解排列組合問題的常用技巧
排列組合是高中數學的重點和難點之一，也是進一步學習概率的基礎，事實上，許多概率問題也歸結為排列組合問題，這一類問題不僅內容抽象，解法靈活，而且解題過程極易出現“重復”和“遺漏”的錯誤，這些錯誤甚至不容易檢查出來，所以解題時要注意不斷積累經驗，總結解題規律，掌握若干技巧。
解答排列組合的問題，首先必須認真審題，明確是屬于排列問題還是組合問題，或者屬于排列與組合的混合問題。其次，要抓住問題的本質特征，靈活運用基本原理和公式進行分析解答，同時，還要注意講究一些基本策略和方法和技巧，使一些看似復雜的問題迎刃而解，下面介紹幾種常用的解題技巧。
一、 特殊元素“優先安排法”
對于帶有特殊元素的排列組合問題，一般應先考慮元素，在考慮其他元素。
例⒈ 用0，2，3，4，5這五個數字，組成沒有重復數字的三位數，其中偶數共有（ ）
Ａ．２４個 Ｂ．３０個 Ｃ．４０個 Ｄ．６０個
分析：由于該三位數為偶數，故末尾數字必為偶數，又因為０不能排在首位，故０就是其中的特殊元素，應優先安排．按０排在末尾和０不排在末尾分為兩類：①０排在末尾時，有個，②0不排在末尾時，則有個，由分類計數原理，共有偶數個，選B．
二、 總體淘汰法
對于含有否定字眼的問題，還可以從總體中把不符合要求的除去，此時，應注意既不能多減也不能少減。
例⒉ 100件產品中有3件是次品，從中任取三件，其中不全是正品的選法有多少種
分析：從100件產品中選3件產品的選法有種，選好后發現3件產品都是正品的選法不符合題意，因此把這種排法除去，故有種。
三、 合理分類與準確分布法
解含有約束條件的排列組合問題，應按元素的性質進行分類，按事件發生的連續過程分步，做到分類標準明確，分步層次清晰，不重不漏。
例⒊ 將5列火車停放在5條不同的軌道上，其中a列車不停在第一軌道上，b不停在第二條軌道上，那么不同的停放方法有多少種
分析：由題意，可先安排a列車，并按其進行分類討論：⑴若a列車在第二軌道上，則剩下4輛列車可自由停放，有種方法，⑵若a列車停第三或第四或第五軌道上，則根據分布計數原理有種停法，再用分類計數原理，不同的停放方法共有種。
例⒋ 某帆船上有10名水手，他們分別在船左、右兩側，每側4人，其中有2名水手只會劃左側漿，1名只會劃右側漿，問這些水手不同的安排方法共有的種數為多少
分析：根據題意，可根據選的水手中含有這三名特殊水手的情況分類：⑴若被選出的4名水手中僅有1名只會右手側的水手，有種選法；⑵若被選出的4名水手中有只會右手側的水手和只會左手側的水手各1名，有種選法；⑶若被選出的4名水手中有只會右手側的水手1名和只會左手側的水手2名，有種選法；⑷若被選出的4名水手中僅有只會左手側的水手1名，有種選法；⑸若被選出的4名水手中有只會左手側的水手2名，有種選法，根據分類計數原理，不同的選法有種。
四、 相鄰問題“捆綁法”
對于某幾個元素要求相鄰的排列問題，可以先將相鄰的元素“捆綁”起來，看作一個大的元素與其他的元素排列，然后再對相鄰的元素內部之間在進行排列。
例⒌ ７人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相鄰，分別有多少種不同的排法
分析：把甲，乙，丙三人“捆綁”起來看成一個元素，與其他的4人共5個元素作全排列，有種排法，而甲，乙，丙三人之間又有種排法，根據分步計數原理，共有=7200種排法。
五、 不相鄰問題“插空法”
對某幾個元素不相鄰的排列問題，可先將其它元素排好，然后再將不相鄰的元素已排好的元素之間及兩端的空隙中插入即可。
例⒍ 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相鄰，分別有多少種不同的排法
