序
高等代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院（或數(shù)學(xué)系，應(yīng)用數(shù)學(xué)系）最主要的基礎(chǔ)課程之一。本套教材是作者在北京大學(xué)進行高等代數(shù)課程建設(shè)和教學(xué)改革的成果，它具有下述鮮明特色。
１．明確主線：以研究線性空間和多項式環(huán)的結(jié)構(gòu)及其態(tài)射（線性映射，多項式環(huán)的通用性質(zhì)）為主線。自從１８３２年伽羅瓦（Ｇａｌｏｉｓ）利用一元高次方程的根的置換群給出了方程有求根公式的充分必要條件之后，代數(shù)學(xué)的研究對象發(fā)生了根本性的轉(zhuǎn)變。研究各種代數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其態(tài)射（即保持運算的映射）成為現(xiàn)代代數(shù)學(xué)研究的中心問題。２０世紀，代數(shù)學(xué)研究結(jié)構(gòu)及其態(tài)射的觀點已經(jīng)滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的各個分支中。因此，在高等代數(shù)課程的教學(xué)中貫穿研究線性空間和多項式環(huán)的結(jié)構(gòu)及其態(tài)射這條主線，就是把握住了代數(shù)學(xué)的精髓。
本套教材上冊的第１，２，３章研究線性方程組的解法、解的情況的判別和解集的結(jié)構(gòu)時，貫穿了研究數(shù)域犓上狀維向量空間犓狀及其子空間的結(jié)構(gòu)這條主線。線性方程組是數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)、最有用的知識，狀維向量空間犓狀是狀維線性空間的一個具體模型，狀元齊次線性方程組的解空間的維數(shù)公式本質(zhì)上是線性映射的核與值域的維數(shù)公式。因此把線性方程組和狀維向量空間犓狀作為高等代數(shù)課程的開始部分的內(nèi)容，既符合學(xué)生的認知規(guī)律，又是高等代數(shù)知識的內(nèi)在規(guī)律的體現(xiàn)。上冊的第４，５，６章研究矩陣的運算，矩陣的相抵、相似、合同關(guān)系及與它們有關(guān)的矩陣的特征值和特征向量、二次型。研究矩陣
的運算為研究線性映射打下了基礎(chǔ)。矩陣的相抵關(guān)系在解決有關(guān)矩陣的秩的問題中起著重要作用，而矩陣的秩本質(zhì)上是相應(yīng)的線性映射的值域的維數(shù)。研究矩陣的相似標(biāo)準形本質(zhì)上是研究線性變換在一個合適的基下的矩陣具有最簡單的形式。研究對稱矩陣的合同標(biāo)準形與研究二次型的化簡密切相關(guān)，而二次型與線性空間犞上的雙線性函數(shù)有密切聯(lián)系。
本套教材下冊的第７章研究一元和狀元多項式環(huán)的結(jié)構(gòu)及其態(tài)射（多項式環(huán)的通用性質(zhì)），第８章研究線性空間的結(jié)構(gòu)，第９章研究線性映射，第１０章研究具有度量的線性空間的結(jié)構(gòu)及與度量有關(guān)的線性變換。第１１章研究多重線性代數(shù)時，基礎(chǔ)概念是多重線性映射，主要工具是線性空間的張量積。
２．內(nèi)容全面。本套教材包括線性代數(shù)，多項式理論，環(huán)、域、群的概念及重要例子，多重線性代數(shù)，共四部分。在下冊第７章從數(shù)域犓上所有一元多項式組成的集合、整數(shù)集、數(shù)域犓上所有狀級矩陣組成的集合都有加法和乘法運算，自然而然地引出了環(huán)的概念；從數(shù)域犓上所有分式組成的集合、模狆剩余類（狆是素數(shù)）組成的集合，水到渠成地引出了域的概念。于是我們在下冊第８章講的是任意域上的線性空間，而不只是數(shù)域上的線
