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數學教育家余介石的數學科普著作簡介”
陶蘭李春蘭
（內蒙古師范大學數學科學學院，內蒙古呼和浩特010022）
民國時期的數學教育家余介石先生十分
關心現代數學知識的普及與數學教育的發展.
他在編寫數學教科書及翻譯數學著作的同時, 還主持編寫了許多數學科普讀物.為使人們對
他的科普著作有所了解，并能從中受到啟迪, 現選取余介石的《數之意義》《數學詭論集解》 《算學通論》這三本數學科普著作，對其內容做
簡要概述，并闡述這些科普著作對學生和教師
的教育價值.
1生平簡介
余介石（1901 -1968），字竹平，號慰慈，我
國珠算家、數學教育家、科普作家? 1901年2月
7日出生于安徽省黔縣城的一個徽商家庭，幼
時思維敏捷，聰穎過人，先就讀于上海市中華
工業專門學校附中，成績名列前茅.中學畢業 后,1919年考入南京東南大學（1924年曾改名
為中央大學，現為南京大學），在這四年學習期
間，余介石勤奮好學，深得老師和同學們的 贊許.
圖1余介石
1923年余介石先生大學畢業后留校任教， 1924- 1930年，擔任中央大學數學系助教.其 間余先生兼任南京國立編譯館館員.1930 - 1934年被中央大學聘任為數學系講師.自 1934-1945年，先后執教于重慶大學、四川大
學、成都金陵女子文理學院、四川大學師范學 院，任教授、數學系主任? 1945年秋至1949年
秋兼任四川省會計專科學校教授⑴.1954年被
調入北京農業工程大學（現為中國農業大學）
任數學系教授，先后擔任數學教研室主任、院
務委員會委員和工會副主席等職務.1963 - 1965年兼任北京化工學院數學系教授.1968年 去世
余介石在45年的數學教育工作中，一直堅
守在高校教學第一線，先后講授過《高等數學》
《高等方程式論》《微分幾何》等課程?教學之
余，余介石先生勤于著述，編著了大量的大學
數學教材和中學數學教科書，其中包括多種珠 算教材，據不完全統計有40余部.他所編寫的 數學教科書，務求通俗易懂，深入淺出，深受教 育界好評?余介石的老師何魯先生在重慶大學
附屬高中任教時曾采用了余介石的《（修訂）新 標準高中代數學》，何魯先生評價道：“我國高
中代數中，最合教科書之用?”⑵余介石發表了
20余篇論文，大多刊登在《中等算學月刊》上.
為普及數學知識，增進學生學習興趣，余介石
主持編寫了不少科普性讀物.
尤其令人敬佩的是，余介石先生具有強烈
的愛國心和正義感.當時正值南京國民黨政府
的白色恐怖時期，余介石不顧一切，幫助我國
*基金項目：內蒙古自治區高等學校科學研究項目（教育廳人文杜科重點項目）“民國時期數學課外讀物的教育價 值研究"（NJSZ 17028）.
*通訊作者：
李春蘭.
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數學家、教育家、共產黨員孫克定在南京謀求工作，并協助他離開南京?九一八事變后，余介石響應《生活》雜志社的號召，以個人名義并聯合中等算學研究會成員共同發起募捐活動，支援東北抗擊日本侵略者的義勇軍，先后共募集千余元大洋之多?“中等算學研究會”于1930年在南京成立，是由余介石牽頭發起，參加者主要是當時的中學老師、大學講師、助教等.“中等算學研究會”成立的目的有二：一是對當時中等數學教學法與教材進行改革；二是編寫我國自己的中學數學叢書，使數學這門科學在中國日益扎根并發揮其巨大作用.
解放后，由于工商業的迅速發展，人們迫切需要學習珠算，當時余介石任教四川大學，任西南區科普籌委，應科普協會邀請，他毅然承擔起改革珠算的重任，此后他熱心投身于珠算事業，可以說余介石晚年把大部分精力都投入到珠算改革研究中去了.
