高中數學排列與組合
（一）典型分類講解
一.特殊元素和特殊位置優先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復數字五位奇數.
解：由于末位和首位有特殊要求，應該優先安排，以免不合要求的元素占了這兩個位置. 先排末位共有1
3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有3
4A
由分步計數原理得113
434288C C A =
練習題:7種不同的花種在排成一列的花盆里，若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同
的種法？
二.相鄰元素捆綁策略
例2. 7人站成一排 ，其中甲乙相鄰且丙丁相鄰, 共有多少種不同的排法.
解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復合元素，同時丙丁也看成一個復合元素，再與其它元素進行排
列，同時對相鄰元素內部進行自排。由分步計數原理可得共有5
2
2
522480A A A =種不同的排法
乙
甲丁
丙
練習題：某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數為 20
三.不相鄰問題插空策略
例3.一個晚會的節目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱，舞蹈節目不能連續出場，則節目的出場順序有多少種？ 解：分兩步進行第一步排2個相聲和3個獨唱共有5
5A 種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個元素中間包含首尾兩個空位共有種4
6A 不同的方法，由分步計數原理，節目的不同順序共有54
56A A 種
練習題：某班新年聯歡會原定的5個節目已排成節目單，開演前又增加了兩個新節目.如果將這兩個新節目插入原節目單中，且兩個新節目不相鄰，那么不同插法的種數為 30
四.定序問題倍縮空位插入策略
例4. 7人排隊，其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法
解:(倍縮法)對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一起進行排列，然后
用總排列
要求某幾個元素必須排在一起的問題，可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素，再與其它元素
一起作排列，同時要注意合并元素內部也必須排列.
元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩端
數除以這幾個元素之間的全排列數，則共有不同排法種數是：73
73/A A
(空位法)設想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有4
7A 種方法，其余的三個位置甲乙丙共有 1種坐法，
則共有4
7A 種方法。
思考：可以先讓甲乙丙就坐嗎?
（插入法)先排甲乙丙三個人，共有1種排法，再把其余4四人依次插入共有 方法
練習題:10人身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？ 5
10C
五.重排問題求冪策略
例5.把6名實習生分配到7個車間實習，共有多少種不同的分法
解：完成此事共分六步：把第一名實習生分配到車間有 7 種分法.把第二名實習生分配到車間也有7種分依此類推，由分步計數原理共有67種不同的排法
練習題：
1． 某班新年聯歡會原定的5個節目已排成節目單，開演前又增加了兩個新節目.如果將這兩個節目插入原節目
單中，那么不同插法的種數為 42
2. 某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人，他們到各自的一層下電梯，下電梯的方法87
六.環排問題線排策略
例6. 8人圍桌而坐，共有多少種坐法?
解：圍桌而坐與坐成一排的不同點在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人4
4A 并從此位置把圓形展成直
線其余7人共有（8-1）！種排法即7！
H F
D C A
A B C D E A
B E G
H G F
練習題：6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈 120
定序問題可以用倍縮法，還可轉化為占位插空模型處理
允許重復的排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個元素的位置，一般地n 不同的元素沒有限制地安排在m 個位置上的排列數為n
m 種 一般地,n 個不同元素作圓形排列，共有(n-1)!種排法.如果從n 個不同元素中取出m 個元素作圓形排列共有
1m
n A n
七.多排問題直排策略
例7.8人排成前后兩排，每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少排法
解:8人排前后兩排，相當于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排.個特殊元素有24A 種，再排后4個位
置上的特殊元素丙有1
4A 種，其余的5人在5個位置上任意排列有5
5A 種，則共有215
445A A A 種
前 排后 排
練習題：有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現安排2人就座規定前排中間的3個座位不能坐，并
且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數是 346
八.排列組合混合問題先選后排策略
例8.有5個不同的小球，裝入4個不同的盒內，每盒至少裝一個球，共有多少不同的裝法.
解：第一步從5個球中選出2個組成復合元共有2
5C 種方法.再把4個元素(包含一個復合元素)裝入4個不同的盒內有44A 種方法，根據分步計數原理裝球的方法共有24
54C A
練習題：一個班有6名戰士，其中正副班長各1人現從中選4人完成四種不同的任務，每人完成一種任務，且正副
班長有且只有1人參加，則不同的選法有 192 種
九.小集團問題先整體后局部策略
例9.用1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數其中恰有兩個偶數夾1,５在兩個奇數之間，這樣的五位數有多少
個？
解：把１,５,２,４當作一個小集團與３排隊共有2
2A 種排法，再排小集團內部共有2
2
22A A 種排法，由分步
計數原理共有2
2
2
222A A A 種排法 .
