（完整版）排列組合常見21種解題?法
排列組合難題???種?法
排列組合問題聯系實際?動有趣，但題型多樣，思路靈活，因此解決排列組合問題，?先要認真審題，弄清楚是排列問題、組合問題還是排列與組合綜合問題；其次要抓住問題的本質特征，采?合理恰當的?法來處理。
教學?標
1.進?步理解和應?分步計數原理和分類計數原理。
2.掌握解決排列組合問題的常?策略；能運?解題策略解決簡單的綜合應?題。提?學?解決問題分析問題的能?
3.學會應?數學思想和?法解決排列組合問題.
復習鞏固
1.分類計數原理(加法原理)
完成?件事，有n類辦法，在第1類辦法中有
m種不同的?法，在第2類
1
辦法中有
m種不同的?法，…，在第n類辦法中有n m種不同的?法，那么2
完成這件事共有：
種不同的?法．
2.分步計數原理（乘法原理）
完成?件事，需要分成n個步驟，做第1步有
m種不同的?法，做第2步
1
有
m種不同的?法，…，做第n步有n m種不同的?法，那么完成這件事共2
有：
種不同的?法．
3.分類計數原理分步計數原理區別
分類計數原理?法相互獨?，任何?種?法都可以獨?地完成這件事。分步計數原理各步相互依存，每步中的?法完成事件的?個階段，不能完成整個事件．
解決排列組合綜合性問題的?般過程如下:
1.認真審題弄清要做什么事
2.怎樣做才能完成所要做的事，即采取分步還是分類，或是分步與分類同時進?，確定分多少步及多少類。
3.確定每?步或每?類是排列問題(有序)還是組合(?序)問題，元素總數是多少及取出多少個元素.
4.解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握?些常?的解題策略
?.特殊元素和特殊位置優先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復數字五位奇數.
解：由于末位和?位有特殊要求，應該優先安排，以免不合要求的元素占了這
兩個位置.
先排末位共有1
3C
然后排?位共有1
4C 最后排其它位置共有34A
由分步計數原理得1134
34288C C A =
練習題:7種不同的花種在排成?列的花盆?，若兩種葵花不種在中間，也不
種在兩端的花盆?，問有多少不同的種法？
?.相鄰元素捆綁策略
例2. 7?站成?排
，其中甲?相鄰且丙丁相鄰, 共有多少種不同的排法. 解：可先將甲?兩元素捆綁成整體并看成?個復合元素，同時丙丁也看成?
個復合元素，再與其它元素進?排列，同時對相鄰元素內部進??排。由分步計數原理可得共有5225
22480A A A =種不同的排法
練習題：某?射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在?起的情形的不同種數為 20
三.不相鄰問題插空策略
例3.?個晚會的節?有4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱，舞蹈節?不能連續出場,
則節?的出場順序有多少種？
解：分兩步進?第?步排2個相聲和3個獨唱共有55A 種，第?步將4舞蹈插
?第?步排好的6個元素中間包含?尾兩個空位共有種4
6A 不同的?法,
由分步計數原理，節?的不同順序共有54
56A A 種
練習題：某班新年聯歡會原定的5個節?已排成節?單，開演前?增加了兩個新節?.如果將這兩個新節?插?原節?單中，且兩個新節?不相鄰，那么不同插法的種數為 30 四.定序問題倍縮空位插?策略
例4.7?排隊，其中甲?丙3?順序?定共有多少不同的排法
解:(倍縮法)對于某?個元素順序?定的排列問題，可先把這?個元素與其
他元素?起進?排列，然后?總排列數除以這?個元素之間的
全排列數，則共有不同排法種數是：73
73/A A
(空位法)設想有7把椅?讓除甲?丙以外的四?就坐共有4
7A 種?法，其
余的三個位置甲?丙共有 1種坐法，則共有4
7A 種?法。
思考：可以先讓甲?丙就坐嗎?
（插?法)先排甲?丙三個?，共有1種排法，再把其余4四?依次插?共有?法
練習題:10???各不相等，排成前后排，每排5?，要求從左?右??逐漸增加，共有多少排法？
5
10C
五.重排問題求冪策略
例5.把6名實習?分配到7個車間實習，共有多少種不同的分法
解：完成此事共分六步：把第?名實習?分配到車間有 7 種分法.把第?名實習?分配到車間也有7種分依此類推，由分步計數原理共有67種不同的排法
練習題：
1．某班新年聯歡會原定的5個節?已排成節?單，開演前?增加了兩個新節?.如果將這兩個節?插?原節?單中，那么不同插法的種數為 42 2. 某8層?樓?樓電梯上來8名乘客?，他們到各?的?層下電梯，下電梯的?法87
六.環排問題線排策略
例6. 8?圍桌?坐，共有多少種坐法?
解：圍桌?坐與坐成?排的不同點在于，坐成圓形沒有?尾之分，所以固定
??44A 并從此位置把圓形展成直線其余7?共有（8-1）
！種排法即7！ A B C D E A
E H G F
允許重復的排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐?安排各個元素的位置，?般地n 不同的元素沒有限制地安排在m 個位置上的排列數為n m 種
?般地,n 個不同元素作圓形排列，共有(n-1)!種排法.如果從n 個不同元素中取出m 個元素作圓形排列共有
1m n A n
練習題：6顆顏?不同的鉆?，可穿成?種鉆?圈 120 七.多排問題直排策略
例7.8?排成前后兩排，每排4?，其中甲?在前排，丙在后排，共有多少排法解:8?排前后兩排，相當于8?坐8把椅?，可以把椅?排成?排.個特殊
元素有24A 種，再排后4個位置上的特殊元素丙有1
4A 種，其余的5?在5
個位置上任意排列有55
A 種，則共有215
445A A A 種
后排
練習題：有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現安排2?就座規
定前排中間的3個座位不能坐，并且這2?不左右相鄰，那么不同排法的種數是 346
?.排列組合混合問題先選后排策略
例8.有5個不同的?球，裝?4個不同的盒內，每盒?少裝?個球，共有多少不同的裝法.
解：第?步從5個球中選出2個組成復合元共有25C 種?法.再把4個元素
(包含?個復合元素)裝?4個不同的盒內有44A 種?法，根據分步計數原理裝球的?法共有2454C A
練習題：?個班有6名戰?，其中正副班長各1?現從中選4?完成四種不
同的任務，每?完成?種任務，且正副班長有且只有1?參加，則不同的選法有 192 種
九.?集團問題先整體后局部策略
例9.?1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數其中恰有兩個偶數夾1,５在
兩個奇數之間，這樣的五位數有多少個？
解：把１,５,２,４當作?個?集團與３排隊共有22A 種排法，
再排?集團內部共有2222A A 種排法，由分步計數原理共有222
222A A A 種排法.
練習題：
?般地，元素分成多排的排列問題，可歸結為?排考慮，再分段研
?集團排列問題中，先整體后局部，再結合其它策略進?處理。
１.計劃展出10幅不同的畫，其中1幅?彩畫,４幅油畫,５幅國畫, 排成??陳列，要求同?品種的必須連在?起，并且?彩畫不在兩端，
那么共有陳列?式的種數為254
254A A A
2. 5男?和５??站成?排照像，男?相鄰,??也相鄰的排法有255
255A A A 種
?.元素相同問題隔板策略例10.有10個運動員名額，分給7個班，每班?少?個，有多少種分配?案？解：因為10個名額沒有差別，把它們排成?排。相鄰名額之間形成９個
空隙。在９個空檔中選６個位置插個隔板，可把名額分成７份，對應地分給７個班級，每?種插板?法對應?種分法共有69C 種分法。