余介石一生都從事數學教育及數學普及工作，為我國數學教育的發展做出了卓越的貢獻，因而在我國數學界享有相當聲望.
2余介石的數學科普著作簡介
為了使當今讀者能夠了解民國時期我國的數學科普著作，品味余介石的“陳年佳釀”，感受他的數學科普著作之趣味性，下面主要以余介石的《數之意義》《數學詭論集解》和《算學通論》為例，概述每本書的主要內容，汲取這位數學家留給我們的“教育遺產”，領悟其教育主張
2.1《數之意義》內容簡介
《數之意義》是中等算學研究會叢書之一，著者皆曾受業于何魯先生.1919年何魯從法國游學歸來，在國立南京高師講學，提到加強中等數學與高等數學的溝通與聯系的意義在于:“一是可以促進中等數學教育之革新；二是可以奠立學子進研高深數理之基礎?”⑶當時的大學教授往往不知道中等學校的需要而求其聯系，結果導致大學生在學校時忘記自己之前學習的中學數學知識，等到大學畢業后到中學教學時，又忘記了自己在大學學習的數學知識.為了改變此種現象，何魯歸國以后，一直懷揣改革之志，作為弟子的余介石等人銘記其師所言，奉行何魯之志，把多年在各屆暑期中等教師講習會的講學心得編成諸書十余種，《數之意義》便是其中之一.
該書主要從算理與哲學的角度闡述了數的概念與意義，注重基本邏輯概念的解說，強調中等數學與高等數學的銜接.全書共有四章，第一章數之概念發展史，主要介紹了分數、無理數、負數和虛數的起源和發展；第二章基數與序數，主要是基于基數與序數的算理研究和數的精確概念，用邏輯的概念作基本的解釋；第三章實數，第四章復素數?后兩章的內容則是具體論述實數（分數、負數、有理數、無理數）和虛數的存在與意義.
德國數學教育家F?克萊因基于數學史的數學教育觀對余介石產生了深刻影響.在《數之意義》中余介石除了講述數的概念與意義，也強調了數學史在數學教學中的重要性：“教師對于學理，必須考其在歷史上發展之跡象，以覘人心認知之程序與限度，庶可因時指宜，善為說理，既不至使初學難以猝通，亦不至養成其謬見或誤解.歷史之于教學，不僅在名師大家之遺言軼事，足生后學高山仰止之思，收
聞風興起之效?更可指示基本概念之有機發展情形，與夫心理及邏輯程序，如何得以融合調劑，不至相背，反可相成，誠為教師最宜留意體
會之一事也?”⑶這種通過考察歷史來獲得數學啟示的做法至今仍然是數學教學研究的內容之一.
“數之意義，初視之若甚近而易知，細思之
則甚遷而難明?”⑷其中所蘊含的意義豐富、精微、深奧，已異于我們由直覺所認識的數.
