逆推？答案應(yīng)是否定的。理由是1+2=3，

y式子：比如

2

^

ii

）（a，b）是按下述代數(shù)學(xué)原理求出： （y-y=min

Σ

注意此公式僅考慮‘用x去擬合y’，而不是同時(shí)擬合（x，y）。也就是說，回歸公式的使用只能

是單向的，它不應(yīng)該當(dāng)作‘1+2=3，自然的2=3-1’那樣的可以雙向使用！

2 合理的統(tǒng)計(jì)方法

根據(jù)回歸理論，上述實(shí)例應(yīng)把Estriol作為應(yīng)變量（仍記x），而以Birthwei為自變量（仍記

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數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理 第25卷 第5期 2005年9月

作y），從而且建立線性回歸模型。由上數(shù)據(jù)可得：

Estriol=-2.335+0.611×Birthwei，（4）

殘差標(biāo)準(zhǔn)差

s=3.8308，

e

Birthwei，均數(shù)（y）=32

Birthwei，的l=674

yy

當(dāng)Birthwei=25時(shí)，Estriol的估計(jì)值為

Estriol=-2.335+0.611×25=12.940（單位）（5）

^

0

）Estriol=12.940（單位）的（為：

x

^

0e0yy

）=s（x1+1/n+（y-y）/L=3.83081+1/31+（25-32）/674=4.0268

Estriol=12.940（單位）的95%下側(cè)臨界值為

ヘ

ヘ

12.940-t×4.0268=12.940-1.699×4.0268=6.098

0.05（單）

即如Estriol正態(tài)性成立，則Estriol<6.098時(shí)，僅有5%的概率認(rèn)為孕婦將出生“低體重”的嬰兒。

3 另一統(tǒng)計(jì)方法

上法中的一個(gè)統(tǒng)計(jì)理論問題：當(dāng)x不是隨機(jī)時(shí)（比如，x=每畝化肥量，y=每畝作物產(chǎn)

量），公式（

4）似乎不合理。但應(yīng)注意：公式（3）及（4）都是代數(shù)學(xué)中的數(shù)據(jù)擬合，它們根本沒

有涉及變量的‘隨機(jī)分布’！隨機(jī)性是僅當(dāng)要求找出‘概率及置信區(qū)間’時(shí)才有要求。如果x

不是隨機(jī)而y是正態(tài)，要求只能由（4）出發(fā)而計(jì)算結(jié)論的概率時(shí)，可以從下面不等式中求待估

^

00

的95%區(qū)間的下限為：x：利用yy

的下限

≥

a+bx-ts1++=y（5）

0n-2e0

22

^^

00

的95%區(qū)間的上限為利用yy的95%區(qū)間的上限為利用y<y

≤

cx+cx+c=0（6）

10203

2

上兩式都化簡(jiǎn)變?yōu)橥皇角蟾?/span>

lb2ll

xxxxxx

2

n+1

22

其中l

c=。=-1，c=（a-y）b+2x，c=（a-y）-x-

12030xx

222

n

（ts）（ts）（ts）

eee

此例中 y=25，t=1.699，s=3.8211，l=677.42，x=17.2258，

0n-2exx

a=21.523，b=0.608，n=31

代（6），可解得：x=-9.7904（單位），x=-16.5706（單位）。x=-9.7904（單位），x=

01020101

-9

.790對(duì)應(yīng)于單側(cè)下限，負(fù)數(shù)是明顯的不合理。說明本文的實(shí)例如從（3）出發(fā)求95%下限

是不存在的。

4 一個(gè)嚴(yán)重的問題

利用回歸模型做逆推理從而找出需要控制的閾值，在國(guó)內(nèi)外的實(shí)際工作中一直得到非常

廣泛的應(yīng)用。但從本文可見，目前國(guó)內(nèi)外對(duì)于統(tǒng)計(jì)控制的應(yīng)用，普遍存在有誤區(qū)。問題的嚴(yán)重

性在于國(guó)內(nèi)外一直都在用（

3）的逆推法制定世界及國(guó)內(nèi)的食物營(yíng)養(yǎng)、藥品、毒品、環(huán)境及各種

標(biāo)準(zhǔn)！而由上討論可見，已有的標(biāo)準(zhǔn)是多么的錯(cuò)誤！

ヘ

2

1

（x-x）

0

nl

xx

孫尚拱，何平平：經(jīng)典的用回歸模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)控制中的問題

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67

（上接第49頁(yè)）

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