1524
3
練習題：
１.計劃展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫,４幅油畫,５幅國畫, 排成一行陳列，要求同一 品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方式的種數為2
5
4
254A A A 2. 5男生和５女生站成一排照像，男生相鄰，女生也相鄰的排法有2
5
5
255A A A 種
十.元素相同問題隔板策略
例10.有10個運動員名額，分給7個班，每班至少一個，有多少種分配方案？
一般地，元素分成多排的排列問題，可歸結為一排考慮，再分段研究.
解決排列組合混合問題，先選后排是最基本的指導思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎?
解：因為10個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個空隙。在９個空檔中選６個位置插
個隔板，可把名額分成７份，對應地分給７個班級，每一種插板方法對應一種分法共有6
9C 種分法。
一
班二班三班四班五班六班七班
練習題：
1． 10個相同的球裝5個盒中，每盒至少一有多少裝法？ 4
9C 2 .100x y z w +++=求這個方程組的自然數解的組數 3
103C
十一.正難則反總體淘汰策略
例11.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數字中取出三個數，使其和為不小于10的偶數，不同的
取法有多少種？
解：這問題中如果直接求不小于10的偶數很困難，可用總體淘汰法。這十個數字中有5個偶數5個奇數，所取的三個數含有3個偶數的取法有3
5C ，只含有1個偶數的取法有12
55C C ，和為偶數的取法共有
123555C C C +。再淘汰和小于10的偶數共9種，符合條件的取法共有1235559C C C +?
練習題：我們班里有43位同學，從中任抽5人，正、副班長、團支部書記至少有一人在內的
抽法有多少種?
十二.平均分組問題除法策略
例12. 6本不同的書平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？
解: 分三步取書得222
642C C C 種方法，但這里出現重復計數的現象，不妨記6本書為ABCDEF ，若第一步取AB,
第二步取
CD，第三步取
EF
該分法記為(AB,CD,EF)，則222
642
C C C 中還有
(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有3
3A 種取法 ，而這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法，故共有2
2
2
3
6423/C C C A 種分法。
將n 個相同的元素分成m 份（n ，m 為正整數），每份至少一個元素，可以用m-1塊隔板，插入n 個元素排成一排的n-1個
空隙中，所有分法數為11
m n C ?? 有些排列組合問題，正面直接考慮比較復雜，而它的反面往往比較簡捷，可以先求出它的反面，再從整體中淘汰.
平均分成的組，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后要一定要除以n
n A (n 為均分的組數)避免重復計數。
練習題：
1 將13個球隊分成3組，一組5個隊，其它兩組4個隊, 有多少分法？（544
213842/C C C A ）
2.10名學生分成3組，其中一組4人, 另兩組3人但正副班長不能分在同一組，有多少種不同的分組方法 （1540）
3.某校高二年級共有六個班級，現從外地轉 入4名學生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，則不
同的安排方案種數為______ （22224262/90C C A A =）
十三. 合理分類與分步策略
例13.在一次演唱會上共10名演員，其中8人能能唱歌,5人會跳舞，現要演出一個2人唱歌2人伴舞的節目，有
多少選派方法
解：10演員中有5人只會唱歌，2人只會跳舞3人為全能演員。選上唱歌人員為標準進行研究只會唱的5人中沒有人選上唱歌人員共有2
2
33C C 種，只會唱的5人中只有1人選上唱歌人員112
534C C C 種，只會唱的5人中只有2人選上唱歌人員有2
255C C 種，由分類計數原理共有 2211222
3353455C C C C C C C ++種。
練習題：
1.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座 談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有34
2. 3成人2小孩乘船游玩,1號船最多乘3人, 2號船最多乘2人,3號船只能乘1人，他們任選2只船或3只船，但小孩不能單獨乘一只船, 這3人共有多少乘船方法. （27） 本題還有如下分類標準：
*以3個全能演員是否選上唱歌人員為標準 *以3個全能演員是否選上跳舞人員為標準 *以只會跳舞的2人是否選上跳舞人員為標準 都可經得到正確結果
十四.構造模型策略
例14. 馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈，現要關掉其中的3盞，但不能關掉相鄰的2盞或3盞,
也不能關掉兩端的2盞，求滿足條件的關燈方法有多少種？
解：把此問題當作一個排隊模型在6盞亮燈的5個空隙中插入3個不亮的燈有3
5C 種
練習題：某排共有10個座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？（120）
十五.實際操作窮舉策略
例15.設有編號1,2,3,4,5的五個球和編號1,2,3,4,5的五個盒子，現將5個球投入這五個盒子內，要求每個盒
解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質進行分類，按事件發生的連續過程分步，做到標準明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標準一旦確定要貫穿于解題過程的始終。
一些不易理解的排列組合題如果能轉化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決