2.2《算學通論》內容簡介
《算學通論》是一本關于數學基礎的書?這里需要說明一下，我們現在所謂的“數學”這一
名詞術語是在1939年8月才正式統一使用的. 1902年之前一般都稱其為“數學”或“算學”，在1902-1911年間統稱為“算學”，在1912-1921年間統稱為“數學”，在1922-1938年間統稱為“算學”，所以本文出現的“算學”指的即為“數學”?余介石認為該書是最平凡淺近的，在當時其他比較易讀的書可要比該書深得多.書中材料多取自中等數學教材，用極淺顯之文字，解釋抽象的算理，十分詳細明了?余介石編寫該書的目的：一是要明白一些概括的見解，
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基本的原理，各種基本觀念和方法發展的經過；二是要知道“所當然”，也要知道“所以然”.他希望能夠通過這本小冊子幫助青年們了解“數學”這門科學的性質.誠如開爾文勛爵所說的那樣：“不要以為算學是艱深難解而和常識相背馳的，他不過是精煉的常識罷了?”㈤全書分為三篇，上篇是中等數學觀念發展史，包含五章?其中第一、二兩章主要介紹史前時期和上古的數學發展；第三章介紹古數學發展；第四章介紹近代數學發展.在這幾章中還介紹了很多數學家，如費馬、牛頓、笛卡爾等，還有關于“幾何三大問題”、“解析幾何的產生”、“微積分的發明”這樣的數學故事，在了解數學歷史發展的同時也讓我們感受數學家們的嚴謹態度和鍥而不舍的探索精神.第五章主要講解相對論大意?對于上篇的內容余介石特
別指出：“最慚愧的是，不特這一篇里未提及中國方面，全書幾無一處，可說是我們自己的貢獻?既往不咎，來者可追，不得不馨香禱祝國人今后的努力.”⑸
中篇包含四章，以幾何為主，說明數學的形式和結構?這里面有些超出中等數學范圍的知識點，如第九章的非歐幾何，但這只不過是說明公理性質的一個例子，不看也不要緊，況且說法很淺顯，不會讓人感到費解.中篇除第六章是講數學命題形式和數學推理的邏輯根據外，其余三章都是講公理的性質.
下篇由代數講到解析幾何和微積分，包含五章，以說明數學的抽象性和求普遍性的方法?第十、十一兩章講代數的數系和符號性；第十二、十三兩章講代數怎樣影響幾何，怎樣由分析法定綜合法的有效范圍；第十四章講用極限法解決未定式，引出微商和積分的基本概念?對于數學里最基本最重要的觀念，這本書基本上算是大體略述了.
2.3《數學詭論集解》內容簡介
該書也是“中等算學研究會叢書”之一，雖內容有一定的深度，但緊密結合中學數學，為當時師生所樂用?余介石在“緒言”一開始，就引用英人Tupper的名言:“錯誤中之歪曲處，無不可見有真理之線索存焉”〔7]，并以此作為編著的宗旨?緒言說:“蓋一事理，皆有正反二面，如僅知正面之是，而不察反面之非，則所見必偏而不全.因明學欲顯正義，必先破邪識，希臘大哲Socrates之講學方法，首在使人自覺所見之非，始能虛心受益，導于正覺，辯證法啟人最深者以此.”⑺
該書引用及參考書報55種，“愛集諸書，約50則，附以自擬者約10則，以成本書?”[7].整本書內容豐富，知識廣泛，涉及與初高中有關的算術、代數、幾何及三角的悖論知識，對培養學生的思維有重要作用?全書共58頁，分為上下兩篇，上篇是詭論，下篇是解剖?詭論的算術及代數的部分共34題，主要內容有除法、單位、反證法、待定系數法、比例、分數與分式、根式與虛數、指數與對數、級數、連分式、幾率、Fermat大定理和行列式；幾何及三角部分共27題，主要內容有線段長、垂直與平行、角、三角形、多角形、三角、圓與橢圓.該書最大的特點就在于書中所附有的解剖內容，這在當時同類型的書籍中是鮮有論及的.解剖逐條補成，以見高等數學與初等數學之間的關聯.
現選書中兩題及其解剖，來感受錯誤中歪曲的地方，從中可以看到真理之線索的存在.
第1題“2=1”.
設a=6，則/=ab,a2-b2=ab-b2,
(a+6)(a-6)=6(a—6),
a+b=b,2a=a,
所以2=1.
解剖：算術中有一極重要之限制，曰零不得為除數，本題開始即設a=b，故a-6=0，而不得以除(a+6)(a-b)=b(a-b)之兩端.此題關于等式之推演，則由AC=BC，可得A=B，或C=0.換言之，必C豐0，始可斷必為A=B 也.是以：如欲自等式兩端消去某因式，必先斷其不為零方可.