分析：先讓其余4人站好有種排法，再在這4人之間及兩端的5個“間隙”中選3個位置讓甲，乙，丙插入，則有種方法，這樣共有種不同的排法。
六、 等價轉化法
一些常見類型方法為自己熟知之后，對于一些生疏問題或直接求解較為復雜或較為困難的問題，后者有些問題從正面入手情況較多，不易解決，這是可考慮能否進行等價轉化，從反面入手，或構造模型，將其轉化為一個較簡單的問題來處理。
例⒎ 馬路上有12只路燈，為節約用電又不影響正常的照明，可把其中的三只路燈關掉，但不能同時關掉相鄰的兩只或三只，也不能關掉兩端的路燈，那么滿足條件的關燈方法共有多少種
分析：關第一只燈的方法有10種，關第二只、第三只燈時要分類討論，情況較復雜。若換一個角度，從反面入手考慮，因每一種關燈的方法對應著一種滿足題設條件亮燈與暗燈的排列，于是問題就轉化為等價的“在9只亮燈產生的8個空檔中插入3只暗燈”問題，故所求方法種數為。
例⒏ 四面體頂點和各棱中點共10個點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有多少種
分析：從10個點中任取4個點取法有種，其中4點共面的情況如下圖
圖（1） 圖（2） 圖（3）
4點共面的取法共有３＋６＋６＝１５個，把這些不符合條件的情況除去，所以，取4個不共面的點的取法共有種。
七、 順序固定問題用“除法”
對于某幾個元素順序一定的排列問題，可以先把這幾個元素與其它元素一同進行排列，然后又總排列數除以這幾個元素的全排列數。
例⒐ 由數字0，1，2，3，4，5組成的沒有重復數字的六位數，其中個位數小于十位數的共有多少個
分析：若不考慮附加條件，組成的六位數字共有個，而其中個位數與十位數的種排法中只有一種符合條件，故符合條件的六位數共有個。
八、 混合應用問題“先選后排法”
對于排列與組合的混合問題，可采用先選出元素，然后再進行排列的方法。
例⒑ 4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的四個盒子，恰好有一個空盒的放法有多少種
分析：因有一個空盒，故必有一個盒子放2個球，第一步先選：從4個小球中選出2個小球的方法有種，從4個盒子中選3個盒子的方法有種，第二步排列，把選出的2個小球看成一個元素與其余的2個小球共3個元素，對選出的3個盒子作全排列有種排法，故所求的放法共有種
九、 “小團體”問題“先整體后局部法”
對于“小團體”排列問題，與“相鄰問題”相似，可先將小團體看作一個元素與其它元素排列，最后再進行小團體內部的排列。
例⒒ 7個人站成一排照相，要求甲、乙之間恰好相隔2人的站法有多少種
分析: 甲、乙及間隔的2人組成一個“小團體”,這2人可從其余5人中任選出來,有種不同選法,這個小團體與其余3人共4個元素全排列有種方法,它的內部甲、乙2人有種不同排法,中間的2人也有種不同排法,因而符合要求的不同站法共有種。
一十、 構造“隔板”模型法
對較復雜的排列問題，可通過設計另外一情景，構造一個“隔板”模型來幫助解決問題。
例⒓ 方程ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝１２有多少組正整數解
分析：建立“隔板”模型法：將12個完全相同的球排成一列，在它們之間形成的11個間隙中任意插入3塊隔板，把球分成4堆，而每一種分法所得4堆球的各堆球的數目，即為的一組正整數解，故原方程的正整數的組數共有組。
十一、分排問題“直排法”
例⒔ 7個人坐兩排座位，第一排坐3個人，第二排坐4個人，則不同的坐法有多少種
分析：7個人可以在前后兩排任意就坐，再無其他條件，故可看成7個人在7個位置上的全排列問題，所以，不同的坐法有種。