性空間。這是當(dāng)今信息時代的需要，因為在信息的安全與可靠中大量使用二元域上的線性空間理論。我們不僅著重研究有限維的線性空間，也研究無限維的線性空間，因為許多函數(shù)空間都是無限維線性空間。我們在第９章不僅研究線性變換的Ｊｏｒｄａｎ標(biāo)準形，
而且研究線性變換的有理標(biāo)準形。我們在第１０章不僅研究歐幾里得空間和酉空間，
而且研究正交空間和辛空間；不僅研究歐幾里得空間上的正交變換、對稱變換，酉空間上的酉變換，而且研究酉空間上的Ｈｅｒｍｉｔｅ變換、正規(guī)變換。在第１０章講了歐幾里得空間上的正交變換，酉空間上的酉變換，正交空間上的正交變換，辛空間上的辛變換之后，水到渠成地引出群的概念，介紹了正交群、酉群、辛群。我們在第１１章研究了線性空間的張量積，
張量及張量代數(shù)，外代數(shù)（或格拉斯曼（Ｇｒａｓｓｍａｎｎ
）代數(shù)），它們在微分幾何、現(xiàn)代分析、群表示論和量子力學(xué)等領(lǐng)域中有重要應(yīng)用。
本套教材的第一、二、三個組成部分，內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系可以用下述框圖來表示
：
·Ⅱ·高等代數(shù)（上冊）
３．理論深刻。本套教材闡述了深刻的理論，
證明了許多重要結(jié)論。舉例如下：矩陣犃的秩是犃的行向量組的秩，也是犃的列向量組的秩。犃的秩等于犃的不為
零的子式的最高階數(shù)，
等于犃的行向量組生成的子空間（簡稱為行空間）的維數(shù)，等于犃的列向量組生成的子空間（簡稱為列空間）的維數(shù)。設(shè)犞是域犉上的狀維線性空間，犞上
的線性變換犃在犞的一個基α１，α２，…，α狀下的矩陣為犃，
則犃的秩等于犃的值域的維數(shù)。設(shè)犞中向量組β１，β２，…，β狊的坐標(biāo)組成的矩陣為犅，則犅的秩等于β１，β２，…，β
狊生成的子空間的維數(shù)。由此可知，矩陣的秩是一個非常深刻的概念，它有許多重要應(yīng)用。例如，線
性方程組有解的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相等的秩。狀元齊次線性方程組犃犡＝０的解空間的維數(shù)等于狀－ｒａｎｋ（犃）。矩陣方程犃犡＝犅有解的充分必要條件是
ｒａｎｋ（犃）＝ｒａｎｋ（犃，犅）。矩陣方程犃犅犡＝犃有解的充分必要條件是ｒａｎｋ（犃犅）＝ｒａｎｋ（犃）。矩陣方程犃犡－犢犅＝犆有解的充分必要條件是
ｒａｎｋ犃００（）犅＝ｒａｎｋ犃犆０（）犅．
域犉上狀級矩陣犃是冪等矩陣（即犃２＝犃）當(dāng)且僅當(dāng)
ｒａｎｋ（犃）＋ｒ
ａｎｋ（犐－犃）＝狀．特征不等于２的域犉上狀級矩陣犃是對合矩陣（即犃２＝犐）
當(dāng)且僅當(dāng)ｒａｎｋ（犃＋犐）＋ｒ
ａｎｋ（犃－犐）＝狀．設(shè)犃１，犃２，…，犃狊都是域犉上的狀級矩陣，則犃１，犃２，…，犃狊都是冪等矩陣且犃犻
犃犼＝０（當(dāng)犻≠犼）
的充分必要條件是∑狊犻＝１犃犻是冪等矩陣，且ｒａｎｋ（∑狊
犻＝１犃犻）＝∑狊
犻＝１ｒａｎｋ（犃犻
）．Ｓｙ
ｌｖｅｓｔｅｒ秩不等式：設(shè)犃、犅分別是域犉上狊×狀，狀×犿矩陣，則ｒａｎｋ（犃犅）≥
ｒａｎｋ（犃）＋ｒａｎｋ（犅）－狀．在Ｓｙ
ｌｖｅｓｔｅｒ秩不等式中，等號成立的充分必要條件是ｒａｎｋ犃０犐狀（）犅＝ｒａｎｋ犃００（）犅．
設(shè)犃，
犅分別是域犉上狊×狀，狀×狊矩陣，則ｒａｎｋ（犃－犃犅犃）＝ｒａｎｋ（犃）＋ｒａｎｋ（犐狀－犅