悖論“2=1”通行較早，遺憾的是已不知其由來.除以“0”是數學中一個最常出現的錯誤.在數學中除數不能為零以及分母為零無意義，從認識上來說對學生是一個挑戰，為什么除數不能為零？何為無意義？為何無意義？通過一個古老的悖論“2=1”，學生就可以從本質上明白分母不能為零的原因.
第57題“64=65”.
將一每邊長為8單位之正方形為64平方
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單位者，分為兩長方形，一長為3單位，一長為5單位，剖前者為兩個直角三角形，后者為兩梯形，上底長為3，下底長為5，如是取一梯形與三角形，合成一底為5，高為13之長方形，其面積應含5x（8+5）=65平方單位，故64=65.
解剖：合梯形與三角形，并不能成為一較
大之三角形，因5：3不等于（7+5）:8也，但三角形之斜邊與梯形中不垂直二底之腰，拼合后
所成角接近但不等于180。，可以三角法求之.
這道“64=65”跟我們現在所熟知的經典問題“船長的故事”是一樣的，最早在蘇格拉底的謬誤問題被提出后，才陸續出現許多這樣類似的問題，以說明直觀的不可靠性.
3余介石數學科普著作之意義
余介石的數學科普著作不僅對當時的讀者來說具有啟迪心智的作用，對當今讀者而言，也不無啟迪，特別是對中學生和數學教師而言，意義不可小覷.
3.1對學生的意義
閱讀余介石的數學科普著作對學生的意義如下：
第一，借助通俗易懂的語言，掌握數學之本源?例如《數之意義》中對“無理數”由來的介紹：“無理數概念，道源于幾何直覺及其需要.
此種貢獻，亦出自希臘人之手.公元前550年, Pythagoras發現其著名之定理，因而引起幾何上之不盡根問題.相傳畢氏創獲此理時，曾宰牛百千，廣設盛宴，以志慶賀，其重視斯理，可以想見?”⑶這樣簡單又有趣的故事能讓學生在了解歷史的同時，把握數學知識的來龍去脈，感受無理數的重要性?且數是數學中最基本的概念，用邏輯的觀念作基本的解釋，探究其本源，這對讀者了解何者為數有著重要作用.
第二，深入淺出，理解中等數學與高等數學的聯系?“極限”作為溝通中等數學與高等數學的內容之一，對于初學者來說很難理解，而在余介石的科普著作中則用淺顯的語言和例子來作說明：“假設有一根鐵條，用火燒過，溫度增高，它也變長，所以長度便是溫度的函數.再將鐵條離火候冷，它的長度，也漸漸縮短，恢復原狀.我們可以說長度縮短，是以原來的長為極限?”2用實例解釋抽象的概念，使數學更加生活化，學生也更容易理解.
第三，提供良好的學習方法，善于總結歸納?如《算學通論》中的“對偶命題律”，所謂對偶命題是把原命題和否命題合在一起而成的.也就是一個命題中，對題意的各種可能情形都會論到.譬如將（一）等腰三角形性質定理，（二）大邊對大角定理.并成對偶定律的形式：在三角形內，等邊的對角必等（一）
大邊的對角較大］
小邊的對角較小i一其逆定理
在三角形內，等角的對邊必等（三）
大角的對邊較大I
小角的對邊較小i
其中含有（三）等腰三角形判別定理，（四）大角對大邊定理?①
如此一來，便將四個定理并成了一條.應用這一方法，幾何中許多定理，往往可以并成一條記憶，例如圓心角定理等其他定理都可按“對偶定律”的形式結合起來，十分便利，可謂是舉一反三，提高了學習效率.
