排列組合難題二十一種方法(含答案詳解)
四.定序問題倍縮空位插入策略
例4.7人排隊，其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法
解:(倍縮法)對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一起
進行排列，然后用總排列數除以這幾個元素之間的全排列數，則共有不同
排法種數是：73
73/A A
(空位法)設想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有4
7A 種方法，其余的三個位
置甲乙丙共有 1種坐法，則共有4
7A 種方法。
思考：可以先讓甲乙丙就坐嗎?
（插入法)先排甲乙丙三個人，共有1種排法，再把其余4四人依次插入共有 方法
練習題:10人身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求從左至右身高逐漸增加，共
有多少排法. 5
10C 五.重排問題求冪策略
例5.把6名實習生分配到7個車間實習，共有多少種不同的分法
解：完成此事共分六步：把第一名實習生分配到車間有 7 種分法.把第二名實習生分配
到車間也有7種分依此類推，由分步計數原理共有67種不同的排法
練習題：
1.某班新年聯歡會原定的5個節目已排成節目單，開演前又增加了兩個新節目.如果將這兩個節目插入原節目單中，那么不同插法的種數為 42
2.某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人，他們到各自的一層下電梯，下電梯的方法87 六.環排問題線排策略
例6. 8人圍桌而坐，共有多少種坐法?
解：圍桌而坐與坐成一排的不同點在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人44A 并
從此位置把圓形展成直線其余7人共有（8-1）！種排法即7！
H F
D A B C D
E A
B E G
H G F
練習題：6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈. 120 七.多排問題直排策略
例7.8人排成前后兩排，每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少排法
解:8人排前后兩排，相當于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排.個特殊元素有
24A 種，再排后4個位置上的特殊元素丙有1
4A 種，其余的5人在5個位置上任
意排列有55A 種，則共有215445A A A 種
前 排后 排
練習題：有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現安排2人就座規定前排中
間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數是 346
八.排列組合混合問題先選后排策略
例8.有5個不同的小球，裝入4個不同的盒內，每盒至少裝一個球，共有多少不同的裝法.
解：第一步從5個球中選出2個組成復合元共有25C 種方法.再把4個元素(包含一
個復合元素)裝入4個不同的盒內有44A 種方法，根據分步計數原理裝球的方
法共有2454C A
練習題：一個班有6名戰士，其中正副班長各1人現從中選4人完成四種不同的任務,
每人完成一種任務，且正副班長有且只有1人參加，則不同的選法有 192 種
九.小集團問題先整體后局部策略
例9.用1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數其中恰有兩個偶數夾1,５在兩個奇數之
間，這樣的五位數有多少個？
解：把１,５,２,４當作一個小集團與３排隊共有22A 種排法，
再排小集團內部共有2222A A 種排法，由分步計數原理共有222
222A A A 種排法1524
3
練習題：
１.計劃展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫,４幅油畫,５幅國畫, 排成一行陳列，要求同一品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方式的種數為
254
254A A A
2. 5男生和５女生站成一排照像，男生相鄰，女生也相鄰的排法有255
255A A A 種
十.元素相同問題隔板策略
例10.有10個運動員名額，分給7個班，每班至少一個，有多少種分配方案？
解：因為10個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個空隙。在
９個空檔中選６個位置插個隔板，可把名額分成７份，對應地分給７個班級，每一種插板方法對應一種分法共有69C 種分法。
一班二班三班四班五班六班七班