犃）－狀．從而犅是犃的一個廣義逆當(dāng)且僅當(dāng)ｒａｎｋ（犃）＋ｒａｎｋ（犐狀－
犅犃）＝狀。設(shè)犃，犅，犆，犇都是數(shù)域犓上的狀級矩陣，且犃犆＝犆犃，
則犃犅
犆犇＝狘
犃犇－犆犅狘． 設(shè)犃，
犅分別是數(shù)域犓上的狊×狀，狀×狊矩陣，則狘犐狊－犃犅狘＝狘犐狀－犅
犃狘．利用這個結(jié)論證得，犃犅與犅犃有相同的非零特征值，
并且重數(shù)相同。設(shè)犃＝犃１犃２犃３犃烄烆
烌烎４是數(shù)域犓上狀級對稱矩陣，且犃１是狉級可逆矩陣，則·
Ⅲ·序
犃
犃１０
０犃４－犃２′犃－１１犃
烄
烆
烌
烎
２
，狘犃狘＝狘犃
１狘狘犃４－犃２′犃－１１犃２狘．
利用這個結(jié)論簡潔地證得，實對稱矩陣犃是正定的充分必要條件是：犃的所有順序主子
式全大于０。利用上述結(jié)論還證得，設(shè)犕＝
犃犅
（）
犅′犇
是狀級正定矩陣，則狘犕狘≤狘犃狘狘犇狘，
等號成立當(dāng)且僅當(dāng)犅＝０。進而證得，若犃＝（犪
犻犼）是狀級正定矩陣，則狘犃狘≤犪
１１犪２２
…犪
狀狀
，
等號成立當(dāng)且僅當(dāng)犃是對角矩陣。由此立即得到Ｈａｄａｍａｒｄ不等式：
若犆＝（犮
犻犼
）是狀級實矩陣，則狘犆狘２≤∏狀
犼＝１（犮２
１犼＋犮２２犼＋
…＋犮２
狀犼
）．
數(shù)域犓上狀級矩陣犃能夠分解成一個主對角元都為１的下三角矩陣犅與可逆上三角矩陣犆的乘積犃＝犅犆（稱為犔犝－分解）當(dāng)且僅當(dāng)犃的各階順序主子式全不為０，并且犃的這種分解是唯一的。
狀級實可逆矩陣犃能夠唯一地分解成正交矩陣犜與主對角元都為正數(shù)的上三角矩陣犅的乘積犃＝犜犅。
設(shè)犃是犿×狀列滿秩實矩陣，則犃能夠唯一地分解成犃＝犙犚，其中犙是列向量組為正交單位向量組的
犿×狀矩陣，犚是主對角元都為正數(shù)的狀級上三角矩陣，這稱為犙犚－分解。
設(shè)犃是狀級實可逆矩陣，則存在正交矩陣犜和兩個正定矩陣犛
１，犛
２
，使得犃＝犜犛
１＝
犛２犜，并且犃的這兩種分解的每一種都是唯一的。（這稱為極分解定理）。
設(shè)犃是狀級復(fù)可逆矩陣，則存在酉矩陣犘和兩個正定Ｈｅｒｍｉｔｅ矩陣犎
１，犎
２
，使得
犃＝犘犎１＝犎２犘，并且犃的這兩種分解的每一種都是唯一的。（這也稱為極分解定理）。
對于任一狀級實可逆矩陣犃，存在兩個正交矩陣犜
１，犜
２
，使得
犃＝犜１ｄｉａｇ｛λ１，λ２，…，λ狀｝犜２，其中λ２１，λ２２，…，λ２狀是犃′犃的全部特征值。
設(shè)犃是犿×狀實矩陣，則犃可以分解成犃＝犙犇犜′，其中犙是列向量組為正交單位向量
組的犿×狀矩陣；犇是主對角元λ
１，λ
２
，…，λ
狀
全為非負數(shù)的狀級對角矩陣，且λ２
１
，λ２
２
，…，λ２
狀
是
犃′犃的全部特征值；犜是狀級正交矩陣，它的第犼列是犃′犃的屬于特征值λ２犼的一個特征向量，犼＝１，２，…，狀。犃的這種分解稱為奇異值分解，其中犇的非零的主對角元稱為犃的奇異值。犃的奇異值分解在生物統(tǒng)計學(xué)等領(lǐng)域中有應(yīng)用。
設(shè)犳（狓），犵（狓）∈犉［狓］，域犈 犉，則在犉［狓］中犵（狓）｜犳（狓）當(dāng)且僅當(dāng)在犈［狓
］中
犵（狓）｜犳（狓），稱之為整除性不隨域的擴大而改變。犳（狓）與犵（狓）的首項系數(shù)為１的最大公因式也不隨域的擴大而改變，從而互素性也不隨域的擴大而改變。若犉是特征為０的域，則犳（狓）有無重因式不隨域的擴大而改變。我們證明了：設(shè)犃是域犉上的狀級矩陣，域犈 犉，則犃的最小多項式犿（λ）不隨域的擴大而改變。顯然，犃的特征多項式不隨域的擴大而改變。我們還證明了：犃的特征多項式犳（λ）與犃的最小多項式犿（λ）在域犉中有相同的根（重數(shù)可以不同），在域犈中也有相同的根（重數(shù)可以不同）。
