midas FEA Technique Data Series
技術資料–極限承載力計算說明
[圖1][圖2] [圖3] [圖4]
1. 結構設計理論發展簡介
鋼筋混凝土結構設計理論的發展先后經歷了容許應力理論、破損階段理論和極限狀態理論。極限狀態設計理論所依據的是極限強度理論，其基本原則是求出截面破壞時的極限承載力，然后控制截面在使用荷載作用下的內力不大于破壞時的極限承載力除以某種安全系數。隨著可靠度理論的發展，安全系數的取值已經從傳統的定值設計法發展到今天的半概率設計法，又在向近似概率設計法發展，使結構設計的極限狀態理論向更完善、更科學的方向發展。但是，只有結構的極限承載力得以準確評估后，結構安全系數更為精確、科學的取值才會有意義，結構安全度才能得到充分保證。因此，鋼筋混凝土結構極限承載力的計算是十分重要的一項工作，它的準確取值對結構設計的經濟性、安全性和可靠性都有十分重大的意義。
2. 求解極限承載力的方法
使用有限元軟件，我們可以采用載荷增量加載或是位移增量加載的模式來求解結構的極限承載力，并以
有限元計算不收斂作為達到極限破壞狀態的判斷標準。于是影響程序收斂的所有因素都會關系到極限承載力的判斷，比如網格劃分，本構模型，迭代方法，收斂準則等。如果這些因素把握的不好，有限元模擬出來的極限承載力可能就不準。
進行極限承載力計算時，我們往往設置一個比較大的荷載，控制較小的增量加載，在計算發散之前所能達到的最大增量步的荷載就代表結構的極限承載能力。如果畫出載荷－位移曲線，這一步就是載荷位移曲線即將下彎的最高點。無論使用什么有限元軟件，求解極限承載力的方式都是這樣的，不同的只是每個有限元程序中的本構模型，鋼筋模擬方式，迭代和收斂方法的控制等。在此對論文[1]中的一個試驗模型進行有限元模擬計算其極限承載力，并和試驗數據對比。試驗所用模型梁為矩形截面梁，采用兩點對稱加載方式。梁的具體尺寸和配筋如圖1所示。混凝土材料常數：混凝土抗壓強度為20 M Pa，彈性模量為2．5×10 MP a；鋼筋強度為310 MP a，彈性模量為2．0×10 MP a。梁所配鋼筋為Φ16，試驗與FEA計算得到的該梁的極限承載力對比如下表，兩者十分接近。FEA中的有限元模型如圖2所示，鋼筋采用植入式鋼筋的形式模擬，得到的跨中荷載撓度曲線如圖3所示，最后荷載步的裂縫應變分布如圖4所示。
試驗值 FEA模擬值極限承載力（kN） 110 104
由于極限承載力計算不再僅僅限于材料的彈性狀態，材料的非線性特性需要在本構中定義，尤其是對于抗拉強度很小的混凝土材料，在裂紋產生之后裂紋對材料本構的影響需要在本構模型中體現出來，比如說材料的拉伸軟化曲線，剪力傳遞系數等。FEA中提供了總應變裂縫模型可以定義裂紋對材料本
極限承載力計算說明midas FEA Technique data Series
構的影響，在進行極限承載力計算的時候可以采用這種本構模型。
3. FEA中的迭代方法說明
FEA中提供了四種迭代方法：初始剛度(Initial Stiffness)，修正的牛頓拉普森(Modified Newton Raphson)，牛頓拉普森(Newton Raphson)，弧長法(Arc -Length)。牛頓拉普森法只需要很少的迭代次數就能收斂，但是每次迭代投入到重新計算切線剛度上的時間要比較多；對于牛頓拉普森法不容易收斂的問題可以采用修正牛頓拉普森法或初始剛度法，初始剛度法對于所有的荷載步數都采用相同的剛度，但是修正牛頓拉普森法對于每個荷載步采用該荷載步第一次迭代時更新的剛度，每個荷載步內的剛度不變。對于迭代過程中出現收斂困難的情況，FEA中提供了自動切換到弧長法的選項，弧長法適用于載荷位移曲線在最高點附近發生跳躍，也就是不單調的情況，此時使用切線剛度進行迭代分析很難找到正確的迭代方向。FEA中還提供了自動調整荷載步的功能，程序將根據收斂情況自動放大或縮小荷載步。
當結構中大量單元開裂或屈服后．這些單元的切線剛度往往非常小，這時，牛頓拉普森法的切線剛度矩陣往往由于過度病態而無法收斂或計算結果錯誤。例如有限元程序會提示整體剛度矩陣條件數過大或者某個節點出現不合理的過大位移。遇到這類問題，可以考慮使用修正牛頓拉普森法或者使用初始剛度來進行迭代。這樣可以較好地避免切線剛度病態的問題。但是此時收斂的速度相應地也會減慢，使用者應該適當增加最大迭代次數上限。
4. FEA中的收斂標準說明
FEA中提供了三種收斂判斷標準：能量標準，位移標準和內力標準。一般來說，當結構出現屈服時，或者接觸發生分離時，往往荷載變化很小而位移變化很快，這時候用位移標準更好一些。而當結構接觸剛剛發生時，往往位移變化很小而荷載變化很大，這時候用內力標準更好一些。也可以同時采用多種收斂標準控制，此時只有多個標準同時滿足時才判定為收斂。一般默認的收斂標準為0.001，如果收斂不好，可以適當放松收斂標準為0.005到0.01。混凝土作為一種軟化材料，進行非線性迭代分析時，往往采用位移加載相比力加載更容易收斂，采用位移標準判斷收斂也比內力標準更容易收斂。
5．FEA中避免局部受壓導致不收斂的方法
在對混凝土作非線性分析時，另一個重要的問題是如何避免局部的壓壞導致求解不收斂。以最常見的三點彎曲梁為例，很多軟件使用者往往就按照彈性力學中的方法，將整個梁用混凝土材料劃分網格，
并把邊界條件直接施加在一個或幾個節點上。這種方法在彈性材料或硬化材料中都沒有問題，或者說問題不大。但在混凝土中往往就會導致嚴重后果。這是因為，把邊界條件直接施加在混凝土節點上，則相當于這個節點處應力趨向于無窮大。而且單元網格劃分得越密，這個應力集中也就越發嚴重。如果混凝土的網格比較密，則此處的混凝土勢必將必先開裂或者壓碎，而混凝土開裂或壓碎后就進入軟化段，就會造成計算結果錯誤或者計算過程無法進行下去。由此，對于這類問題，一般建議在分析實際工況前，先給混凝土施加一個很小的試算荷載。比較—下施加邊界條件的位置和預計破壞位置的應力大小，尤其是主拉應力的大小。如果發現施加邊界條件的位置存在應力集巾，應力大于預計破壞位置的應力，則說明邊界條件布置不合理，破壞將發生在這里而不是預計破壞區。這時，常用的處理方法是在邊界條件和混凝土單元之間設置一個彈性過渡層，過渡層的剛度較大，和混凝土相近。這樣利用圣維南原理，減輕邊界條件引起的應力集中效應。另外由于混凝土抗拉能力很弱，因此實際施加在混凝土構件上的邊界條件大部分是受壓邊界條件。在建立有限元模型時，需要事先考察一下，這個邊界條件是否會因為局部受壓而導致不應出現的局部破壞。