第四，知其然，且知其所以然，從正反兩面思考問題?《數學詭論集解》作為一本關于數學悖論知識的科普讀物，對數學學習有著重要的作用.其中的“悖論”表面上是同一命題或同一推理，但實際上是隱藏著兩個對立的結論，悖論往往是從教材的反面入手，以啟發思路，鍛煉智力，同時也使得人們對知識的理解更為深刻?若聯系到身邊的事物，可以發現事物都有其兩面性.同樣在數學學習中，我們不僅要學習數學的理論知識，還要從解題方法，思考的
角度中去學習理解問題的本質屬性.
3.2對教師的意義
余介石的數學科普著作對教師的意義如下：
第一，傳授教學的思想與方法.在余介石的數學科普著作中反映了很多他的數學教育思想，如余介石十分注意數學與理科的聯系.他主張：“對于算術中復名數一章，應當講授重要引申單位如速度，加速度，比重等等，這大可為學生研究理科的幫助.”⑴他提倡在算術教學中滲透符號化思想，認為用字母表示數不僅有普遍性的妙用，而且字母數的算法一般比數字數容易，所以在初中代數里淺近的部分（如簡易方程，公式變換等）應當盡量提早將字母數混在算術里教授?他還特別強調數學應該重復講授并給出了具體的教學方法：“教一樣的材料，盡可從不同的方面著手，譬如初中以直觀為主，應注意應用和實例說明，高中側重原理和邏輯推理，以達合宜的嚴謹.用不同的眼光去復習，只有增進學生的趣味和了解程度，才不至因重復生厭?”⑴這些對中學數學教師而言起到一定的借鑒作用.
第二，激發學生興趣，活躍數學課堂?余介石在《數學詭論集解》中提到：“施教者如苦初學者對數理每乏興趣，無自動尋求之愿望，或僅知機械之演證，不明其意蘊，故輒陷于刺謬而不自知，則詭論之解剖，或足為其一助?”⑺在數學教學中，教師可以通過簡單又新穎的“數學悖論”來激發學生的興趣?如“2=1”，教師可以先給出證明過程，讓學生思考、交流并討論悖論產生的原因，最后教師加以正確引導，給出答案.在講“分數除法”時引入“2=1”這一悖論來說明除數不能為零的原因，不僅能讓學生在數學課堂上有不一樣的收獲，教師也能在自己的教學創新中找到樂趣，活躍了課堂.
第三，將歷史與數學發展結合，豐富課堂教學?如《數之意義》中對“虛數”的敘述，先是回顧了卡丹、萊布尼茲、歐拉、高斯等人為虛數發展做出的貢獻，然后介紹了四元數表示和應用的歷史發展情況，最后談到對學生講授高度抽象的觀念（如“虛數”）時，“不可求一蹴而就，必須以實例說明其意義，借應用以表露其功能，徐徐反復申述之，能使學生明了其效用與需要，而獲得牢固之印象，與透徹之認識.”⑶將數學的歷史與發展融入數學教學，能讓學生在了解歷史的同時體會到數學發展的連續性，對于改進教師教學內容，促進學生發展都有重要意義.
4結語
余介石的科普著作形式多樣，內容豐富，不僅影響了當時的人們，作為當今中學生的課外讀物也依然具有重要意義.他能夠使人感知到數學知識是有趣的，學習數學并非苦事，也非難事.他的數學科普著作說理淺明，注重培養基本的算理，強調中等數學與高等數學的銜接，是對數學教科書的補充，使得讀者對數學知識有更深入的學習和認識.無論是《算學通論》中對數學觀念發展史的論述，還是《數學詭論集解》中提到的古老悖論以及《數之意義》中的數之概念發展史，我們可以看到余介石先生重視知識在歷史上產生的經過，務使初學者能原原本本，于“知其然”外，更知其“所以然”，如何在教學實踐中落實這一點，余介石的數學科普著作為我們提供了很好的參考.
參考文獻
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[7]余介石.數學詭論集解[M].成都：建國書局,1942：緒言.
刊號:ISSN0488-7387
CN31-1024/G4
定價：7.00元每月12日出版代號：4-357