本套教材在研究線性空間的結(jié)構(gòu)時，證明了有限維線性空間的許多結(jié)論對于無限維
線性空間也成立。例如，域犉上線性空間犞的兩個子空間犞
１，犞
２
（它們可以是無限維的）
的和是直和當(dāng)且僅當(dāng)犞
１的一個基與犞
２
的一個基合起來是犞
１＋犞２
的一個基。域犉上線
·
Ⅳ
·高等代數(shù)（上冊）
性空間犞的任一子空間犠（可以是無限維的）都有補空間，即存在犞的子空間犝，使得
犞＝犠 犝。從而對于犞的任一子空間犠，
都存在平行于犠的一個補空間犝在犠上的投影犘犠，并且Ｉｍ犘犠＝犠，Ｋｅｒ犘犠＝犝。
若犃是域犉上線性空間犞上的冪等線性變換，則犃是平行于Ｋｅｒ犃在Ｉｍ犃上的投影，且犞＝Ｉｍ犃 Ｋｅｒ犃。反之，
若犞＝犠 犝，則平行于犝在犠上的投影犘犠是冪等變換，平行于犠在犝上的投影犘犝也是冪等變換，且犘犝犘犠＝犘犠犘犝＝０（此時稱犘犝與犘犠正交），犘犝＋
犘犠＝犐。投影是最基本的線性變換。設(shè)犞是域犉上的線性空間（可以是無限維的），犃是犞上的一個線性變換。在犉［狓］中，犳（狓）＝犳１（狓）犳２（狓）…犳狊（狓），其中犳１（狓），犳２（狓），…，犳狊（
狓）兩兩互素，則Ｋｅｒ犳（犃）＝Ｋｅｒ犳１（犃） Ｋｅｒ犳２（犃） … Ｋｅｒ犳狊（
犃）．（１） 設(shè)犃是域犉上狀維線性空間犞上的線性變換，如果犃的特征多項式犳（λ）在犉［λ］
中能分解成
犳（λ）＝（λ－λ１）狉１（λ－λ２）狉２…（λ－λ狊）狉狊，
（２
）其中λ１，λ２，…，λ狊是犉中兩兩不等的元素，狉犻＞
０，犻＝１，２，…，狊。則犞＝Ｋｅｒ（犃－λ１犐）狉１ Ｋｅｒ（犃－λ２犐）狉２ … Ｋｅｒ（犃－λ狊犐）狉狊，其中Ｋｅｒ（犃－λ犼犐）狉犼，犼＝１，２，…，狊，稱為犃的根子空間；并且犃的根子空間Ｋｅｒ（犃－λ犼
犐）狉犼的維數(shù)等于犃的特征值λ犼的代數(shù)重數(shù)狉犼，
犼＝１，２，…，狊。若犃的最小多項式犿（λ）在犉［λ］
中的標(biāo)準分解式為犿（λ）＝（λ－λ１）犾１（λ－λ２）犾２…（λ－λ狊）犾狊，
（３）則犞＝Ｋｅｒ（犃－λ１犐）犾１ Ｋｅｒ（犃－λ２犐）犾２ … Ｋｅｒ（犃－λ狊
犐）犾狊，（４）并且Ｋｅｒ（犃－λ犼犐）犾犼等于犃的根子空間Ｋｅｒ（犃－λ犼
犐）狉犼，犼＝１，２，…，狊。對于域犉上狀維線性空間犞上的線性變換犃，若它的最小多項式犿（λ）在犉［λ］中能分解成上述一次因式的方冪的乘積，我們通過把犞分解成犃的根子空間的直和，在犃的
每個根子空間犠犼＝Ｋｅｒ（犃－λ犼
犐）犾犼中取一個合適的基（通過犠犼上的冪零變換犅犼＝犃｜犠犼－λ犼
犐來找合適的基），使得犃｜犠犼在此基下的矩陣犃犼為一個Ｊｏｒｄａｎ形矩陣；把犠犼（犼＝１，
２，…，狊）的基合起來成為犞的一個基，則犃在犞的這個基下的矩陣犃＝ｄｉａｇ｛犃１，犃２，…，犃狊｝
是一個Ｊｏｒｄａｎ形矩陣，稱它為犃的Ｊｏｒｄａｎ標(biāo)準形。除去Ｊｏｒｄａｎ塊的排列次序外，犃的Ｊｏｒｄａｎ標(biāo)準形是唯一的。
Ｗｉｔｔ消去定理的推廣：設(shè)犉是特征不等于２的域，犃１，犃２是域犉上狀級對稱矩陣，
犅１，犅２是域犉上的犿級對稱矩陣。如果
犃１００犅烄烆烌烎１
犃２００犅烄烆烌烎
２，且犃１ 犃２，那么犅１ 犅２。
設(shè)犞是特征不為２的域犉上的狀維線性空間，犳是犞上的對稱或斜對稱雙線性函數(shù)，犠是犞的一個非平凡子空間，
則犞＝犠 犠⊥的充分必要條件為犳在犠上的限制是非退化的，其中犠⊥∶＝｛α∈犞｜犳（α，β）＝０， β∈犠｝
。設(shè)狇是歐幾里得空間犚狀上的一個二次函數(shù)，則狇的零錐犛（即：使得狇（ξ）
＝０的所有ξ組成的集合）包含犚狀的一個標(biāo)準正交基的充分必要條件是：狇在犚狀的一個標(biāo)準正交基·
Ⅴ·序
